隨時(shí)間任意變化荷載下砂井地基固結(jié)分析

郭彪，韓穎，龔曉南，盧萌盟

(1. 重慶市市政設(shè)計(jì)研究院，重慶，400020；2. 浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州，310058；3. 機(jī)械工業(yè)第三設(shè)計(jì)研究院，重慶，400039；4. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州，221008)

砂井聯(lián)合堆載預(yù)壓是提高軟土地基承載力、減小地基沉降的有效方法，對(duì)常荷載下砂井地基的固結(jié)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，取得了豐富的成果[1-16]。但在實(shí)際工程中，地基荷載通常是隨時(shí)間變化的，對(duì)于變荷載下的砂井地基固結(jié)問(wèn)題，也有不少研究者進(jìn)行了研究，如：Olson[16]假設(shè)砂井為理想井，給出了荷載分級(jí)線(xiàn)性施加情況下的解析解；Tang等[17-18]進(jìn)一步考慮了涂抹和井阻作用；Zhu等[19]用數(shù)值方法對(duì)砂井地基進(jìn)行了研究，并考慮了大變形、非線(xiàn)性等因素的影響；耿雪玉等[20]運(yùn)用 Laplace變換求得了復(fù)雜荷載作用下未打穿砂井地基的固結(jié)解。上述解答要么考慮的因素不夠全面，要么過(guò)于復(fù)雜，很難應(yīng)用于工程實(shí)踐。另外，大量的研究[12-14]表明：涂抹區(qū)土體由于受到的施工擾動(dòng)程度不同，其滲透性是連續(xù)變化的，離砂井越近，擾動(dòng)程度越高，土的滲透性越小。為此，本文作者考慮涂抹效應(yīng)、井阻作用、地基土橫豎向組合滲流等因素，并且涂抹區(qū)的水平滲透系數(shù)采用更符合實(shí)際的線(xiàn)性連續(xù)變化模式，將上部荷載通過(guò)傅里葉變換轉(zhuǎn)化為三角級(jí)數(shù)的形式[21]，得到更便于工程應(yīng)用的分析變荷載下砂井地基固結(jié)的解析解，并編制了應(yīng)用程序。

1 固結(jié)方程及求解

圖1所示為隨時(shí)間任意變化荷載下砂井地基示意圖。在推導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)行以下假定：

① 等應(yīng)變條件成立；

② 土中水的滲流服從Darcy定律；

③ 荷載在地基中引起的附加應(yīng)力沿深度均勻分布；

④ 在任一深度 z處從土體流入樁體的水量等于樁體中向上水流的增量。

根據(jù)等應(yīng)變條件，有：

式中：εv為地基豎向應(yīng)變；Es為土體壓縮模量；q(t)為上部荷載；u為土體任一深度處的平均超靜孔壓，

圖1 隨時(shí)間任意變化荷載下砂井地基簡(jiǎn)化模型Fig.1 Model for consolidation of soft soil with vertical drains and general time-dependent loading

rw為砂井半徑；re為砂井影響區(qū)半徑；u為土體任一點(diǎn)的超靜孔壓。

根據(jù)謝康和等[9]的研究，砂井地基的固結(jié)方程為：

式中：kv為土體豎向滲透系數(shù)；kw為砂井滲透系數(shù)；kmf(r)為土體水平向滲透系數(shù)；km為最大水平滲透系數(shù)；f(r)為描述滲透系數(shù)隨r變化的函數(shù)。樁周流量連續(xù)方程為：

式中：uw為砂井任一深度處的超靜孔壓。邊界條件為：

任何加載都需要一個(gè)過(guò)程，即使是瞬時(shí)加載也是如此，只不過(guò)時(shí)間很短。因此，初始條件可寫(xiě)為：

⑤ t=0時(shí)，u=0。

[10，17]，可以得到固結(jié)控制方程為：

式中：

假設(shè)地基土體涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)隨r增大而線(xiàn)性增大，未擾動(dòng)區(qū)保持不變，不妨稱(chēng)其為模式 1，如圖2(a)所示。參考文獻(xiàn)[10]，可以得到：

其中：

圖2 影響區(qū)土體水平滲透系數(shù)Fig.2 Horizontal permeability coefficient in influence zone

s=rs/rw；rs為涂抹區(qū)半徑；δ為最小滲透系數(shù)和最大滲透系數(shù)之比，0＜δ=kn/km＜1。

為了便于比較分析，本文也給出涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)不變情況下(模式2)的解，如圖2(b)所示。此時(shí)，F(xiàn)a的表達(dá)式為：

方程(5)是非齊次微分方程，其邊界條件式③和④以及初始條件式⑤是齊次的，滿(mǎn)足沖量定理?xiàng)l件，可設(shè)：

由式(6)，υ和υ滿(mǎn)足關(guān)系式：

其中，wυ方程(5)對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解：

邊界條件和初始條件為：

采用分離變量法求解，設(shè)

代入式(18)可得：

即

利用邊界條件⑥和⑦以及式(17)和(19)，可得：

常微分方程(21)的特征方程為：

其解可表示為：

式(21)的通解可表示為：

由邊界條件⑧和⑨可得：

則 Z ( z) = asin(λ z)。由z=H和Z′(z)=0可得：

將k=λi代入式(23)，可得：

方程(22)的通解可表示為：

由于其初始時(shí)刻為t=τ+0，可設(shè) T (τ+0)= Δ ，Δ 為1個(gè)常數(shù)，則：

方程(18)的解可寫(xiě)成：

將式(29)代入式(17)可得：

根據(jù)三角函數(shù)的正交性和初始條件⑧可得：

將式(29)和(30)分別代入式(15)和(16)可得固結(jié)方程的解為：

在 q(t)比較復(fù)雜的情況下，上面的解難以應(yīng)用，為方便工程應(yīng)用，需要將其簡(jiǎn)化。對(duì)荷載 q(t)，一般來(lái)說(shuō)是滿(mǎn)足狄利克雷(Dirichlet)條件的，可將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：

式中：ωn= 2 n π/ T；T為q(t)的周期。在q0的作用下，dq0=dt=0，因此，對(duì)地基孔壓沒(méi)有影響。

在變載qn(t)作用下，將式(39)代入式(32)和(33)并積分可以得到：

運(yùn)用疊加原理，地基在荷載 q(t)作用下，砂井和地基土的平均超靜孔壓可寫(xiě)成：

求得了u( z, t)后，可以得到地基任意深處的固結(jié)度為：

式中：qu為最大荷載。

進(jìn)一步可以得到地基的總平均估計(jì)度為：

式中：

2 an和bn的求解

系數(shù)an和bn的求得是上述求解過(guò)程中的關(guān)鍵。在分級(jí)線(xiàn)性施加荷載情況下(如圖 3所示)，對(duì)其中任意一級(jí)加載，q(t)可寫(xiě)為：

將式(47)代入式(36)和(37)可以得到：

其中：

圖3 分級(jí)線(xiàn)性施加荷載示意圖Fig.3 Loading process consisting of a combination of linear and constant functions with time

在荷載隨時(shí)間曲線(xiàn)變化的情況下，可以用直線(xiàn)段來(lái)模擬，如圖4所示。當(dāng)直線(xiàn)段足夠多時(shí)，就可以達(dá)到足夠工程應(yīng)用的精度要求。這樣，可以同樣采用式(48)～(51)求得 an和 bn。

圖4 荷載隨時(shí)間曲線(xiàn)變化示意圖Fig.4 Relationship between loading and time

3 程序的編制

利用計(jì)算機(jī)編程，上面的求解過(guò)程很容易實(shí)現(xiàn)。步驟如下。

(1) 輸入地基土參數(shù)和砂井參數(shù)，包括：砂井半徑rw，影響區(qū)半徑re，涂抹區(qū)半徑rs，土層厚度H，砂井滲透系數(shù)kw，土體豎向滲透系數(shù)kv，未擾動(dòng)土水平滲透系數(shù)km，擾動(dòng)程序參數(shù)δ，土體壓縮模量Es等。

(2) 輸入上部荷載參數(shù)，若q(t)由如圖3所示的一系列直線(xiàn)段組合而成，則輸入各拐點(diǎn)處的時(shí)間ti和qi；若荷載為如圖4所示的隨時(shí)間曲線(xiàn)變化，則根據(jù)需要取一系列t，再由荷載函數(shù)q(t)計(jì)算對(duì)應(yīng)的q，時(shí)間間隔越小，精度便越高；輸入q(t)的周期T，若q(t)不是周期函數(shù)，則可將最大分析時(shí)間取作T。

(3) 由式(26)求得 βm。

(4) 利用式(48)，(49)和(50)求得一組系數(shù) an和 bn。

(5) 利用式(40)和(41)求得在荷載qn(t)作用下砂井和地基土的超靜孔壓

(6) 遞增 n，重復(fù)步驟(4)和(5)，將其結(jié)果疊加求得在荷載 q(t)作用下砂井和地基土的超靜孔壓 uw(z,t)和u( z, t)。

(7) 利用式(45)求得地基的平均固結(jié)度。

4 解的驗(yàn)證

設(shè)荷載單級(jí)線(xiàn)性施加，如圖5所示。圖6所示為本文解與唐曉武解[17]的比較結(jié)果。由于唐曉武解假設(shè)涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)不變，為了使兩者條件一致，本例解中采用式(14)表達(dá)的Fa，即模式2。

圖5 單級(jí)線(xiàn)性施加荷載Fig.5 Single ramp loading

圖6 本文解與唐曉武解的比較Fig.6 Comparison of the present solution with that by Tang X W

由圖6可見(jiàn)：2孔壓曲線(xiàn)基本上重合，由此可知本文解是可靠的。計(jì)算參數(shù)為：wr=0.2 m，re=4 m，rs=2 m，H=20 m，kw=1×10-3cm/s，km=kv=1×10-6cm/s，δ=0.5，Es=20 MPa，達(dá)到最大荷載時(shí)間t1=30 d，最終荷載qu=20 kN。

5 幾種荷載形式下的固結(jié)性狀

5.1 多級(jí)線(xiàn)性施加荷載

荷載分級(jí)線(xiàn)性施加示意圖如圖7所示。其中，荷載分兩級(jí)線(xiàn)性施加，t1=30 d，t2=60 d，t3=100 d，q1=20 kN，qu=50 kN。其他計(jì)算參數(shù)與上例的相同。2種滲透系數(shù)模式下超靜孔壓曲線(xiàn)及固結(jié)曲線(xiàn)如圖8和圖9所示。從圖8和圖9可以看出：考慮滲透系數(shù)呈線(xiàn)性變化時(shí)固結(jié)要快。

圖7 荷載分級(jí)線(xiàn)性施加示意圖Fig.7 Multi-ramp loading

圖8 荷載兩級(jí)線(xiàn)性施加時(shí)地基的超靜孔壓曲線(xiàn)Fig.8 Excess pore-water pressure of sand drains foundation under double-ramp loading

5.2 三角形循環(huán)荷載

三角形循環(huán)荷載如圖 10所示，其中 T=60 d，qu=50 kPa，其他計(jì)算參數(shù)與前面的相同。地基超靜孔壓變化曲線(xiàn)如圖11所示。從圖11可以看出：超靜孔壓呈震蕩減小趨勢(shì)，震蕩幅度并不隨時(shí)間減小，但其震蕩中線(xiàn)逐漸趨于一定值；在循環(huán)荷載作用下，當(dāng)上部荷載減小即卸荷時(shí)，地基土回彈體積膨脹，從而產(chǎn)生負(fù)超靜孔壓。滲透系數(shù)為模式1時(shí)的孔壓曲線(xiàn)在模式 2時(shí)孔壓曲線(xiàn)的下方，即孔壓為正時(shí)，模式 1的孔壓小于模式2的孔壓，但模式1的負(fù)孔壓要比模式2的大。

圖9 荷載兩級(jí)線(xiàn)性施加時(shí)地基的固結(jié)度曲線(xiàn)Fig.9 Consolidation rate of sand drains foundation under double-ramp loading

圖10 三角形循環(huán)荷載Fig.10 Triangular cyclic loading

圖 12所示為三角形循環(huán)荷載作用下地基有效應(yīng)力曲線(xiàn)。從圖12可以看出：有效應(yīng)力呈震蕩上升趨勢(shì)，同樣其震蕩幅度不隨時(shí)間減小，但其震蕩中線(xiàn)逐漸趨于一定值。模式1的有效應(yīng)力要比模式2的大。

5.3 梯形循環(huán)荷載

地基在如圖 13所示的梯形循環(huán)荷載作用下，T=180 d，t1=30 d，t2=90 d，t3=120 d，qu=50 kPa，地基超靜孔壓曲線(xiàn)和附加有效應(yīng)力曲線(xiàn)如圖14和圖15所示，可以看出其與三角形循環(huán)荷載作用時(shí)有相似的規(guī)律。

圖11 三角形循環(huán)荷載作用下地基超靜孔壓曲線(xiàn)Fig.11 Excess pore-water pressure of sand drains foundation under triangular cyclic loading

圖12 三角形循環(huán)荷載作用下地基有效應(yīng)力曲線(xiàn)Fig.12 Effective stress of sand drains foundation under triangular cyclic loading

圖13 梯形循環(huán)荷載Fig.13 Trapezium cyclic loading

5.4 拋物線(xiàn)形循環(huán)荷載

如圖16所示為二次拋物線(xiàn)形循環(huán)荷載，拋物線(xiàn)方程為：

圖14 梯形循環(huán)荷載下地基超靜孔壓曲線(xiàn)Fig.14 Excess pore-water pressure of sand drains foundation under trapezium cyclic loading

圖15 梯形循環(huán)荷載下地基有效應(yīng)力曲線(xiàn)Fig.15 Effective stress of sand drains foundation under trapezium cyclic loading

圖16 拋物線(xiàn)形循環(huán)荷載Fig.16 Parabolic cyclic loading

如t1=60 d，T=180 d，qu=50 kPa，在循環(huán)荷載作用下，考慮滲透系數(shù)呈線(xiàn)性變化。地基的超靜孔壓曲線(xiàn)和附加有效應(yīng)力曲線(xiàn)如圖17和圖18所示。其中，X為逼近拋物線(xiàn)的直線(xiàn)段段數(shù)。

從圖17和圖18可以看出：它們均具有很好的收斂性，當(dāng)X為2時(shí)4時(shí)有較大差別，X為4時(shí)與10時(shí)差別不大，而X為10時(shí)與為100時(shí)的孔壓曲線(xiàn)和有效應(yīng)力曲線(xiàn)基本上重合，這說(shuō)明采用直線(xiàn)段模擬荷載隨時(shí)間曲線(xiàn)變化是很有效的。

圖17 拋物線(xiàn)形循環(huán)荷載下地基超靜孔壓曲線(xiàn)Fig.17 Excess pore-water pressure of sand drains foundation under parabolic cyclic loading

圖18 拋物線(xiàn)形循環(huán)荷載下地基有效應(yīng)力曲線(xiàn)Fig.18 Effective stress of sand drains foundation under parabolic cyclic loading

6 結(jié)論

(1) 在荷載分級(jí)施加時(shí)，考慮涂抹區(qū)滲透系數(shù)線(xiàn)性變化時(shí)地基固結(jié)速度比假設(shè)其不變時(shí)的快。

(2) 在循環(huán)荷載作用下，砂井地基超靜孔壓呈震蕩減小趨勢(shì)，在卸荷時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓，震蕩幅度并不隨時(shí)間減小，但其震蕩中線(xiàn)逐漸趨于一定值；考慮涂抹區(qū)滲透系數(shù)線(xiàn)性變化時(shí)的正孔壓比假設(shè)其不變時(shí)的小，而負(fù)超靜孔壓更大。

(3) 在循環(huán)荷載作用下，地基有效應(yīng)力呈震蕩上升趨勢(shì)；同樣，其震蕩幅度不隨時(shí)間減小，震蕩中線(xiàn)逐漸趨于一定值?？紤]滲透系數(shù)線(xiàn)性變化時(shí)有效應(yīng)力比假設(shè)其不變時(shí)的大。

(4) 當(dāng)荷載隨時(shí)間曲線(xiàn)變化時(shí)，采用多段直線(xiàn)段逼近荷載曲線(xiàn)是求解此問(wèn)題的有效方法。

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