脈沖擾動系統(tǒng)的集合穩(wěn)定性

趙海清，張玉樂，王光雪

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)＊

0 引言

人口動態(tài)，細(xì)胞分裂等一些數(shù)學(xué)模型都用脈沖系統(tǒng)來描述，因此近年來脈沖系統(tǒng)理論被廣泛研究和發(fā)展.脈沖系統(tǒng)理論形成了很多不同的穩(wěn)定性概念，如嚴(yán)格穩(wěn)定性［1］，實(shí)際穩(wěn)定性［2］以及兩測度穩(wěn)定性［3］等等.另外，由于實(shí)際到一個數(shù)學(xué)模型有時總有一些誤差，而且由于機(jī)器老化等一些實(shí)際問題，使得一些模型總是有一些擾動存在.如果我們考慮這些擾動，便產(chǎn)生了一個擾動系統(tǒng).對原來的無擾動系統(tǒng)，它通常需要滿足某種穩(wěn)定性，那么它所對應(yīng)的擾動系統(tǒng)是否是穩(wěn)定的呢?這需要我們進(jìn)一步判斷.可是不幸的是，我們除了知道擾動項(xiàng)的一些定性的信息，如擾動的范數(shù)的上界等條件，根本不知道擾動項(xiàng)的具體描述，因此我們就不能用已有的穩(wěn)定性方法來判斷.本文從擾動項(xiàng)上界這僅有的條件出發(fā)，研究了擾動脈沖微分系統(tǒng)的集合穩(wěn)定性.之所以研究集合穩(wěn)定性，是因?yàn)榧戏€(wěn)定性是包含零解的穩(wěn)定性，解的穩(wěn)定性的比較廣泛的穩(wěn)定性概念［4］.

具體地，我們是利用原始脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Lyapunov函數(shù)，考慮到擾動項(xiàng)的影響，研究了脈沖系統(tǒng)的集合的一致漸近穩(wěn)定性，給出了集合穩(wěn)定的充分性條件.本文的方法可以用來考慮一個復(fù)雜的脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要把這個復(fù)雜的脈沖系統(tǒng)看成我們熟悉的或者能判斷其穩(wěn)定性的系統(tǒng)的擾動系統(tǒng)，根據(jù)我們定理的條件，便可以判斷出這個復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 研究系統(tǒng)及相關(guān)知識

Rn是一個定義了范數(shù)和距離的n維歐式空間.我們考慮下面這個擾動系統(tǒng)

式中，t∈R+=［0，+∞)，x∈Rn，f:R+×Rn→Rn關(guān)于自變量t是逐段連續(xù)，在每個tk點(diǎn)左連續(xù)，Ik(x):Rn→Rn關(guān)于每個k連續(xù)，0＜t1＜t2＜… ＜tk＜…，當(dāng) k→ ∞，tk→ ∞，Δx(tk)=Ik(x(tk))+Jk(x(tk))，系統(tǒng)(1)是如下系統(tǒng)(2)的一個擾動系統(tǒng)

由于模型的偏差，機(jī)器老化等實(shí)際問題產(chǎn)生了擾動項(xiàng)g(t，x)，Jk(x)，有時我們不知道擾動項(xiàng)的具體表達(dá)或其一些定量性質(zhì)，但是我們知道擾動項(xiàng)的范數(shù)的上界.本文將利用這個上界來解決擾動系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定問題.令x(t;t0，x0)是具有初值x()=x0的(1)的解.

定義下面的類

K={a|a:R+→R+是關(guān)于自變量嚴(yán)格遞增的函數(shù)且a(0)=0};

Gk={(t，x)∈ R+× Rn，tk－1＜ t ＜ tk，且 tk預(yù)先給定};

M(t)={x∈ Rn:(t，x)∈ M};

M(t，ε)={x∈ Rn:d(x，M(t))＜ ε，ε ＞ 0};

Dη，t={x∈Rn:d(x，M(t))≤η，η＞ 0，t∈R+};

Sα={x∈ Rn:‖x‖ ＜ α，α ＞ 0}.

假設(shè)

(1)?t∈R+，M(t)不是空集;且存在緊集Q?Rn，使得M(t)? Q;

(2)對(t，x)，(t'，x)∈f+g，存在常數(shù)ρ使得|d(x，M(t))－ d(x，M(t＇))|≤ ρ|t－ t'|;

(3)對系統(tǒng)(1)的每個解滿足:任意定義域內(nèi)的 t，d(x(t;t0，x0)，M(t))≤ r ＜ ∞.

定義1 函數(shù)V:R+×Rn→R+屬于ν0，下面的條件被滿足

(2)在每個tk處 V是左連續(xù)的且右極限存在，特別是，當(dāng)(t，x)∈ M 時，V(t，x)=0，否則，V(t，x)＞ 0.

定義3［5］如果下面的條件(1～3)成立，則關(guān)于系統(tǒng)(1)的集合M是一致全局漸近穩(wěn)定的.

(i)M是穩(wěn)定的:?t0∈R+，?ε＞0和?α＞0，存在 δ(ε)＞ 0和?x0∈Sa∩M(t0，δ)使得對t≥ t0，x(t)∈ M(t，ε);

(ii)系統(tǒng)(1)的解是有界的:?t0∈R+，?η＞0和 ?α ＞ 0，存在β(ε)＞ 0和?x0∈Sa∩Dη，t0使得對 t≥ t0，x(t)∈ M(t，β);

(iii)M是吸引的:?t0∈R+，?η ＞0，?α ＞0和?ε ＞ 0存在T(η，ε)＞ 0和?x0∈Sa∩Dη，t0使得對 t≥ t0+T，x(t)∈ M(t，ε).

2 穩(wěn)定性證明

引理 假設(shè)對t≥t0，m(t):R+→R在tk上左連續(xù)，對任意的k，D+m(t)≤l(t)m(t)+p(t)，m)≤ekm(tk)+qk，則，其中l(wèi)(t)，p(t)是連續(xù)的，ek，qk是常數(shù).

定理 設(shè) a，b，c∈ K，λ(t)，θ(t)是可積正函數(shù)，且下面條件成立:

(i)a(d(x，M(t)))≤ V(t，x)≤ b(d(x，M(t)))，(t，x)∈ R+× Rn;

(ii)對系統(tǒng)(2)中的V(t，x)滿足D+V(t，x)≤－ λ(t)V(t，x)，t≠ tk和 V(t+0，x+ Δx)≤ V(t，x)，t=tk;

(iii)||g(t，x)||≤ θ(t)a(d(x，M(t)))，且Lθ(t)＜ λ(t);

(iv)||Jk(x(tk))||≤ εka(d(x(tk)，M(tk)))，εk≥0和Lεk＜ ∞.

則M是系統(tǒng)(1)的一個一致全局漸近穩(wěn)定集.

對 t≠ tk，

對t=tk，

根據(jù)引理有

下面我們將證明對上面的T(η，ε)＞0，系統(tǒng)(1)的解滿足對?α ＞ 0，x0∈Sα∩Dη，t0，存在t*∈［t0，t0+T］，使得 d(x(t*)，M(t*))＜ δ.否則，對任意 T ＞ 0，t∈［t0，t0+T］有d(x(t)，M(t))≥δ.

根據(jù)(3)，有下面的式子

這是一個矛盾，所以存在t*∈［t0，t0+T］，使得d(x(t*)，M(t*))＜ δ.

根據(jù)式(4)，

這就證明了M是一致全局吸引的.

對 ?α ＞ 0，?η ＞ 0，?x0∈ Sα∩ Dη，t0，取β(α，η)使 a(β(α，η))＞ b(η)ζ.根據(jù)式(4)和(i)，有

這就證明了系統(tǒng)(1)的解是有界的，完成了定理的證明.

3 結(jié)論

本文利用Lyapunov函數(shù)，通過原始系統(tǒng)的穩(wěn)定性解決了脈沖擾動系統(tǒng)的集合的全局一致漸近穩(wěn)定性，該穩(wěn)定性是包含零解一致漸近穩(wěn)定的穩(wěn)定性，具有廣泛的意義，特別是，應(yīng)用本文的穩(wěn)定性條件能快速判斷一個擾動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因?yàn)樗辛艘粋€直接的Lyapunov函數(shù).

［1］SENLIN LI，XINYU SONG，AN LI.Strict practical stability of nonlinear impulsive systems by employing two Lyapunov-like functions［J］.Nonlinear Analysis，2008(9):2262-2269.

［2］BORYSENKO S D，SPERANZA TOSCANO.Impulsive differential systems:The problem of stability and practical stability［J］.Nonlinear Analysis，2009，71:1843-1849.

［3］XINZHI LIN，QING WANG.On stability in terms of two measures for impulsive systems of functional differential equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326:252-265.

［4］LASALLE J P.The extent of asymptotic stability［J］.Proc.Nat.Acad.Sci.，1960，46:363-365.

［5］KULEV G V，BAINOV D D.Global stability of sets for systems with impulses［J］.Applied Mathematics and Computation，1987，38:99-115.