電壓互感器的高頻無源電路模型

張重遠(yuǎn) 徐志鈕 律方成 楊 彬

（華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 保定 071003）

1 引言

氣體絕緣變電站（GIS）由于具有占地面積小、運(yùn)行安全、維護(hù)方便以及與周圍環(huán)境隔絕等諸多優(yōu)點(diǎn)而在世界各地的應(yīng)用越來越廣泛。由于電站體積小，一次設(shè)備和二次設(shè)備距離很近，二次電纜處于電磁污染嚴(yán)重的環(huán)境中，開關(guān)操作等干擾源產(chǎn)生的暫態(tài)電磁波有可能在二次電纜中感應(yīng)出危險(xiǎn)的電壓并進(jìn)入氣體絕緣變電站的控制設(shè)備和保護(hù)設(shè)備，影響它們的正常運(yùn)行。因此，必須對二次側(cè)產(chǎn)生的電壓進(jìn)行分析。

端口模型僅預(yù)測系統(tǒng)中感興趣的頻率分量，不用進(jìn)行完全和詳細(xì)的分析，可縮短計(jì)算時間、提高仿真精度。然而用有理函數(shù)對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建立的頻域函數(shù)模型[1-3]難以與國際上通用的電磁暫態(tài)計(jì)算程序（如EMTP或PSPICE等）匹配，而電路模型適用性強(qiáng)，使用方便。

文獻(xiàn)[4]對測量所得電壓傳遞函數(shù)進(jìn)行綜合，獲得電路模型，但模型中缺少輸入輸出阻抗，在一定程度上影響了仿真的準(zhǔn)確性。針對此問題可直接建立等效電路模型[5-7]，但矢量擬合[8]所得網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅能保證穩(wěn)定性，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)直接綜合所得的往往是有源電路，而有源的模型可能會得到不穩(wěn)定的仿真結(jié)果[9]。文獻(xiàn)[10]提出了滿足端口無源的電路模型修正方法，文獻(xiàn)[11]將該方法用于PT高頻電路模型的修正，該方法在一定程度上實(shí)現(xiàn)了仿真的穩(wěn)定性，但并不能保證每一個電路元件的無源性。若將該模型作為大系統(tǒng)中的一個子系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，仍有可能產(chǎn)生不穩(wěn)定的仿真結(jié)果[12]。文獻(xiàn)[13]研究了PCB的無源電路，提出在矢量擬合方法的基礎(chǔ)上使用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)公式對優(yōu)化問題進(jìn)行求解然后使用遺傳算法對所得結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化而最終實(shí)現(xiàn)了微觀無源。該方法對無源電路綜合進(jìn)行了很好的嘗試，當(dāng)建立階數(shù)較低的等效電路時，這種方法計(jì)算效率很高，但由于 PT高頻電路模型階數(shù)較高，無源條件較難滿足，無源修正所得結(jié)果誤差較大，而使用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）則增加了算法的復(fù)雜程度和不確定性。鑒于此，有必要進(jìn)一步深入研究網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的無源擬合方法，以獲得穩(wěn)定高效的無源電路綜合算法。

本文測得PT的散射參數(shù)并將其轉(zhuǎn)化為 π型等效電路，然后用矢量擬合方法獲得導(dǎo)納的Foster表達(dá)式，通過分析指出將矢量擬合獲得的留數(shù)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整獲得無源的結(jié)果屬于含不等式約束的二次規(guī)劃問題，選擇了起作用集方法（active set method[14]）求解二次規(guī)劃，然后對所得參數(shù)進(jìn)行微調(diào)后最終獲得無源參數(shù)，最后以無源修正前后的比較驗(yàn)證了所提方法的有效性。

2 PT散射參數(shù)的測量和π型等效電路的建立

傳統(tǒng)方法中的掃頻法和脈沖測量法只能測量傳遞特性，不能得到設(shè)備的阻抗特性，而散射矩陣測量法不僅可以測量阻抗特性且具有測量信噪比高、操作簡單高效和抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此，散射參數(shù)測量法因具有更簡單、準(zhǔn)確和實(shí)用的特性而被本文采用。測量所得散射參數(shù)通過式（1）轉(zhuǎn)化為短路導(dǎo)納矩陣[15]

式中，y1=y2=1/z，z為散射參數(shù)測量時的匹配阻抗。

短路導(dǎo)納矩陣可以轉(zhuǎn)化為如圖 1所示的π型等效電路。

圖1 二端口網(wǎng)絡(luò)的π型等效電路Fig.1 PI-type equivalent circuit model for two-port network

具體公式為

3 無源電路的綜合

3.1 穩(wěn)定Foster表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)

在獲得 π型等效電路具體元件的導(dǎo)納表達(dá)式后，可采用矢量擬合（Vector Fitting）[8,10]方法獲得其穩(wěn)定的Foster表示形式

式中，s為復(fù)頻率；pk和 rk分別表示函數(shù)的極點(diǎn)和留數(shù)，它們均為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)共扼對；N表示擬合階數(shù)；d、e分別為常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)。

3.2 無源電路的綜合

以Foster表達(dá)式表示的導(dǎo)納參數(shù)可以使用文獻(xiàn)

[16]提出的方法進(jìn)行電路綜合，常數(shù)項(xiàng) d可以綜合為一個阻值為dΩ的電阻；而一次項(xiàng)se可以綜合為一個電容值為1/eF的電容。實(shí)數(shù)的極點(diǎn)pkr和對應(yīng)的留數(shù)rkr可綜合為電阻和電感的串聯(lián)，如圖2所示。

圖2 實(shí)數(shù)極點(diǎn)和留數(shù)對應(yīng)的綜合電路Fig.2 Synthetical circuit of real pole and residue

圖2中的電阻和電感值如下

對于復(fù)共扼極點(diǎn)和留數(shù)，設(shè)極點(diǎn)分別為ckp 和，留數(shù)分別為 rkc和，則對應(yīng)項(xiàng)可綜合為如圖3所示的綜合電路。

圖3 復(fù)共扼的極點(diǎn)和留數(shù)對應(yīng)的綜合電路Fig.3 Synthetical circuit of conjugated poles and residues

圖3中各元件值如下

要實(shí)現(xiàn)微觀無源即要求每個元件參數(shù)值都為正值，綜上所述，考慮到矢量擬合結(jié)果由于滿足傳遞函數(shù)穩(wěn)定性而自動滿足Re(pk)≤0，對應(yīng)要求極點(diǎn)、留數(shù)、常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)分別如下

式中，函數(shù)Re(·)表示對復(fù)數(shù)取實(shí)部。

對于實(shí)數(shù)的極點(diǎn)和留數(shù)可以看為復(fù)數(shù)的特例，也要求滿足上述條件。

式（10）～式（14）這5個條件無法自動滿足，從而導(dǎo)致了綜合所得電路不是無源的形式。矢量擬合所得極點(diǎn)已滿足穩(wěn)定性條件，故本文考慮使用優(yōu)化算法對所得留數(shù)、常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使它們能滿足上述無源的條件。

4 二次規(guī)劃算法

4.1 二次規(guī)劃

本文的優(yōu)化問題相當(dāng)于滿足約束條件下使優(yōu)化所得網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與實(shí)測結(jié)果具有最小誤差的約束最優(yōu)化問題。設(shè)將實(shí)數(shù)極點(diǎn)、留數(shù)轉(zhuǎn)化為共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)、留數(shù)后擬合所得表達(dá)式有2N階，第2節(jié)計(jì)算所得π型等效電路導(dǎo)納Y=(y1, y2, …, yM)，第k對極點(diǎn)為p2k-1=ak+bki和p2k=ak-bki，第k對留數(shù)為 r2k-1=ck+dki和r2k=ck-dki，其中ak、bk、ck、dk為實(shí)數(shù)。待優(yōu)化變量X=(c1, d1, …, cN, dN, d, e)T，A為一個2M×(2N+2)矩陣，函數(shù)Im(A)獲得復(fù)數(shù)A的虛部。

當(dāng) 1≤i≤M，1≤j≤N 時有

當(dāng) M+1≤i≤2M，1≤j≤N 時有

C 為 (2N+2)×(2N+2)矩陣，D=(0, 0, …, 0)T，E= (0, -∞, …, 0, -∞, 0, 0)T，F(xiàn)=(∞, ∞, …, ∞, ∞, ∞,∞)T。微觀無源的優(yōu)化問題等價于AX=B，CX≤D，E≤X≤F；其中A、C為矩陣，B為2M×1列向量，X、D、E、F均為(2N+2)×1的列向量。根據(jù)最小二乘原理滿足 AX=B 即要求(AX-B)T(AX-B)=XTATAX-BTAX-XTATB=XTGX+HX最小化，式中G=ATA，H=-2BTA。而約束條件CX≤D，E≤X≤F可合并等價于C1X≤D1，其中C1為(6N+6)×(2N+2)矩陣，D1為(6N+6)×1列向量。因此，上述優(yōu)化問題等價于minf(X)=XTGX+HX同時滿足C1X≤D1，屬于含不等約束的二次規(guī)劃問題。

4.2 起作用集方法

對于滿足不等式約束的二次規(guī)劃問題可以使用Active Set Method[14]進(jìn)行求解。該方法的基本原理是以可行點(diǎn)為起點(diǎn)，僅考慮該點(diǎn)起作用的約束作為等式約束，在獲得更好可行點(diǎn)后重復(fù)執(zhí)行至收斂。設(shè)在k次迭代中已知可行點(diǎn)為xk，此時約束指標(biāo)集為Ik表示，此時需要解決等式約束問題

式中，ai是矩陣 A第 i行向量；bi是向量 B第i個元素。設(shè)dk=X-Xk，則上述問題等價于

這就是一個滿足等式約束的二次規(guī)劃問題，可以使用直接消去法或Lagrange乘子法。獲得其最優(yōu)解后 dk分 3種情況討論：①若 Xk+dk為可行點(diǎn)且dk≠0，則第 k+1 次迭代中，Xk+1=Xk+dk；②若 Xk+dk不是可行點(diǎn)，則令 Xk+1= Xk+λkdk，使得對于任意都有ai(Xk+λkdk)≥bi；如果存在ap(Xk+λkdk)=bp則Ik+1=Ik∪{p}；③若dk=0，則Xk是最優(yōu)解。

優(yōu)化后所得結(jié)果基本能滿足無源條件，即使有少數(shù)的留數(shù)不能嚴(yán)格滿足，其差距也很小，只要稍加調(diào)整即可嚴(yán)格滿足微觀無源條件?；诖私⒌牡刃щ娐分械娜魏螀?shù)都是無源，這將有效解決以往的有源電路或端口無源電路模型仿真時可能存在的不穩(wěn)定問題。

5 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，對一 PT建立了其無源模型。PT為高壓180匝、低壓60匝的實(shí)體。應(yīng)用HP 4395A頻譜網(wǎng)絡(luò)分析儀對一個電壓互感器模型的輸入與輸出端口之間的S參數(shù)進(jìn)行了測量。考慮到GIS中的VFTO主要集中的頻率范圍，選擇了 0.1～20MHz進(jìn)行分析。無源修正后所得電路參數(shù) y11π僅有 2階，其中 R0=4.73×105Ω、C0=1.31×10-12F；y12π有 36 階，其中 R0=∞、C0=5.65×10-13F；y22π有38階，其中R0=∞、C0=0；它們的其他元件值見表1～表3。

表1 y11π 的電路元件Tab. 1 The elements of synthesis circuits for y11π

表2 y12π 的電路元件Tab.2 The elements of synthesis circuits for y12π

（續(xù)）

表3 y22π 的電路元件Tab.3 The elements of synthesis circuits for y22π

最終形成PT的π等效電路的3個支路均由多個綜合電路并聯(lián)組成。從表中可以看出所有元件值都為正值，因此PT電路模型實(shí)現(xiàn)了完全的微觀無源。

無源修正前后的 y11π、y12π、y22π的幅頻特性和相頻特性如圖4～圖6所示。

圖4 y11π的幅頻和相頻特性Fig.4 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of y11π

圖5 y12π的幅頻和相頻特性Fig.5 Amplitude frequency and phase frequency characteristic of y12π

圖6 y22π 的幅頻和相頻特性Fig.6 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of y22π

從圖可以看出，除了 y11π的相頻特性在修正前后存在一定差距外，y12π、y22π的幅頻和相頻特性在修正前后差距都非常小。

無源修正前后的電壓傳遞函數(shù)如圖7所示。顯然無源修正前后的電壓傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特性比較接近，尤其是幅頻特性誤差非常小，而相頻特性誤差在接近 0.5MHz時稍大一些，但此時幅值很小對傳遞特性影響很小。電壓傳遞函數(shù)正是 PT的關(guān)鍵特性，這也驗(yàn)證了本文實(shí)現(xiàn)無源電路模型的有效性。

圖7 電壓傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特性Fig.7 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of voltage transfer function

6 結(jié)論

采用起作用集方法求解PT的 π型等效電路的微觀無源優(yōu)化問題，然后使用電路綜合方法最終實(shí)現(xiàn)了 PT的微觀無源電路。根據(jù)實(shí)測參數(shù)在 0.1～20MHz范圍內(nèi)的無源優(yōu)化結(jié)果表明本文所提方法能實(shí)現(xiàn)元件級無源的 PT模型，這將有效解決以往的有源電路或端口無源電路模型仿真時可能存在的不穩(wěn)定問題。而且無源修正前后電壓傳遞函數(shù)無論是幅頻特性還是相頻特性變化都較小。

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