豎直上升管中超臨界水的寬范圍換熱關(guān)聯(lián)式

劉 鑫，匡 波

（上海交通大學(xué)核科學(xué)與工程學(xué)院，上海200240）

作為第四代核能系統(tǒng)之一的超臨界水冷堆具有熱效率高、系統(tǒng)簡單、經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點，已成為當(dāng)前研發(fā)熱點。掌握各種工況條件下超臨界壓力水的傳熱特性是超臨界水冷堆研發(fā)與安全分析的重要基礎(chǔ)。超臨界水在擬臨界點附近物性劇烈變化，由此導(dǎo)致一系列復(fù)雜流動傳熱機(jī)制，使得建立在常物性基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)式準(zhǔn)確預(yù)測其對流傳熱行為變得困難。前人對超臨界水傳熱進(jìn)行了大量實驗研究，基于各自實驗數(shù)據(jù)建立了各種關(guān)聯(lián)式[1－9］。這些關(guān)聯(lián)式因其所關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)范圍有限，故適用范圍有待進(jìn)一步檢驗。為了在更寬廣參數(shù)與工況范圍反映超臨界水的傳熱規(guī)律，需要結(jié)合寬廣范圍內(nèi)的實驗數(shù)據(jù)建立換熱關(guān)聯(lián)式，預(yù)測其包括傳熱惡化在內(nèi)的多種傳熱行為。

本文針對超臨界壓力下水在豎直上升管內(nèi)的傳熱工況，廣泛搜集整理實驗數(shù)據(jù)，建立寬范圍的傳熱實驗數(shù)據(jù)庫，在對傳熱機(jī)理與關(guān)聯(lián)形式分析討論的基礎(chǔ)上，建立適用于寬范圍的換熱關(guān)聯(lián)式，用以預(yù)測多種工況下超臨界壓力水的傳熱趨勢和規(guī)律。

1 寬范圍數(shù)據(jù)庫

本文從1963年到2011年的公開文獻(xiàn)中搜集整理了共計16 155個超臨界壓力下在豎直上升管內(nèi)水的傳熱實驗數(shù)據(jù)[1，7－8，10－22］。

為了確保數(shù)據(jù)庫的可信度，對收集的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行如下篩選：

首先，考慮到數(shù)據(jù)引用等多種原因?qū)е滤鸭臄?shù)據(jù)中可能出現(xiàn)重復(fù)數(shù)據(jù)，引入歐幾里得距離DE進(jìn)行校核：

其中p＝8，xj分別對應(yīng)8個變量：直徑、壓力、質(zhì)量流速、熱流密度、入口溫度、壁溫、主流溫度、主流焓值。當(dāng)數(shù)據(jù)距離小于0.000 3時，認(rèn)為這兩個數(shù)據(jù)是重復(fù)的，則刪除重復(fù)數(shù)據(jù)。

其次，考慮到少數(shù)實驗因測量誤差過大等原因?qū)?shù)據(jù)質(zhì)量帶來不良影響，由此導(dǎo)致Nu、換熱系數(shù)等計算不準(zhǔn)確，根據(jù)加熱功率和流體焓值變化的相對差考察實驗數(shù)據(jù)滿足熱平衡條件的不確定度：

若不確定度大于0.05，則剔除該組實驗數(shù)據(jù)。

通過以上篩選，最終共刪除重復(fù)數(shù)據(jù)104個、不滿足熱平衡條件的數(shù)據(jù)1 293個，可用數(shù)據(jù)占原始數(shù)據(jù)的91.35%。由此，所建立的實驗數(shù)據(jù)庫包括351組實驗工況，共14 758個實驗數(shù)據(jù)點。該實驗數(shù)據(jù)庫的傳熱管徑D范圍：0.006～0.038m，壓力P范圍：22.4～31.03MPa，質(zhì)量流速G范圍：200～3 500kg／（m2s），熱流密度q范圍：37～2 000kW／m2，主流焓值hb范圍：93～3 176kJ／kg。

2 寬范圍換熱關(guān)聯(lián)

2.1 關(guān)聯(lián)形式討論

對于超臨界壓力下流體傳熱問題，考慮流體在擬臨界附近區(qū)域物性劇烈變化對傳熱造成的影響，大部分關(guān)聯(lián)式在常物性關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上乘以某種形式的修正函數(shù)。Jackson總結(jié)了超臨界壓力流體的換熱關(guān)聯(lián)式對常物性關(guān)聯(lián)的修正方法[23］，總體可分為兩類：第一類是引入壁溫與主流溫度下的物性比以進(jìn)行修正；第二類則采用適當(dāng)選取關(guān)聯(lián)式中無量綱準(zhǔn)則數(shù)定性溫度的方法。其中，第二類方法由于在寬廣工況的參數(shù)變化條件下很難選取合適的定性溫度，因而不易于廣泛應(yīng)用。此外，也有關(guān)聯(lián)式采用兩種方法組合的方式進(jìn)行修正。到目前為止，已有的大多數(shù)經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式都是基于某些實驗的有限數(shù)據(jù)建立的，故適用范圍有一定局限。

對于關(guān)聯(lián)形式，一方面，本文仍考慮對常物性關(guān)聯(lián)采用物性比形式的修正方法，用如下形式表征徑向熱物性變化：

式（3）中四組物性比依次為導(dǎo)熱比、動力黏性比、密度比、比熱容比，下標(biāo)w、b分別表示以壁溫Tw、主流溫度Tb為定性溫度。

另一方面，考慮到加熱過程中熱物性（特別是密度）在空間上大梯度的變化，由此帶來的浮力作用影響超臨界水在徑向的速度場分布，還應(yīng)在關(guān)聯(lián)式中引入以反映浮力作用對傳熱模型的影響[23］。以文獻(xiàn)[8］的一組實驗數(shù)據(jù)為例（如圖1所示），Gr＊與換熱系數(shù)的趨勢高度相關(guān)，即超臨界水在豎直上升管中的傳熱模型與浮力有密切聯(lián)系。所以，在關(guān)聯(lián)式中引入Gr＊。

圖1 換熱系數(shù)HTC和Gr＊隨主流焓值的變化Fig.1 Variation of HTC and Gr＊ with bulk enthalpy

同時，考慮由加熱引起的密度空間變化導(dǎo)致主流速度的改變，即所謂熱加速效應(yīng)。為此，McEligot提出了無量綱數(shù)q＋[24］：

浮力作用和熱加速效應(yīng)等因素導(dǎo)致加熱管內(nèi)的流動不同于常規(guī)流動，從而進(jìn)一步影響對流傳熱。在僅考慮相關(guān)無量綱數(shù)低階的相互影響的前提下，得到第二個修正系數(shù)：

圖2 換熱系數(shù)和q＋隨主流焓值的變化Fig.2 Variation of HTC and q＋ with bulk enthalpy

綜合以上兩個方面，本文以Dittus－Boelter型關(guān)聯(lián)式為基礎(chǔ)，采用物性比修正系數(shù)f1以反映超臨界壓力下流體徑向物性變化因素的影響（特別是在擬臨界點附近）；同時，考慮浮力作用、熱加速效應(yīng)等對流動產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響傳熱，故引入相應(yīng)的修正函數(shù)f2，最終得到關(guān)聯(lián)形式：

顯然，這些無量綱數(shù)對Nu的影響程度各不相同，是否應(yīng)全部包含在最終關(guān)聯(lián)式中，仍需結(jié)合本文數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢驗。這主要需要考慮兩個方面：

（1）各無量綱數(shù)對換熱關(guān)聯(lián)式的敏感性：如果某個無量綱數(shù)對Nu的影響很小，說明它不是主要影響因素，則可忽略；否則應(yīng)予以保留。

（2）各無量綱數(shù)之間的相關(guān)性：若某些無量綱數(shù)間存在高度相關(guān)，則需要進(jìn)一步數(shù)學(xué)處理以去除高度相關(guān)帶來的信息冗余。

2.2 無量綱數(shù)的敏感性

為考察各無量綱數(shù)對Nu的貢獻(xiàn)，即各無量綱數(shù)對Nu的敏感性，考慮采用各無量綱數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)（SRC）對敏感性進(jìn)行初步判斷。由于各區(qū)域內(nèi)無量綱數(shù)的影響各不相同，故將整個焓值范圍大致劃分為“＜1 700kJ／kg”（低焓值范圍）、“1 700～2 400kJ／kg”（中間焓值范圍）、“＞2 400kJ／kg”（高焓值范圍）3個區(qū)域以方便比較。以導(dǎo)熱比、密度比為例，從基于整個數(shù)據(jù)庫得到的SRC看（見圖3），這兩個無量綱數(shù)并不敏感；但在低焓值范圍，它們的敏感性較強(qiáng)?？梢?，這兩個物性比無量綱數(shù)在不同焓值區(qū)域，對Nu的影響與作用趨勢不同。

圖3 無量綱數(shù)對Nu的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)（SRC）Fig.3 Standardized regression coefficients（SRC）of dimensionless numbers vs.Nu

注意到SRC一定程度上反映的是各無量綱數(shù)對傳熱敏感性的“線性”趨勢，只能粗略反映各無量綱數(shù)的敏感性，可能存在一定偏差。而超臨界傳熱中Nu與各無量綱數(shù)之間的關(guān)系具有強(qiáng)烈的非線性特征，故為進(jìn)一步確認(rèn)各無量綱數(shù)的敏感性，還需做更深入的敏感性分析。為此，定義平均相對誤差、平均相對絕對值誤差和標(biāo)準(zhǔn)偏差這三個統(tǒng)計指標(biāo)：

其中n是實驗數(shù)據(jù)點數(shù)目，e是預(yù)測值與實驗值的相對誤差。

具體分析方法如下：第一步，以式（5）的形式，結(jié)合收集的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸；第二步，取其中一項指數(shù)為0，即在關(guān)聯(lián)式中舍去該項；第三步，比較新關(guān)聯(lián)式與原關(guān)聯(lián)式的相應(yīng)三個誤差指標(biāo)，若各指標(biāo)σ1、σ2及σ3的相對差異均在1%以內(nèi)，則說明該項對關(guān)聯(lián)式的預(yù)測誤差影響不大，可以舍去；反之，則說明該項對預(yù)測誤差有一定影響，應(yīng)保留。從各無量綱數(shù)相對Nu的敏感性來看，修正項中應(yīng)保留全部變量，即：

2.3 無量綱數(shù)的相關(guān)性——多重共線性

由上述敏感性分析可知，引入的各無量綱數(shù)均對換熱系數(shù)有顯著影響，說明各無量綱數(shù)都反映了各自“獨特”的信息，對Nu有較顯著貢獻(xiàn)。但是，若無量綱數(shù)之間存在高度相關(guān)的關(guān)系，則說明它們之間又存在某種信息冗余。由于式（5）的關(guān)聯(lián)方法是取各無量綱數(shù)對數(shù)形式進(jìn)行多元線性回歸，所以當(dāng)這個線性回歸模型中的無量綱數(shù)之間存在精確相關(guān)關(guān)系或高度相關(guān)關(guān)系時，就會導(dǎo)致模型估計失真或難以估計準(zhǔn)確，這就是所謂的“多重共線性”[25］。以文獻(xiàn)[8］一組實驗數(shù)據(jù)中的導(dǎo)熱比與密度比為對照，從圖4可以直觀看到無量綱數(shù)間一定的線性相關(guān)。

圖4 導(dǎo)熱比與密度比的相關(guān)性Fig.4 Correlation between ln（λw／λb）and ln（ρw／ρb）

為此，引入方差膨脹因子（VIF）對各無量綱數(shù)（對數(shù)形式）進(jìn)行多重共線性檢驗。（VIFj＝，其中是一個自變量與其他自變量之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)。）一般認(rèn)為[26］，VIF＞5就表明存在多重共線性。由表1可以看到，除lnq＋可作為獨立成分參與回歸外，其余無量綱數(shù)均存在一定程度的多重共線性。因此，為避免模型估計失真，在建立模型、回歸得到關(guān)聯(lián)式之前必須消除回歸變量間的多重共線性。

表1 無量綱數(shù)方差膨脹因子（VIF）列表Table1 Variance inflation factors of the dimensionless numbers

為解決這一問題，引入“主成分分析”方法：把各無量綱變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系通過對自變量做線性組合的方法進(jìn)行簡化分析，將多個實際變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)不相關(guān)的綜合指標(biāo)，進(jìn)而達(dá)到消除多重共線性的目的。

2.4 寬范圍換熱關(guān)聯(lián)式

根據(jù)關(guān)于關(guān)聯(lián)形式和關(guān)聯(lián)變量的討論，分別得到以整個數(shù)據(jù)庫為回歸數(shù)據(jù)源的全范圍形式關(guān)聯(lián)式和以各區(qū)域數(shù)據(jù)為回歸數(shù)據(jù)源的分段函數(shù)形式關(guān)聯(lián)式。

（1）全范圍形式關(guān)聯(lián)式

對存在多重共線性的無量綱數(shù)用主成分分析去除“信息冗余”的影響，得到的各主成分形式如下：

其中x0是常數(shù)，xi（i＝1，2，…，6）分別對應(yīng)為各無量綱數(shù)的系數(shù)。

計算得到用于回歸關(guān)聯(lián)式的各主成分見表2。

表2 主成分列表Table2 The list of principal components

關(guān)聯(lián)式（9）計算結(jié)果與數(shù)據(jù)庫中的實驗點比較，偏差在±30%范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)量占總數(shù)據(jù)的89.5%，如圖5所示。關(guān)聯(lián)式（9）的誤差指標(biāo)σ1、σ2、σ3，分 別 為 0.050 5，0.144 1，0.208 6?？梢?，整體預(yù)測誤差較小。

（2）分段函數(shù)形式關(guān)聯(lián)式

由于在擬臨界點前后流體的物性參數(shù)有較大變化，擬臨界點前后傳熱規(guī)律與趨勢有較明顯差異，這就解釋了基于整個數(shù)據(jù)庫建立的關(guān)聯(lián)式（9）在中間焓值區(qū)域的預(yù)測趨勢與低焓值區(qū)相比明顯偏低（如圖6所示）的原因。因此，為得到更具針對性的關(guān)聯(lián)式，進(jìn)行分區(qū)域關(guān)聯(lián)。

圖5 式（9）預(yù)測值（Nupred）與實驗值（Nuexp）比較Fig.5 Comparison of experimental Nu numberswith those predicted by formula（9）

Zahlan[27］根據(jù)不同壓力下CP隨溫度的變化幅度（見圖7），以溫度形式給出了超臨界水的高密度區(qū)域、擬臨界附近區(qū)域、低密度區(qū)域3個分區(qū)。本文采用該方法的焓值表達(dá)形式進(jìn)行分區(qū)：

定義高密度區(qū)域（hW，hb＜hpc－Δh1）、擬臨界附近區(qū)域（hpc－Δh1＜hW，hb＜hpc＋Δh2），低密度區(qū)域（hW，hb＞hpc＋Δh2）3個區(qū)域。本文數(shù)據(jù)庫中分布于3個區(qū)域的數(shù)據(jù)量分別占總數(shù)據(jù)量的23.8%，54.0%，22.3%。

以文獻(xiàn)[13］的一組實驗數(shù)據(jù)為例，驗證該分區(qū)方法的適用性（見圖8）。選定工況下?lián)Q熱系數(shù)、比熱的相關(guān)趨勢變化與區(qū)域劃分結(jié)果較吻合。

圖6 在不同焓值范圍內(nèi)，全范圍關(guān)聯(lián)式預(yù)測值與實驗值的比較Fig.6 Comparison of experimental Nu numbers with those predicted by formula（9）within different enthalpy regions

圖7 不同壓力下CP隨溫度的變化Fig.7 CPvariation with bulk temperature under different pressures

圖8 焓值分區(qū)適用性驗證Fig.8 Verification of the enthalpy region classification

基于上述3個區(qū)域的實驗數(shù)據(jù)，分別按與式（9）同樣的回歸方式進(jìn)行關(guān)聯(lián)，最終得出分段函數(shù)形式的關(guān)聯(lián)式如下：

與現(xiàn)有數(shù)據(jù)庫的實驗值進(jìn)行比較，采用關(guān)聯(lián)式（12），95.9%的計算結(jié)果與實驗點的偏差在±30%范圍內(nèi)，如圖9所示。關(guān)聯(lián)式（12）的3 個 誤 差 指 標(biāo)σ1、σ2、σ3分 別 為 0.013 2，0.100 7，0.142 4。從圖10的示例和表3的統(tǒng)計結(jié)果可以看到，通過分區(qū)域關(guān)聯(lián)，式（12）與式（9）相比，擬臨界附近區(qū)域和低密度區(qū)域的預(yù)測結(jié)果有了更明顯的改善。然而，關(guān)聯(lián)式（12）形式比式（9）復(fù)雜一些。

圖9 式（12）預(yù)測值（Nupred）與實驗值（Nuexp）比較Fig.9 Comparison of experimental Nu numbers with those predicted by formula（12）

圖10 式（9）與式（12）的預(yù)測結(jié)果比較Fig.10 Comparison of predicted Nu numbers of formulae（9）and（12）

表3 式（9）與式（12）預(yù)測誤差大于±30%的數(shù)據(jù)量統(tǒng)計Table3 Statistics on the quantity of predicted data of formulate（9）and（12）whose error＞±30%

3 關(guān)聯(lián)式評價與討論

為評價本文得到的關(guān)聯(lián)式（9）、式（12），以現(xiàn)有數(shù)據(jù)庫為基礎(chǔ)，對式（9）、式（12）和部分已有關(guān)聯(lián)式在預(yù)測誤差帶、誤差值和適用范圍等方面進(jìn)行比較。

從表4中可以看到式（9）、式（12）在預(yù)測誤差帶的評價上均有較大優(yōu)勢。其中式（12）對局部準(zhǔn)確度的改善效果尤其突出。

從表5的誤差分析中σ1的正負(fù)可以看出，除Kuang關(guān)聯(lián)式外，其余關(guān)聯(lián)式的預(yù)測值普遍高于實驗值；從表5中σ2，σ3的評價結(jié)果可以看到，式（9）、式（12）具有明顯預(yù)測優(yōu)勢，與誤差最大的關(guān)聯(lián)式誤差相差1個量級。

通過對比表6中針對3個區(qū)域的誤差結(jié)果與表5針對整個數(shù)據(jù)庫的誤差結(jié)果可以看到：Griem、Yamagata關(guān)聯(lián)式更適用于低密度區(qū)域；Swenson、胡志宏、徐峰關(guān)聯(lián)式更適用于高密度區(qū)域；Jackson、Petukhov、周強(qiáng)泰、Kuang、式（9）、式（12）關(guān)聯(lián)式在3個區(qū)域的誤差水平?jīng)]有發(fā)生劇烈變化，說明這些關(guān)聯(lián)式適用范圍較廣，總體來說，又以式（9）、式（12）的計算結(jié)果為最佳。

表4 各誤差帶內(nèi)不同關(guān)聯(lián)式預(yù)測的數(shù)據(jù)量及數(shù)據(jù)量百分比比較Table4 Percentage of calculated－experimental Nu that drops in certain error bands

表5 不同關(guān)聯(lián)式相對實驗數(shù)據(jù)庫全部數(shù)據(jù)的預(yù)測誤差比較Table5 Prediction errors of various correlations relative to the whole data in the data bank

表6 不同關(guān)聯(lián)式分別在3個區(qū)域內(nèi)的預(yù)測誤差比較Table6 Prediction errors of various correlations in three different regions

進(jìn)一步，為考察本文關(guān)聯(lián)式對正常傳熱和傳熱惡化兩種典型工況的預(yù)測效果，分別以文獻(xiàn)[4］的一組正常傳熱實驗數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[22］的一組傳熱惡化實驗數(shù)據(jù)對各關(guān)聯(lián)式的預(yù)測進(jìn)行比較（見圖11、圖12）。

圖11 不同關(guān)聯(lián)式對正常傳熱的預(yù)測比較Fig.11 Comparison of experimental data with predictions by different correlations for a normal heat transfer case

圖12 不同關(guān)聯(lián)式對傳熱惡化工況的預(yù)測比較Fig.12 Comparison of experimental data with predictions by different correlations for a deteriorated heat transfer case

從圖11，圖12來看：（1）在高密度區(qū)域，除Griem關(guān)聯(lián)式外，大部分關(guān)聯(lián)式能夠預(yù)測出Nu的趨勢，但越靠近擬臨界附近區(qū)域，各關(guān)聯(lián)式的準(zhǔn)確度差異越明顯，大部分關(guān)聯(lián)式的準(zhǔn)確度開始下降，而式（9）、式（12）預(yù)測較準(zhǔn)確；（2）在擬臨界附近區(qū)域，大部分關(guān)聯(lián)式能夠預(yù)測出Nu的趨勢，但準(zhǔn)確度不高，有的甚至對傳熱惡化工況預(yù)測失效，但式（9）、式（12）不僅得到了比較符合的預(yù)測結(jié)果（尤以式（12）預(yù)測為最佳），還成功預(yù)測了傳熱惡化；（3）在低密度區(qū)域，大部分關(guān)聯(lián)式對實驗值的預(yù)測偏差有隨焓值增加逐漸減小的趨勢，式（9）、式（12）則預(yù)測良好，但隨著焓值的升高，準(zhǔn)確度略有下降。

4 結(jié)論

本文在廣泛搜集實驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立并整理了超臨界壓力水在豎直上升加熱管中的寬范圍傳熱實驗數(shù)據(jù)庫，得到如下結(jié)論：

（1）在數(shù)據(jù)庫基礎(chǔ)上采用SRC和誤差比較相結(jié)合的方式討論了各無量綱數(shù)對Nu的敏感性，引入主成分分析的方法解決了關(guān)聯(lián)式回歸時的多重共線性問題，由此建立了豎直上升管內(nèi)超臨界壓力水的全范圍形式和分段函數(shù)形式的對流換熱關(guān)聯(lián)式。

（2）與其他關(guān)聯(lián)式相比，本文給出的兩組關(guān)聯(lián)式不僅實現(xiàn)了比其他關(guān)聯(lián)式更準(zhǔn)確的、更寬范圍的預(yù)測，而且較好地預(yù)測了數(shù)據(jù)庫中傳熱惡化的趨勢和Nu值，其中分段函數(shù)形式關(guān)聯(lián)式在惡化附近的預(yù)測更準(zhǔn)確。

（3）總的來看，本文的全范圍形式關(guān)聯(lián)式預(yù)測良好；分段函數(shù)形式關(guān)聯(lián)式的預(yù)測精度更高，但形式稍復(fù)雜。

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