基于時步有限元的永磁同步電機穩(wěn)態(tài)參數(shù)改進(jìn)計算方法

李和明 張 健 劉明基 羅應(yīng)立

（華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 北京 102206）

1 引言

準(zhǔn)確得到永磁電機的直交軸穩(wěn)態(tài)參數(shù)對于電機的驅(qū)動控制、性能計算都非常有必要[1-3]。對于中型以上的電勵磁同步電機，使用磁路分析的方法計算直交軸穩(wěn)態(tài)參數(shù)已經(jīng)有足夠的精度[4,5]，但對于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的永磁電機，特別是轉(zhuǎn)子帶有起動籠型導(dǎo)條的自起動永磁同步電機磁路耦合非常緊密，使用磁路分析的方法已經(jīng)不能滿足精度要求。永磁同步電機中永磁體的大小及排列方式多種多樣，當(dāng)永磁體的布局及隔磁橋、主氣隙及第二氣隙大小改變時，以及由均勻氣隙改為非均勻氣隙時，都會嚴(yán)重影響主磁路磁導(dǎo)引起局部飽和現(xiàn)象，使得由磁路分析方法得到的結(jié)果存在不可接受的誤差。

近年來數(shù)值解法尤其是有限元方法發(fā)展迅速，使用有限元方法可以方便地計算得到電機內(nèi)的磁場分布，因此有限元方法在計算結(jié)構(gòu)復(fù)雜的永磁電機穩(wěn)態(tài)參數(shù)中已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]介紹了從能量角度使用有限元計算電感（X=ωL）的兩種方法：一是計算某個電流激勵下的磁鏈，除以電流可以得到電感；二是根據(jù)該電流激勵下的磁場儲能W，由W=I2L/2計算得到電感。這兩種方法計算簡單、方便實施，可以單獨計算直軸電抗或交軸電抗，但對于直、交軸磁路結(jié)構(gòu)不同且存在著交叉飽和的永磁同步電機來說不太適用，而且磁路飽和程度又嚴(yán)重影響電抗參數(shù)，進(jìn)而影響使用動態(tài)方程仿真電機動態(tài)特性的精度[7]。文獻(xiàn)[8]通過將永磁體的剩磁設(shè)為零并分別施加直軸、交軸電流，計算得到了直、交軸電抗參數(shù)，這種方法同樣不能計及直、交軸交叉飽和效應(yīng)，以及永磁體的存在引起的磁路飽和變化。文獻(xiàn)[9]提供了一種在任意負(fù)載下，考慮交叉飽和作用時計算直、交軸電抗的方法，該方法通過相量圖法計算電抗參數(shù)，通過對定子內(nèi)圓表面磁位進(jìn)行諧波分析的方法得到基波磁通，進(jìn)而得到氣隙電動勢。這種方法無法計及正弦電樞電流產(chǎn)生的諧波磁場所感應(yīng)的基波電動勢，也就是忽略了諧波漏電抗（差漏抗），在電機設(shè)計得較為飽和時特別是大負(fù)載時會引入較大誤差。

使用功角測試的方法測試穩(wěn)態(tài)參數(shù)已經(jīng)有許多文獻(xiàn)做了研究[4,10]，得到了具有一定精度的結(jié)果。本文提出一種基于2-D平面場的時步有限元計算方法，該方法既能充分體現(xiàn)直、交軸交叉飽和作用，又能計及槽漏抗、諧波漏抗。通過給定端口電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩大小，可以計算永磁電機在任意工況下穩(wěn)定運行時的直、交軸同步電抗參數(shù)，并通過實驗證明該方法準(zhǔn)確可靠。

2 2-D時步有限元

基于Maxwell方程組的有限元方法已經(jīng)被多種商業(yè)軟件使用。針對本文所研究的永磁電機有限元模型，其方程可簡化為式（1）所示形式。關(guān)于有限元的具體推導(dǎo)過程可以參考專門文獻(xiàn)，在此不再贅述。

式中 Ω—求解區(qū)域；

Γ1—定子鐵心外圓邊界；

Γ2—永磁體和其他媒介的交界；

A—矢量磁位；

Js—電流密度；

σ—材料的電導(dǎo)率；

μ—不同介質(zhì)的磁導(dǎo)率；

δc—永磁體等效面電流密， δc=Hc×n；

Hc—永磁體矯頑力。

因為有限元方法能夠充分考慮非線性、飽和等因素，所以相對于磁路法具有較高的計算精度。時步有限元方法是指將計算過程劃分為若干步，下一步的計算以上一步的結(jié)果為基礎(chǔ)。本文為了研究電機運行過程中的飽和及交叉飽和效應(yīng)，以及永磁體在該飽和條件下所感應(yīng)的電動勢，需要使用時步有限元方法進(jìn)行計算。在負(fù)載條件下，每個時步計算完成之后，凍結(jié)各單元的磁導(dǎo)率，以永磁體單獨作用為激勵條件進(jìn)行線性磁場計算，得到該時步下的磁場分布，再轉(zhuǎn)入下一時步的計算。相當(dāng)于每個時步下先后計算兩個磁場，第一個磁場(常規(guī)時步有限元)計算得到有限單元磁飽和分布，該分布用于求解第二個只有永磁體勵磁的線性磁場，而后由磁位對時間求導(dǎo)，即可得到永磁體在負(fù)載飽和條件下的“空載”感應(yīng)電動勢Epm，該方法計算流程如圖1所示。

圖1 時步有限元計算流程Fig.1 TS-FEM calculation procedure

圖1中t表示經(jīng)過離散的計算時間，離散步長為 dt；k表示計算感應(yīng)電動勢時用到的系數(shù)，該系數(shù)由電機的繞組布置，定子槽區(qū)域以及剖分單元面積等決定。

常見的商業(yè)軟件包有Ansys、Ansoft等，Ansoft軟件在關(guān)于電機的常規(guī)計算仿真上使用非常方便，在建模完成并設(shè)定完邊界條件、激勵項之后，即可方便地進(jìn)行仿真，也可以先行使用磁路模塊設(shè)計，然后自動生成有限元模型，但該軟件無法輸出每一時步下的單元磁導(dǎo)率，無法實現(xiàn)上述流程的計算。Ansys軟件包擁有包括電磁場在內(nèi)的多場耦合計算的強大功能，傾向于從物理本質(zhì)上去解決問題?；贏nsys的時步有限元計算，每個時步完成之后將單元節(jié)點的求解結(jié)果輸出為結(jié)果文件以備在下一個時步計算時使用。該軟件雖然可以輸出單元磁導(dǎo)率，但上述計算流程是兩條線程分別計算，單純使用Ansys亦難以實現(xiàn)。

本文依據(jù)式（1）參考了文獻(xiàn)[11，12]介紹的方法自行編制了時步有限元計算程序，并對一臺22kW 的自起動永磁同步電機進(jìn)行了建模計算。該樣機的部分截面如圖2所示，由三角有限單元組成的區(qū)域是永磁體區(qū)域。樣機基本參數(shù)見下表。

圖2 永磁電機截面圖Fig.2 Partial section of the PMSM

表 永磁電機樣機基本參數(shù)Tab. Specifications of the PMSM prototype

3 矢量圖法求解永磁電機穩(wěn)態(tài)參數(shù)

在永磁電機的經(jīng)典文獻(xiàn)中，矢量圖法一般被認(rèn)為是一種較為可靠的計算穩(wěn)態(tài)參數(shù)測試方法[4]，其最大特點是各電氣量之間相對關(guān)系明確，物理概念清晰。

3.1 常規(guī)矢量圖法求解穩(wěn)態(tài)參數(shù)

圖3所示是一臺運行在電動機狀態(tài)下的永磁電機穩(wěn)定運行時各矢量之間的關(guān)系[5]。其中Xd、Xq分別代表直交軸電抗，E0為空載感應(yīng)相電動勢，U是外加相電壓，R是電樞相電阻，I、Id和Iq分別表示電樞電流及其直交軸分量，θ和φ分別代表矢量U超前E0和U超前I的角度。所示各矢量間的關(guān)系，可以由如下等式描述

式中

圖3 永磁電機的時空矢量圖Fig.3 Time and space phasor diagram of PM motor

從式（2）～式（5）可知，為了計算某工況下的 Xd和 Xq，需要獲得電樞繞組相電阻 R1的大小以及矢量U、I、E0的幅值和相位。

3.2 改進(jìn)矢量圖法求解穩(wěn)態(tài)參數(shù)

在使用上述常規(guī)的矢量圖法求解時，感應(yīng)電動勢使用的是恒定空載感應(yīng)電動勢，這事實上假定了在負(fù)載運行時由永磁體激勵的感應(yīng)電動勢大小不受直、交軸電流大小等條件的影響。實際上，在永磁電機的負(fù)載運行時，由于電樞反應(yīng)磁勢加載在直交軸之間的位置上，由永磁體激勵的磁場的軸線并不在直軸上，即存在著直、交軸交叉磁化的現(xiàn)象[13]。所以，當(dāng)由永磁體激勵的磁場所感應(yīng)的電動勢 Epm不僅僅有交軸分量EpmQ而且還有直軸分量EpmD時，就需要對矢量圖進(jìn)行修正，如圖4所示。

圖4 修正的永磁電機負(fù)載運行矢量圖Fig.4 Improved time and space phasor diagram of PM motor

同理，還需要對式（2）、式（3）進(jìn)行修正

4 考慮交叉飽和的Epm計算

本文討論的由矢量圖法計算穩(wěn)態(tài)參數(shù)，而定子繞組電動勢大小和相位的求取是工作重點。

4.1 交叉飽和效應(yīng)分析

按圖1所示的計算流程，在電機穩(wěn)態(tài)運行時，不同工況下電機內(nèi)磁力線走向與飽和情況如圖5所示。

圖5 不同負(fù)載條件下磁場圖與磁場飽和程度Fig.5 Flux and saturation field contour under different load condition

從圖5a可以看出，在只有永磁體單獨激勵的空載運行條件下，磁力線走向和磁路飽和云圖均嚴(yán)格關(guān)于d軸對稱。從圖5b可以看出，在由永磁體和電樞電流共同激勵的負(fù)載運行條件下，電機內(nèi)定、轉(zhuǎn)子鐵心飽和分布發(fā)生了嚴(yán)重畸變，已經(jīng)不再關(guān)于 d軸對稱，偏向了+q軸方向。從圖5c可以看出，基于上述兩種飽和條件，在永磁體單獨激勵下分別建立磁場，氣隙磁通密度法向分量Bn在360°電角度θe內(nèi)的畸變分布如圖6所示。

圖6 永磁單獨激勵下的氣隙磁通密度Fig.6 Air-gap flux density excited by PMs

為了便于分析，在定轉(zhuǎn)子相對位置相同的條件下，提取圖5c所示的兩種磁場飽和情況下的氣隙磁通密度進(jìn)行對比，如圖6所示。由于負(fù)載飽和條件下-q軸方向飽和程度較低，氣隙磁場磁極中心已經(jīng)偏離了+d軸軸線，偏向了-q軸方向，即存在著-q軸磁場，由電機學(xué)可知，隨轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的-q軸磁場將產(chǎn)生d軸電動勢。

4.2 定子Epm的求取

使用有限元方法求取定子繞組感應(yīng)電動勢有多種方法，一是在定、轉(zhuǎn)子某個固定相對位置下計算得到氣隙磁通密度，使用磁路法公式進(jìn)行計算，該方法適合于靜態(tài)場計算。對于時步有限元方法，通過與定子繞組交鏈的磁鏈對時間求導(dǎo)求取感應(yīng)電動勢的波形，磁鏈由繞組區(qū)域的節(jié)點矢量磁位A來表示[12]。在每個時步下使用負(fù)載飽和磁導(dǎo)率，完成永磁線性場計算之后，通過前向歐拉法利用式(8)計算得到該時刻下的永磁電動勢epm(t)為

式中 K—一個由繞組連接方式等諸因素決定的系數(shù)，它是一個常量；

np—該線圈邊所包含的單元總數(shù)；

Δe—單元面積；

Ai，Aj，Am—單元的三個節(jié)點的矢量磁位。

進(jìn)行整個周期計算，即得到該周期下的感應(yīng)電動勢波形，圖7a所示的是在兩種飽和條件下分別求得的感應(yīng)電動勢波形。

圖7 不同飽和條件下Epm求取Fig.7 Epm calculation under different saturation conditions

使用矢量圖法求解參數(shù)時，以各矢量列寫方程，所以此處只需要分析各量的基波分量。從圖7b中可知，在負(fù)載場飽和條件下，永磁感應(yīng)電動勢基波Epm按分別向+d和+q軸投影的方法分解為直、交軸分量，假定在空載情況下轉(zhuǎn)子作同樣的旋轉(zhuǎn)得到的感應(yīng)電動勢E0的相位角為零度時，EpmD、EpmQ分別為

式中 EpmD，EpmQ—永磁磁場在直軸和交軸上感應(yīng)的電動勢；

α—Epm落后E0的角度。

得到之后，其他各量按常規(guī)方法求取，即可代入到式（6）、式（7）求取直交軸電抗。

5 穩(wěn)態(tài)參數(shù)的計算算例

本文對圖2所示的樣機進(jìn)行了仿真計算，端部漏抗Xe參照文獻(xiàn)[14]介紹的適用于普通交流電機的磁路分析方法計算得到，并且不考慮在大電流情況下的漏磁路飽和問題，認(rèn)為該值在合理的負(fù)載范圍內(nèi)保持恒定。經(jīng)計算該樣機的Xe=0.0215Ω，其他計算條件可以任意給定，現(xiàn)以額定負(fù)載工況為例：負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=280N·m、線電壓Ul=380V進(jìn)行計算，以A相為例，各矢量為

進(jìn)而得到功角θ=35.70°、功率因數(shù)角φ= -4.50°、內(nèi)功率因數(shù)角ψ=40.20°，代入式（6）、式（7）計算得到Xd=2.692Ω和Xq=6.371Ω。

需要說明的是，上述算例是在一個任意負(fù)載下的計算結(jié)果，當(dāng)負(fù)載以及供電電壓發(fā)生改變時，由于鐵心飽和程度也會相應(yīng)地發(fā)生變化，所以 Xd與Xq的值也會相應(yīng)地改變。這就意味著同步電抗并不是一個恒定不變的值。為此，本文改變運行工況，重復(fù)進(jìn)行上述計算步驟可以得到一系列隨負(fù)載變化的電抗參數(shù)。

如果不考慮交叉飽和作用，認(rèn)為永磁感應(yīng)電動勢不隨飽和情況變化而改變，使用事先計算得到的空載感應(yīng)電動勢E0=224V，連同式（10）的電壓和電流矢量一起代入式（2）、式（3），求得Xd=2.173Ω和Xq=4.828Ω。

6 測試對比

測試 Xd和 Xq的方法有多種，如電壓積分法、電流衰減法、雙回路法、矢量圖法等，不同的方法各有局限性和優(yōu)點[5]。為了與前文的計算結(jié)果進(jìn)行更好地對比，使用矢量圖法測試穩(wěn)態(tài)參數(shù)[2]，測試平臺如圖8所示。

圖8中直流電機根據(jù)需要可以運行在電動或發(fā)電狀態(tài)，運行在發(fā)電狀態(tài)時將其發(fā)出的電能通過逆變的方式回饋電網(wǎng)，并通過控制逆變器的工作狀態(tài)改變施加在永磁電機上負(fù)載。圖8中的傳感器同時有三方面的作用：采集軸上傳遞的扭矩大??；由其集成的光電碼盤實時檢測轉(zhuǎn)速；該傳感器集成有第二碼盤，每周輸出一個脈沖信號，同以檢測電機端口電壓相位與轉(zhuǎn)軸位置之間的相對關(guān)系。

圖8 電機多功能測試平臺Fig.8 PMSM multifunction test platform

使用矢量圖法測試參數(shù)需要分兩步進(jìn)行：首先，使直流電機工作在電動機狀態(tài)，驅(qū)動永磁電機于同步轉(zhuǎn)速下空載發(fā)電運行，由高速數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集出空載感應(yīng)線電動勢E0波形和轉(zhuǎn)子位置脈沖信號，如圖9所示。

圖9 E0和轉(zhuǎn)子位置脈沖信號Fig.9 E0 and the rotor sign positions in time domain

然后改變永磁同步電機為電動機工作狀態(tài)，在保證轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)向與發(fā)電狀態(tài)測試時轉(zhuǎn)向相同的條件下，測試在負(fù)載條件下供電線電壓的基波相位相對于轉(zhuǎn)子位置脈沖的相對位置如圖10所示。

圖10 U和轉(zhuǎn)子位置脈沖信號Fig.10 U and the rotor sign positions in time domain

在完成永磁同步電機空載發(fā)電和電動帶載運行之后，以轉(zhuǎn)子位置脈沖信號作為標(biāo)志位置，將感應(yīng)電動勢波形與供電電壓波形疊放在同一張圖上（見圖 11），保證標(biāo)志位置完全重疊，供電電壓波形超前感應(yīng)電動勢波形的角度就是所要求的功率角。

圖11 U、E0和轉(zhuǎn)子位置脈沖信號疊加圖Fig.11 superposition of U，E0 and rotor sign positions

由于本測試認(rèn)為在負(fù)載運行時感應(yīng)電動勢的大小保持不變，幅值位置處在交軸軸線上，屬于前文所述的常規(guī)矢量圖法測試。將使用上述方法測試的電壓、電流、反電動勢和功角，代入到式（2）～式（5），得到 Xd和 Xq。通過改變圖 8中所示直流發(fā)電機逆變上網(wǎng)的功率來改變被試永磁電機的負(fù)載，測試得到同步電抗隨負(fù)載率變化的曲線。

眾所周知，由于電機負(fù)載運行時主磁場由永磁體和定子電樞電流共同激勵產(chǎn)生，無法分離，在測試時無法測出，為了與常規(guī)矢量圖法對比，本文使用時步有限元方法分別依常規(guī)矢量圖法和改進(jìn)矢量圖法計算了 Xd和 Xq。并且計算了在額定電壓下同步電抗參數(shù)隨負(fù)載變化的曲線，如圖12所示。

圖12 時步有限元兩種計算與實測結(jié)果對比Fig.12 Compartment of two kinds calculated results and the measured resaets

在圖12中，常規(guī)矢量圖法測試值，指使用本節(jié)介紹的方法進(jìn)行測試得到的值；常規(guī)矢量圖法計算值，是指以時步有限元為工具模擬實際測試方法計算得到的值?？梢钥闯?Xd的值除去測試的第一點外，其他值都吻合得非常好，這是因為在負(fù)載較小時繞組總電流較小。在電流較小時式（2）及式（3）接近奇異，較小的電流誤差會引起測試所得參數(shù)較大的變化，這種情況對于Xq的測試更為明顯，以至于在負(fù)載率達(dá)到50%以上時計算與測試值吻合度才相對較高，但這也證明了有限元方法整體上是可靠的。改進(jìn)矢量圖法計算值，是指考慮直軸磁場產(chǎn)生直軸電動勢的情況下計算得到的電抗參數(shù)，可以看出該方法與不考慮交叉飽和磁化的“仿真測試計算”方法計算的結(jié)果差別較大，這也證明了忽略交叉飽和會引入較大的計算和測試誤差。

7 結(jié)論

本文研究了永磁電機在負(fù)載工況下交叉飽和效應(yīng)的存在性，以及由其導(dǎo)致的永磁磁場畸變產(chǎn)生帶有直軸分量感應(yīng)電動勢的問題，證實了常規(guī)矢量圖法求解穩(wěn)態(tài)參數(shù)存在一定誤差。為了避免該誤差，本文在使用時步有限元方法進(jìn)行常規(guī)負(fù)載計算的同時，又計算了該負(fù)載飽和條件下永磁體單獨激勵時的繞組感應(yīng)電動勢，并分解得到直、交軸分量，進(jìn)而對常規(guī)矢量圖進(jìn)行改進(jìn)，最終得到了計及交叉飽和效應(yīng)的直、交軸電抗參數(shù)。通過對比兩種方法的計算結(jié)果和實測數(shù)據(jù)，揭示了常規(guī)矢量圖法的局限性，從而為計算該電抗參數(shù)提供了新的方法。

[1]安群濤, 孫力, 趙克. 一種永磁同步電動機參數(shù)的自適應(yīng)在線辨識方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2008, (6):31-36.An Quntao, Sun Li, Zhao Ke. An adaptive on-line identification method for the parameters of permanent maget synchronous motor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2008(6): 31-36.

[2]Rahman M A, Zhou P, Lin D, et al. Measurement of parameters for interior permanent magnet motors[C].IEEE Power & Energy Society General Meeting, 2009:1-4.

[3]Marcic T, Stumberger G, Stumberger B, et al.Determining parameters of a line-start interior permanent magnet synchronous motor model by the differential evolution[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2008, 44(11): 4385-4388.

[4]Gieras J F, Wing M. Permanent magnet motor technology-design and applications [M]. New York:Marcel Dekker INC, 2002.

[5]唐任遠(yuǎn). 現(xiàn)代永磁電機理論與設(shè)計[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1997.

[6]Ji Young Lee, Sang Ho Lee, Geun Ho Lee, et al.Determination of parameters considering magnetic nonlinearity in an interior permanent magnet synchronous motor[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2006, 42(4): 1303-1306.

[7]Aliabad A D, Mirsalim M, Ershad N F. Line-start permanent-magnet motors: significant improvements in starting torque, synchronization and steady-state performance[J]. IEEE Transactions on Magnetics,2010, 46(12): 4066-4072.

[8]?arko D, Ban D, Klari? R. Finite element approach to calculation of parameters of an interior permanent magnet motor[J]. Automatika, 2006, 46(3-4):113-122.

[9]Rahman M A, Ping Z. Determination of saturated parameters of PM motors using loading magnetic fields[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1991,27(5): 3947-3950.

[10]Gorman S F, Chen C, Cathey J J. Determination of permanent magnet synchronous motor parameters for use in brushless DC motor drive analysis[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 1988, 3(3):674-681.

[11]李志強. 自起動永磁電機動態(tài)過程的有限元分析與實驗研究[D]. 北京: 華北電力大學(xué), 2009.

[12]胡敏強, 黃學(xué)良. 電機運行性能數(shù)值計算方法及其應(yīng)用[M]. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2003.

[13]Stumberger B, Stumberger G, Dolinar D, et al.Evaluation of saturation and cross-magnetization effects in interior permanent-magnet synchronous motor[J]. IEEE Transactions on Industry Applications,2003, 39(5): 1264-1271.

[14]陳世坤. 電機設(shè)計[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社,2000.