基于加權(quán)馬爾可夫鏈的杭州市年降水量預(yù)測(cè)

施 程,桑廣書

(浙江師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

1 研究背景

杭州市 (30°16′N,120°12′E)位于中國(guó)東南沿海, 是浙江省的省會(huì),中國(guó)經(jīng)濟(jì)最發(fā)達(dá)的城市之一,屬于亞熱帶季風(fēng)氣候,夏季高溫多雨,冬季低溫少雨,四季分明。降水豐富,但年際變化大。由于降水是水資源的主要補(bǔ)給來(lái)源,降水量的大小,決定著該地區(qū)水資源的豐富程度,而水資源的豐富程度又直接影響著當(dāng)?shù)毓まr(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民群眾的日常生活。因此如果能預(yù)測(cè)年降水量,就能提前做好工作部署,應(yīng)對(duì)旱澇災(zāi)害,防患于未然。雖然大氣降水存在著較大的不確定性,但如果能積累大量的歷史數(shù)據(jù),分析其規(guī)律,建立數(shù)學(xué)模型,仍可以利用數(shù)學(xué)方法預(yù)測(cè)年降水量。本文采用加權(quán)馬爾可夫鏈模型,對(duì)1956—2008年的杭州市年降水量實(shí)測(cè)值進(jìn)行分析,計(jì)算2009—2011年的降水狀態(tài)和年降水量。利用計(jì)算值和實(shí)測(cè)值的誤差來(lái)檢驗(yàn)該模型的可行性,最后預(yù)測(cè)杭州市2012年降水狀態(tài)和年降水量情況。

2 研究方法

馬爾可夫(Markov)預(yù)測(cè)法,由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Markov(1856—1992)提出,是一種預(yù)測(cè)事件發(fā)生概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈,根據(jù)事件的目前狀態(tài)預(yù)測(cè)其將來(lái)各個(gè)時(shí)刻 (或時(shí)期)變動(dòng)的一種預(yù)測(cè)方法[1].。馬爾可夫模型經(jīng)過幾十年的應(yīng)用和不斷改進(jìn),目前在生物學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、地理學(xué)、氣象學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛地應(yīng)用[2].。

2.1 傳統(tǒng)馬爾可夫鏈原理

可以設(shè)一個(gè)隨機(jī)過程X(t),在每個(gè)時(shí)刻 tn(n=1,2,…),Xn=X(tn)可以處在狀態(tài)a1,a2,…,an之一,而且只在t1,t2,…,tn等可數(shù)的時(shí)刻發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移。在這種情況下,如果過程在tm+k時(shí)刻變成任一狀態(tài)ai(i=1,2,…,n)的概率只與tm時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān),而與tm以前該過程所處的狀態(tài)無(wú)關(guān),該過程就稱為馬爾可夫鏈,簡(jiǎn)稱馬氏鏈[3].。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pi,j(m,m+K)表示馬氏鏈“在tm時(shí)刻出現(xiàn)Xm=ai的條件下,在 tm+K時(shí)刻出現(xiàn)Xm+k=aj”條件的概率,即 Pi,j(m,m+K)=P(Xm+k=aj丨Xm=ai)。所有的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率就可以構(gòu)成狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣P:

2.2 馬爾可夫鏈的改進(jìn)

傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈采用概率最大隸屬原則來(lái)確定預(yù)測(cè)對(duì)象的狀態(tài),但這種方法存在以下不足之處[4].:①最大隸屬度原則只考慮最大概率的作用,而完全忽略了其他概率對(duì)事物產(chǎn)生的影響;②最大隸屬度原則本身也有適用條件,當(dāng)最大隸屬度小于其他等級(jí)的隸屬度的總和時(shí),該原則就不再適用[5].;③最大隸屬度原則只能確定對(duì)象可能出現(xiàn)的狀態(tài)的概率,即只能推測(cè)對(duì)象在某一狀態(tài)區(qū)間內(nèi),無(wú)法預(yù)測(cè)對(duì)象的具體數(shù)值。

基于上述不足之處,為了對(duì)傳統(tǒng)馬爾可夫鏈模型進(jìn)行改進(jìn),使預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確,前人多引入模糊集理論中的級(jí)別特征,定義級(jí)別特征值 H[2、4].:

其中

式中:η為概率的作用系數(shù),其值越大,大概率的作用也越大,一般情況下取 η=2。根據(jù)級(jí)別特征值判斷預(yù)測(cè)對(duì)象的狀態(tài)后,由式(4)、(5)[5].計(jì)算預(yù)測(cè)對(duì)象的具體數(shù)值:

式中:x為預(yù)測(cè)值;Ai為狀態(tài)i區(qū)間的上限值;Bi為狀態(tài)i區(qū)間的下限值。

⑤為確保在任何水位組合下水流平穩(wěn)、水閘穩(wěn)定、水躍均發(fā)生在消力池內(nèi)，要求分級(jí)啟閉閘門，相鄰閘門開啟高差不得超過0.5 m,逐級(jí)循環(huán)啟閉至計(jì)算高度e。一個(gè)操作循環(huán)結(jié)束，要留有合理的時(shí)間間隔，待水流平緩后，再進(jìn)行下一個(gè)循環(huán)操作。

3 數(shù)據(jù)處理

本文根據(jù)杭州市1956—2008年的年降水量資料,利用這53 a的降水量及其狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)2009年的降水狀態(tài)和降水量,然后把2009年的實(shí)測(cè)值加入原序列中,預(yù)測(cè)2010年的降水量,最后預(yù)測(cè)2012年的降水狀態(tài)和年降水量。

3.1 計(jì)算均值及均方差無(wú)偏估計(jì)值

1956—2008年降水序列的均值及均方差無(wú)偏估計(jì)值可以由式(6)、(7)[1].計(jì)算得出:

3.2 采用均方差法將降水序列分級(jí)

水文學(xué)中通常把降水量分成5種狀態(tài):枯水年、偏枯年、平水年、偏豐年、豐水年。因此,用均方差法把該序列分為5個(gè)區(qū)間,每個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)馬爾可夫狀態(tài)[2].。根據(jù)表1確定歷史資料序列各時(shí)段降水量所處的狀態(tài),結(jié)果見表2。

表1 杭州市年降水量分級(jí)表

表2 杭州市1956—2008年年降水量狀態(tài)表[5].

3.3 建立狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)降水量所處的狀態(tài),計(jì)算不同步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣。如1956—2008年年降水量狀態(tài)為1的發(fā)生9次,第2年的年降水量狀態(tài)分別為:狀態(tài)為1的發(fā)生4次,狀態(tài)為2的發(fā)生1次,狀態(tài)為3的發(fā)生2次,狀態(tài)為4的發(fā)生2次,狀態(tài)為5的發(fā)生0次,可以得到年降水量狀態(tài)1且步長(zhǎng)為1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為4/9,1/9,2/9,2/9,0。其他年份和步長(zhǎng)的年降水量狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可依此類推。經(jīng)統(tǒng)計(jì),得到不同步長(zhǎng)的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣如下:

3.4 計(jì)算序列的各階自相關(guān)系數(shù)

自相關(guān)系數(shù)是指時(shí)間序列的前后期數(shù)值之間的相關(guān)關(guān)系程度。降水量各階自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式[1].見式(8):

式中:rk為第k階的自相關(guān)系數(shù);xt為第t時(shí)段的降水量,為降水量的均值;n為降水序列的長(zhǎng)度,一般情況下計(jì)算至5階即可。

經(jīng)計(jì)算,可得降水序列的自相關(guān)系數(shù)分別為r1=0.008,r2=0.097,r3=0.083,r4=0.097,r5=-0.338。

3.5 各階自相關(guān)系數(shù)歸一化

對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行歸一化,并將它們作為各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈的權(quán)重,計(jì)算公式[5].見式(9):

3.6 判斷降水狀態(tài)預(yù)測(cè)降水量

以預(yù)測(cè)年之前5 a的降水量為初始狀態(tài),提取狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的行向量組成新的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣,并在新組成的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣中對(duì)屬于同一狀態(tài)的列向量加權(quán)求和作為降水量處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率,計(jì)算公式[6].見式 (10):

采用級(jí)別特征值法判斷降水狀態(tài),若|H-i|＜0.5,則該時(shí)段降水量所處狀態(tài)為i。

根據(jù)1956—2008年的降水量序列及其相應(yīng)的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)2009年的降水狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。2004年的年降水量狀態(tài)為1,距離2009年的步長(zhǎng)為5步,就可以提取狀態(tài)1的步長(zhǎng)5的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,依此類推,分別提取初始年份的狀態(tài)和步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,就可以組成杭州市2009年的降水狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣。計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 杭州市2009年降水狀態(tài)預(yù)測(cè)表

將表3數(shù)據(jù)帶入公式(2),經(jīng)計(jì)算,可得H=3,|H-3|=0＜0.5,則可判斷杭州市2009年的降水狀態(tài)為3,屬于平水年。2009年杭州市降水量的實(shí)測(cè)值為1 616mm[7].,狀態(tài)為3,預(yù)測(cè)降水狀態(tài)與實(shí)際降水狀態(tài)符合。將表3中的數(shù)據(jù)及H帶入公式(4),取η=2,計(jì)算可得＾x=1 670mm,與實(shí)測(cè)值對(duì)比,相對(duì)誤差為3.3%。同理,把2009年的實(shí)測(cè)值帶入原序列中,根據(jù)1956—2009年的降水序列可以預(yù)測(cè)出2010年的降水狀態(tài)及降水量(見表4)。

表4 杭州市2010年降水狀態(tài)預(yù)測(cè)表

經(jīng)計(jì)算,H=2.9,|H-3|=0.1＜0.5,則可判斷杭州市2010年的降水狀態(tài)為3,但實(shí)際狀態(tài)為4。計(jì)算得＾x=1 638 mm,實(shí)測(cè)值為1 728mm,相對(duì)誤差為5.2%,小于20%的允許誤差,因此預(yù)測(cè)仍可信。同理預(yù)測(cè)2011年杭州市年降水量 (見表5)為1 526mm,降水狀態(tài)為3。該年的實(shí)測(cè)值為1 360mm[8].,相對(duì)誤差為12.2%。

表5 杭州市2011年降水狀態(tài)預(yù)測(cè)表

由上述計(jì)算可以看出,權(quán)馬爾可夫鏈用于預(yù)測(cè)杭州市年降水量精度較高。盡管2010年計(jì)算的降水狀態(tài)為3,實(shí)測(cè)降水狀態(tài)為4;2011年降水狀態(tài)為3,實(shí)際狀態(tài)為2,降水狀態(tài)的預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值稍有出入,但降水量計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的誤差分別為5.2%和12.2%,小于20%的允許誤差,預(yù)測(cè)結(jié)果仍然可信。此外由于2011年的年降水量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)年鑒尚未公布,該年度的數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng),該網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)與《浙江省統(tǒng)計(jì)年鑒》公布的數(shù)據(jù),同一年份誤差最高可達(dá)300 mm,且大多數(shù)年份該網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)小于《浙江省統(tǒng)計(jì)年鑒》所公布的數(shù)據(jù),因此2011年的預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值的誤差是否達(dá)到12.2%還有待驗(yàn)證。筆者認(rèn)為,加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)精度較高,可以用于杭州市年降水量的預(yù)測(cè)。

最后將2011年實(shí)測(cè)值加入序列, 就可以預(yù)測(cè)杭州市2012年的降水狀態(tài)(見表6)。

表6 杭州市2012年降水狀態(tài)預(yù)測(cè)表

經(jīng)計(jì)算,杭州市2012年的降水狀態(tài)為4,屬于偏豐年,年降水量預(yù)計(jì)為1 621mm。

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述,2009—2011年杭州市年降水量預(yù)測(cè)中,大多數(shù)年份的預(yù)測(cè)狀態(tài)和預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)情況相符,盡管2010年和2011年的預(yù)測(cè)狀態(tài)與實(shí)際情況略有差別,但預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差仍遠(yuǎn)小于20%的允許誤差,與實(shí)測(cè)值比較吻合,說明加權(quán)馬爾可夫鏈用于降水預(yù)測(cè)精度較高,可行有效,采用模糊及理論中的級(jí)別特征值結(jié)合判斷降水狀態(tài),可以使結(jié)果更為可靠。預(yù)計(jì)杭州市2012年的降水狀態(tài)為4,即偏豐年,年降水量為1 621mm,略多于多年平均值。根據(jù)今年上半年杭州市的實(shí)際降水情況看,降水量較往年多,因此預(yù)測(cè)值的可信度較高。但預(yù)測(cè)是否準(zhǔn)確還有待全年實(shí)測(cè)值的驗(yàn)證。

[1].徐建華.現(xiàn)代地理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 [M]..北京:高等教育出版社,2011.

[2].王蓓,劉玉甫.滑動(dòng)平均—馬爾可夫模型在降水預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]..水資源研究,2009,30(2):25-27.

[3].丁晶,劉權(quán)授.隨機(jī)水文學(xué) [M]..北京:中國(guó)水利水電出版社,1997.

[4].陳才明,孫新新,白植帆.溫州市年降水量的權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型[J]..浙江水利科技,2009(2):8-13.

[5].孫映宏.基于均生函數(shù)模型的杭州市年降雨量預(yù)測(cè) [J]..水電能源科學(xué),2009,27(2):14-16.

[6].陳守煜.工程模糊及理論與應(yīng)用[M]..北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1998.

[7].浙江省統(tǒng)計(jì)局.浙江省統(tǒng)計(jì)年鑒2010[M]..北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2010.

[8].國(guó)家氣象信息中心.中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)[DB/OL].http://new-cdc.cma.gov.cn:8081/home.do.