夾心式低頻超聲換能器設計

曾一平，李 劍，劉 瑜，彭 炯

(第二炮兵工程大學，西安 710025)

對于純粹的壓電陶瓷元件來說，要得到共振頻率在50 kHz 以下的振子，沿其極化方向的厚度應為4 cm 以上。這樣厚的振子，內(nèi)部阻抗太高，而且燒成和極化工藝都較困難。為了克服這一困難，常采用一種在壓電陶瓷圓片的兩端面夾以金屬塊而組成的夾心式壓電陶瓷換能器［1］，圖1 所示該換能器主要由中央壓電陶瓷片、前后金屬蓋板、預應力螺栓、金屬電極片以及預應力螺栓絕緣套管等組成。

圖1 夾心式換能器結構示意圖

這種換能器應用非常廣泛，文獻［2］中利用該換能器的結構設計制作了非金屬檢測探頭，并對混凝土進行了檢測;文獻［3］中在該型換能器前端安裝一個變幅桿應用于超聲加工領域。在夾心式換能器中，通過改變壓電陶瓷材料的厚度和形狀以及前后金屬蓋板的幾何尺寸和形狀，可以對換能器進行優(yōu)化設計，來獲得不同的工作頻率和其他一些性能參數(shù)，以適應不同的工作環(huán)境和應用場合。在一般情況下，利用換能器的頻率方程設計換能器的方式有2 種:一種是給定換能器的頻率，利用頻率方程設計換能器的形狀和尺寸;另一種是給定換能器的材料和幾何尺寸，由頻率方程計算其共振頻率。本文對換能器的幾種設計方法進行了論述和推導，分析了它們各自的特點，提出簡化設計的方法，并找出了影響設計精度的原因，對工程上換能器的設計有一定指導作用。

1 解析法

依據(jù)一維細棒振動原理，列出每個振動元件的波動方程，寫出通解，利用邊界條件確定出方程中的待定系數(shù)，再利用連續(xù)性條件解方程組可導出換能器的頻率方程等各性能參量的解析表達式。

在圖2 所示換能器的簡化模型中，1，2，3 分別表示換能器的后蓋板、壓電陶瓷晶片、前蓋板，質(zhì)點位移為ξ(x)，F(xiàn) 為應力，V 為振速，c 為聲速，k 為波數(shù)，當換能器的橫向尺寸小于時，由一維細棒的振動原理，得到各元件波動方程簡諧解［4-5］

圖2 換能器簡化模型

由換能器端面的邊界條件和交界面處力與速度的連續(xù)條件。可得到下列方程組

由式(1)和(2)聯(lián)立，即可得到換能器的頻率方程及其他所需的設計參量。

該方法是最基礎的設計方法，由振動理論、波動方程、壓電方程，結合邊界條件和連續(xù)性條件推導出來的，其他的方法都是在它的基礎上優(yōu)化變換得到的。需要指出的是，前后蓋板的形狀在很多情況是變截面，有圓柱形、圓錐形、指數(shù)形、懸鏈線等復雜形狀，可根據(jù)不同需要進行選擇，當選擇較為復雜的截面形狀時，用該方法計算比較復雜;為簡化設計，往往假設負載為零即F3(L3)=0，但很多情況下要考慮負載，因為負載對設計有一定影響，但當F3(L3)≠0 時，用該方法計算較為復雜［6］。

2 等效電路法

將作用在換能器每個元件兩端的力、振速、力阻抗分別類比于電壓、電流、電阻抗，則換能器和電路之間就有等效關系，這就是力電類比方法［7］。如圖2 所示的換能器的三大部分，每個元件用力電類比的方法，可得到等效的機械四端網(wǎng)絡［8］如圖3、4、5 所示，網(wǎng)絡中各等效電阻Z 都可由力電類比求得。由于邊界振速連續(xù)，可將各元件的等效T 型網(wǎng)絡連接起來，得到整個換能器的等效電路如圖6，圖6 中Zbl、Zfl為分別是換能器前后輻射面的負載阻抗，一般情況下，Zbl=0，由于換能器的前表面與負載相連，因此對應不同的負載，Zfl有不同的值。令電路阻抗部分為零，就可得到該換能器的頻率方程，也可對換能器的尺寸進行設計。

該方法利用等效電路圖顯示比較直觀，物理意義清楚，可以利用電路的原理進行分析計算。然而，從具體的推導過程中可以發(fā)現(xiàn)，利用這一方法得出的換能器的頻率方程是一個非常復雜的超越方程，其求解非常困難。此時利用換能器的節(jié)面可以簡化設計。對于半波振子，在振動時，換能器的兩端振動位移最大，而在換能器的內(nèi)部某個位置，存在一個振動位移為零的截面，稱為節(jié)面。因此，在設計壓電換能器時，假如我們將此位移節(jié)面作為一個分界面，把整個換能器看成是由2 個四分之一波長的振子組成，就可以利用這2 個四分之一波長振子的等效電路求出其頻率方程，從而就可以得出換能器的整個頻率方程［9］。如圖2 所示，AB 表示換能器的位移節(jié)面，它將換能器分為2 個四分之一波長的振子，每個四分之一波長的振子都是由壓電陶瓷晶片和金屬蓋板組成的，金屬蓋板可以看成是壓電陶瓷的負載。圖7 表示一個位于位移節(jié)面右邊的四分之一波長振子的機電等效電路圖。由于位移節(jié)面處的位移振速等于零，因此四分之一波長振子等效電路的左邊可以看成是開路的，其頻率方程可由回路中總電抗為零的條件來得出，由此可以得出換能器位移節(jié)面右邊四分之一波長振子的頻率方程，同理對于換能器位移節(jié)面左面四分之一波長振子的頻率方程，這樣就可以對換能器的形狀、尺寸及共振頻率進行設計。

圖3 元件1 的等效T 型網(wǎng)絡

圖4 元件2 的等效T 型網(wǎng)絡

圖5 元件3 的等效T 型網(wǎng)絡

圖6 換能器的等效電路

圖7 節(jié)面右邊四分之一波長振子的等效電路

3 傳輸矩陣法

根據(jù)一維振動原理，換能器的每個振動元件都有其等效的四端網(wǎng)絡，由波動方程的通解，求出四端網(wǎng)絡兩端速度與力的關系，并將這一關系用矩陣表示。矩陣中的各個元素由元件的材料及形狀決定，由振動理論可求得。把3 個元件的四端網(wǎng)絡按組合順序串聯(lián)起來，將各網(wǎng)絡矩陣相乘，可簡化為一個換能器總體四端網(wǎng)絡［10-12］。利用換能器兩端自由的條件得到系統(tǒng)的諧振頻率。

將換能器各元件看作是一維縱振動，其四端網(wǎng)絡如圖8所示，寫成表達式為

由細棒縱振動的波動方程，可得

圖8 四端網(wǎng)絡

如圖2 所示換能器由3 個元件組成，各元件分別按順序標以1，2，3。F1，V1，F(xiàn)2，V2，F(xiàn)3，V3，F(xiàn)4，V4分別表示各個元件兩端的力與振速，根據(jù)前面的討論有第i 個元件的等效四端網(wǎng)絡為

由連續(xù)性條件，將3 個元件的四端網(wǎng)絡聯(lián)立得換能器的四端網(wǎng)絡，如圖9 所示。

圖9 換能器的等效四端網(wǎng)絡

將該式(6)進行簡化，則

由換能器兩端自由，得邊界條件，F(xiàn)1=F4=0，則得

這種方法很簡單方便，利用計算機輔助設計能較好運用在工程設計上，特別針對不同形狀的前后蓋板，利用傳輸矩陣編成子程序，設計時按需要進行調(diào)用，不僅方便設計，在理論上也接近實際。需要注意的是，傳輸矩陣法只適應于單純振動的換能器，如果存在復合振動，如縱彎、縱扭等，這種方法將不再適用。

4 有限元法

常用的有限元設計換能器的軟件是ANSYS。其設計的一般步驟有:預處理、前處理、求解、后處理［13］。如圖10 所示。有限元方法對換能器建模時，一旦完成對換能器的建模，其計算過程就比較簡單，而且計算結果是以數(shù)值解給出的，通過可視化編程，后處理模塊可將這些數(shù)值解以圖形的方式顯示出來，由此觀察到換能器的各個振動模態(tài)、位移分布以及應力分布。有限元方法特別應用于不規(guī)則的、無法得到解析解的換能器的設計上。

圖10 ANSYS 設計換能器的一般步驟示意圖

5 結束語

傳統(tǒng)的解析法和等效電路法設計分析換能器時，會有較大的局限性:它們都要對被分析對象建立簡化的數(shù)學模型，如等效電路法處理的對象是集中參數(shù)系統(tǒng)，因而它只能得出換能器處于諧振狀態(tài)時(這時可簡化為集中的參數(shù)系統(tǒng))的一些參數(shù);又因為得出的性能參數(shù)都是以解析式的形式表達出來，所以要確切地知道換能器系統(tǒng)內(nèi)部的如位移分布、應力分布等量，都要經(jīng)過很繁瑣的運算才能得到。傳輸矩陣法有效地避免了這一問題，特別是針對復雜形狀函數(shù)換能器性能表達式復雜、計算工作量大的難點，通過計算機編程，能方便地對換能器進行設計。而有限元法通過可視化的特點，不僅能對換能器性能參數(shù)進行設計，還可以顯示換能器內(nèi)部位移分布和應力分布情況，適合對換能器進行分析驗證。

在實際的設計中我們可以根據(jù)需要選擇不同設計方法。針對不同的研究對象，有時候可將幾種方法結合起來使用，以簡化設計，另外使用不同方法也可以相互驗證。比如，對一端帶有圓錐桿的換能器，就可以用傳輸矩陣法進行設計，用有限元方法進行驗證。對于工程應用，換能器的設計應該系列化，假定有一“最佳”設計的參考換能器，諧振頻率為ω0，根據(jù)需要新設計的頻率ωs，確定頻率比例因子s=ωs/ω0，按比例改變參考換能器的尺寸，得到的新?lián)Q能器除少數(shù)性能參數(shù)有規(guī)律地變化外，其他性能參數(shù)不變，可以極大地簡化設計。同時如果能用設計方法本身統(tǒng)一換能器各元件性能參數(shù)的表達式，就可以方便地設計，而且用統(tǒng)一的表達式，也能更方便更深入地研究換能器的聲學性質(zhì)。

然而，在利用以上方法能對換能器進行設計時，由于建模過程中進行了簡化，實驗值與理論值存在一定的誤差，通過分析，得到影響設計精度的原因有:

1)探頭中預應力螺栓對換能器性能參數(shù)的影響。文獻［14］中的研究結果表明，當螺栓的長度、直徑和位置變化時，換能器的共振頻率變化可達1.3kHz，而有效機電耦合系數(shù)的相對變化可達25.5%。設計螺栓時，適當設計螺栓的長度和減小螺栓的直徑，可提高換能器的機電耦合系數(shù)。

2)節(jié)面選擇對換能器性能參數(shù)的影響。文獻［15］中分別對3 種節(jié)面位置進行了分析，得出其在換能器尺寸、前后振速比和有效機電耦合系數(shù)方面3 種特殊位置公式，并進行對比分析，不同位置這3 個設計參數(shù)有較大差距。可根據(jù)不同的設計需要，選擇不同的節(jié)面位置。

3)負載對換能器性能參數(shù)的影響。設計時為簡化，忽略了負載的影響，然而在實際工作過程中，換能器都是有負載的，而且對換能器的頻率影響也比較大。在換能器的材料、形狀和幾何尺寸給定后，其共振頻率僅由換能器的負載確定。

4)橫向耦合效應對換能器性能參數(shù)的影響。為簡化設計，將換能器各元件都看作純縱向振動，然而實際上過程中存在橫向耦合振動，引起固有頻率下降?？v振動固有頻率的下降與換能器徑長比有關，徑長比越大，固有頻率下降程度就越嚴重。

在實際設計過程中，要綜合考慮以上因素，才能進一步提高設計的精度。

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