關(guān)于一個(gè)二元整數(shù)函數(shù)正負(fù)性的研究

李 強(qiáng)

（大慶職業(yè)學(xué)院工商管理系 黑龍江 大慶 163000）

0 引言

我們要研究的二元整數(shù)函數(shù)為：

此問(wèn)題源于我們要論證的一個(gè)數(shù)論問(wèn)題，本文的目的就是考查該函數(shù)在其定義域內(nèi)函數(shù)值符號(hào)的變化情況.

1 引理及定理

此結(jié)果可借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)簡(jiǎn)單推得，故略.

引理2當(dāng)n≥7時(shí)，有：

容易驗(yàn)證當(dāng)n=7，8，9時(shí)，上式也成立.命題得證.

定理 1 當(dāng) k≥n≥2 時(shí)，有：f（k，n）＞0.

證明 當(dāng)n＝2時(shí)，根據(jù)引理1有

由（4），（5），（1）式知，定理成立.

定理 2 當(dāng) n≥7，2≤k≤n-1 時(shí)，有：f（k，n）＜0.

證明 當(dāng) n≥7 時(shí)，有：n－1≥6.

由（1）式知，定理成立.

根據(jù)定理 1 知，陣列（f（k，n））（k≥2，n≥2）的對(duì)角及下三角塊上的元素都為正數(shù)。而由定理2，當(dāng)列數(shù)n≥7時(shí)，上三角塊中的元素均取負(fù)數(shù).再經(jīng)過(guò)驗(yàn)知：f（2，3），f（2，4），f（2，5），f（3，4），f（4，5），f（5，6），取正，而 f（2，6），f（3，5），f（3，6），f（4，6）取負(fù).綜上，我們可得下表.

表1 二元整數(shù)函數(shù)f（k，n）的符號(hào)變化（空白代表函數(shù)在該處的取值為負(fù)）

具體地，我們通過(guò)MATLAB編程計(jì)算出了當(dāng)2≤k，n≤9時(shí)，二元整數(shù)函數(shù) f（k，n）的取值情況.

由表2可見，表1所得到的結(jié)果是完全正確的.

表2 二元整數(shù)函數(shù)f（k，n）的部分函數(shù)值

2 小結(jié)

本文通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)知識(shí)，探求了二元整數(shù)函數(shù)f（k，n）函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律，得到如下結(jié)論：

函數(shù) f（k，n）在其定義域｛（k，n）｜k≥2，n≥2，k∈N，n∈N｝內(nèi)各點(diǎn)處的取值均不為零.其中，位于陣列（f（k，n））對(duì)角及下三角塊上的元素均取正號(hào)，位于上三角塊中的元素當(dāng)列數(shù)n≥7時(shí)取負(fù)號(hào)，而當(dāng)列數(shù)2≤n≤6時(shí)，需要計(jì)算才能確定其符號(hào).

上述結(jié)果不僅利于我們對(duì)二元整數(shù)函數(shù) f（k，n）性質(zhì)的理解，還能從中生成系列不等式.例如：當(dāng)n≥7，2≤k≤n-1時(shí)，有：

而不等式（8）可用于解決數(shù)論等一些相關(guān)的問(wèn)題.此外，關(guān)于函數(shù) f（k，n）的符號(hào)判定問(wèn)題，也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法、均值不等式等其他數(shù)學(xué)工具加以解決.

［1］常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

［2］Helmut Hasse.Number Theory[M].北京：世界圖書出版公司，2010.

［3］鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.

［4］G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社有限責(zé)任公司，2011.