全圓齒根設計及其應力特性研究

馬貴葉，張祖智，杜萬里，劉 越

(中國北方車輛研究所車輛傳動重點實驗室，北京 100072)

齒輪是車輛傳動系統(tǒng)動力傳遞的關鍵基礎件，車輛的直駛、轉向和制動等功能均通過齒輪傳遞來實現(xiàn).斷齒、偏載點蝕等是傳動系統(tǒng)中齒輪疲勞損壞的主要形式，是導致車輛動力傳遞中斷，車輛喪失戰(zhàn)斗力的典型故障.輪齒根部是抗彎強度的危險部位[1]，如果齒輪根部圓角小，就容易產生應力集中，承載能力就降低.因此，為了提高齒輪的抗疲勞損壞，減輕硬齒面齒輪根部應力集中，有必要討論輪齒根部采用全圓弧槽形對輪齒彎曲強度的影響，并給出合理的齒根全圓弧半徑等參數，以便該技術在工程中推廣應用.

1 全圓齒根參數確立

1.1 齒根過渡曲線介紹

如圖1和圖2所示，由齒輪嚙合原理和展成運動可知[2-3]，齒輪的漸開線齒面CD，是由刀具腰線部分EF在切齒中包絡形成的，而齒輪齒根過渡曲線BC，則是由齒條刀具齒頂的圓弧部分FG在切齒中包絡形成的，這一部分刀刃加工出來的齒廓不是漸開線，不能參與嚙合.但是齒根過渡曲線的曲率半徑大小與齒輪彎曲強度關系非常密切.齒根過渡曲線曲率半徑越大，越有利于提高齒輪彎曲強度.

圖1 漸開線齒形

圖2 齒條刀具

對于模數m≥1 mm的漸開線圓柱齒輪，其基本齒廓一般采用現(xiàn)行的GB1356—87《漸開線圓柱齒輪基本齒廓》，其中齒根圓角半徑為0.38m.在這種情況下，齒根過渡曲線曲率半徑較小.通過增加刀具圓角半徑，可增大齒根過渡曲線曲率半徑.全圓滾刀的頂部為全圓弧，加工得到的全圓弧槽形齒根齒輪，其齒根過渡曲線曲率半徑大、強度高.因此，在考慮全圓滾刀刀具加工的基礎上，通過求解漸開線起始圓半徑，反推出加工全圓弧槽形齒根齒輪的合理的全圓滾刀刀具參數.

1.2 漸開線起始圓半徑求解

漸開線起始圓半徑就是相嚙合的漸開線的終止點 (齒頂圓與漸開線的交點，如圖3所示的點K)與本齒輪漸開線的根部嚙合點的位置半徑.

圖3 齒根過渡曲線較小

如圖4所示，O1、O2是兩個相嚙合的漸開線齒輪的中心.M1M2是嚙合線.A、B分別是小輪、大輪齒頂圓與嚙合線M1M2的交點.則由嚙合原理可知，O1A、O2B分別為小輪、大輪的漸開線起始圓半徑.如圖4所示，嚙合線M1M2的長度為:

圖4 漸開線起始圓最大半徑

式中:rb1為小輪基圓半徑;rb2為大輪基圓半徑;αw為嚙合角.

在直角三角形O2AM2中，有:

式中:ra2為大輪齒頂圓半徑.

因此，有:

在直角三角形O1AM1中，有:

式中:rinv1為小輪的漸開線起始圓半徑.

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將式(3)代入式(4)中，得到小輪的漸開線起始圓半徑求解公式為:

式中:ra2為大輪齒頂圓半徑.

同理，大輪的漸開線起始圓半徑求解公式為:

式中:ra1為小輪齒頂圓半徑.

1.3 全圓滾刀形狀及其參數

求出大輪、小輪的漸開線起始圓半徑后，就可以繪制出全圓滾刀形狀，如圖5所示.為求解其圓角半徑及圓心位置，以加工小輪的全圓滾刀為例，有:

式中:rO1為加工小輪的全圓滾刀圓角半徑;hO1為小輪全圓滾刀圓角的圓心位置;rp1為小輪節(jié)圓半徑;rinv1為小輪漸開線起始圓半徑;s為節(jié)圓弧齒厚;α為齒形角或壓力角.

同理，也可得到加工大輪的全圓滾刀圓角半徑rO2及其圓心位置hO2，在此不再贅述.

如果考慮齒根挖根量uFP，則全圓滾刀形狀如圖6所示.

為求解其圓角半徑，以加工小輪的全圓滾刀為例.在三角形VC'G中，有:

圖5 全圓滾刀參數幾何圖

圖6 考慮挖根量的全圓滾刀幾何形狀

在三角形VEQ中，有:

式中:rFP1為考慮挖根量的小輪全圓滾刀圓角半徑;hFP1為小輪全圓滾刀圓角的圓心位置;hinv1求解見式(8).

在三角形JKQ中，有:

由式(15)、式(17)，可得關于hFP1的一元二次方程:

由式(18)可求解出hFP1.根據式(17)求出rFP1.同理，也可得到加工大輪的全圓滾刀圓角半徑rFP2及其圓心位置hFP2，在此不再贅述.

在實際的工程應用中，選用的全圓滾刀刀尖圓角半徑為:

(1)小輪:rO1～rFP1之間;

(2)大輪:rO2～rFP2之間.

2 齒根應力分析

以表1所示參數的齒輪為例，通過仿真漸開線齒輪的切齒過程，采用0.38m大小圓角的刀具和全圓滾刀，分別建立了不同齒根圓角過渡曲線的齒輪三維仿真模型.

表1 齒輪參數

圖7 齒根應力對比分析

在Ansys有限元軟件中進行受載仿真，作用同樣的載荷，考查齒根應力狀況，如圖7所示.其中，0.38m圓角小輪受載齒根應力最大值為946.034 MPa，大輪為842.742 MPa;全圓齒根小輪受載齒根應力最大值為629.709 MPa，大輪為809.764 MPa.小輪齒根應力降低33%，大輪齒根應力降低4%.

由疲勞理論可知[4]，疲勞失效以前經歷的應力循環(huán)次數N和應力水平α有如下關系:

式中:m和C為與材料有關的常數.

由式(19)可知，應力水平α越大、應力循環(huán)次數N越小.由于小輪轉速高，在相同時間內應力循環(huán)次數明顯多于大輪，因此一般來說小輪是一對嚙合齒輪中使用壽命較短的一方.因此，降低小輪的齒根應力，可以提高小輪的應力循環(huán)次數，有助于提高嚙合副的整體的使用壽命.

從仿真分析結果來看，小輪齒根應力得到大幅削減，大輪齒根應力也得到了削減.因此，全圓滾刀展成的齒輪的齒根過渡曲線可以減小齒根應力，降低齒根峰值應力，從而提高輪齒承載能力和使用壽命.

3 結論

利用齒輪生成范成法，推導出了全圓滾刀參數的求解公式;建立了全圓弧過渡曲線輪齒和通用過渡曲線輪齒 (0.38m齒根過渡曲線)三維仿真模型，并采用有限元方法對其進行應力分析和比較，結果表明:小輪齒根應力降低33%，大輪齒根應力降低4%.因此，采用全圓弧過渡曲線的輪齒齒根可提高輪齒彎曲強度.

[1]郁明山.齒輪手冊 (下冊)[M].北京:機械工業(yè)出版社，2007.

[2]曾 韜.螺旋錐齒輪設計與加工 [M].黑龍江:哈爾濱工業(yè)大學出版社，1989.

[3]吳序堂.齒輪嚙合原理[M].西安:西安交通大學出版社，2009.

[4]趙少卞.王忠保[M].抗疲勞設計——方法與數據[M].北京:機械工業(yè)出版社，1997.