對(duì)稱協(xié)同開(kāi)采人工礦柱失穩(wěn)的突變理論分析

陳慶發(fā)，古德生，周科平，蘇家紅

(1. 中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2. 廣西大學(xué) 資源與冶金學(xué)院，廣西 南寧，530004；3. 廣西華錫集團(tuán)股份有限公司，廣西 柳州，545006)

隨著全球?qū)ΦV產(chǎn)資源的爭(zhēng)奪進(jìn)一步升級(jí)，原本不太引人注意的采空區(qū)隱患資源也日益受到關(guān)注。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，這部分資源目前已經(jīng)占我國(guó)有色金屬資源的1/3，將成為我國(guó)礦業(yè)發(fā)展的重要接替資源[1]。傳統(tǒng)觀念認(rèn)為資源開(kāi)采與空區(qū)治理一種矛盾，分別獨(dú)立設(shè)計(jì)、施工。本文作者從礦山大系統(tǒng)角度出發(fā)，以采礦環(huán)境再造理論[2-3]為指導(dǎo)，引入?yún)f(xié)同論，提出了“隱患資源開(kāi)采與采空區(qū)處理協(xié)同”的礦業(yè)發(fā)展新技術(shù)模式及“協(xié)同利用”采空區(qū)處理新方法[4]。人工礦柱支撐頂板是采空區(qū)協(xié)同利用的基本模式之一，其與頂板之間的變形協(xié)調(diào)機(jī)制與礦石礦柱的相比有明顯差別，研究人工礦柱的穩(wěn)定性對(duì)于采空區(qū)周邊隱患資源的協(xié)同開(kāi)采起著至關(guān)重要的作用。對(duì)礦柱的穩(wěn)定性分析，已從單一的強(qiáng)度理論、經(jīng)驗(yàn)公式，向圍巖組成的力學(xué)平衡系統(tǒng)的失穩(wěn)研究方向發(fā)展。秦四清等[5-6]應(yīng)用突變理論分析了對(duì)稱開(kāi)采時(shí)的礦柱失穩(wěn)效應(yīng)；李江騰等[7-8]對(duì)與非對(duì)稱開(kāi)采的礦柱失穩(wěn)的突變模型進(jìn)行探討。本文作者基于突變理論，探討對(duì)稱協(xié)同開(kāi)采時(shí)人工礦柱突發(fā)失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)理。

1 頂板-人工礦柱的協(xié)同作用模型及變形協(xié)調(diào)機(jī)制

人工礦柱形成前，頂板已經(jīng)發(fā)生一定程度的下沉，在未發(fā)生突發(fā)失穩(wěn)前，實(shí)施人工礦柱支撐措施，一方面，可抑制頂板后期下沉，避免可能的災(zāi)害事故；另一方面，留設(shè)的部分空間可作為資源開(kāi)采過(guò)程中的部分空間進(jìn)行利用(如爆破補(bǔ)償空間)，實(shí)現(xiàn)隱患資源開(kāi)采與空區(qū)處理的協(xié)同。

人工礦柱的空間表現(xiàn)形式有很多種，其中長(zhǎng)條形人工礦柱最常見(jiàn)。根據(jù)材料力學(xué)，為簡(jiǎn)化分析，可將空區(qū)頂板視為彈性梁。為了達(dá)到最佳抑止效果，人工礦柱應(yīng)布設(shè)于空區(qū)中間，荷載通過(guò)頂梁傳遞給人工礦柱。由于礦柱相對(duì)狹窄，單位長(zhǎng)度的礦柱的作用視為作用在梁跨中的集中力 F，巖梁自重和上覆巖層的作用簡(jiǎn)化為均布載荷 q。在頂板未發(fā)生突發(fā)失穩(wěn)前，對(duì)于硬巖來(lái)說(shuō)，人工礦柱的變形遠(yuǎn)大于采空區(qū)周邊圍巖的變形，故認(rèn)為梁是固支的。

根據(jù)前述分析，分別繪出采空區(qū)頂板-人工礦柱組合結(jié)構(gòu)示意圖及采空區(qū)頂板-人工礦柱協(xié)同作用力學(xué)模型[9-10]分別見(jiàn)圖1和圖2。

圖1 頂板-人工礦柱組合結(jié)構(gòu)Fig.1 Composite structure of roof-artificial pillar

圖2 頂板-人工礦柱協(xié)同作用力學(xué)模型Fig.2 Synergistic effect mechanical model of roof-artificial pillar

根據(jù)損傷力學(xué)，人工礦柱的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系可用weibull分布模型表達(dá)為[11]：

式中：σ和E′分布為人工礦柱膠結(jié)充填體的應(yīng)力與彈性模量；ε0為平均應(yīng)變測(cè)度；m為分布函數(shù)的形狀參數(shù)，其物理意義反映了介質(zhì)的均質(zhì)性，定義為介質(zhì)的均勻性系數(shù)。

對(duì)于上述協(xié)同作用力學(xué)模型，若梁和人工礦柱長(zhǎng)度方向取1個(gè)單位，則寬度為d、高度為h的人工礦柱在被壓縮量為u′時(shí)，有：

根據(jù)材料力學(xué)理論，無(wú)集中力F作用時(shí)，彈性梁達(dá)到圖2虛線所示的靜平衡位置，此時(shí)，考慮人工礦柱集中力F作用時(shí)，彈性量的部分能量釋放在人工礦柱上，頂板彈性梁AO的彎距方程有：

根據(jù)邊界條件：

對(duì)式(3)積分，可得AO段的撓曲線方程：

當(dāng)x=l時(shí)，將y(l)=u0-u′代入撓曲線方程，可以得出人工礦柱壓縮量關(guān)系式：

可見(jiàn)：人工礦柱壓縮量是1個(gè)依賴于頂板彈性模量、泊松比、覆巖和頂板自重、頂板慣性距、采空區(qū)寬度、膠結(jié)充填體隔墻的彈性模量、寬度和高度等參數(shù)有關(guān)的量。

2 人工礦柱失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型

2.1 突變理論

1972年Thom創(chuàng)立并系統(tǒng)闡述了突變理論[12]，之后許多學(xué)者對(duì)該理論進(jìn)行了研究，其中最有影響的是Zeeman提出的“突變理論”[13]。

突變理論認(rèn)為，系統(tǒng)所處的狀態(tài)可以用一組參數(shù)描述。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，標(biāo)志該狀態(tài)的某一函數(shù)就有唯一的取值。當(dāng)參數(shù)在某一范圍變化時(shí)，該函數(shù)有多個(gè)極值，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。隨著參數(shù)的繼續(xù)變化，系統(tǒng)又從不穩(wěn)定態(tài)進(jìn)入另一穩(wěn)定態(tài)，此時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生突變?？梢栽诓恢老到y(tǒng)有哪些微分方程且不需求解微分方程的條件下，僅在幾個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上，用少數(shù)幾個(gè)控制變量便可以定性或定量地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的性質(zhì)。

由分類定理對(duì)梯度系統(tǒng)進(jìn)行分類后指出：在控制變量不大于4個(gè)時(shí)，有7種初等突變形式(折疊、尖點(diǎn)、燕尾、蝴蝶、雙曲點(diǎn)、橢圓臍點(diǎn)和拋物臍點(diǎn))。目前，除個(gè)別情況，大多數(shù)研究者將問(wèn)題歸結(jié)為尖點(diǎn)突變模型去處理，如：施澤進(jìn)等[14]建立了斷層活動(dòng)的尖點(diǎn)突變模型；黃潤(rùn)秋[15]建立了反傾斜坡彎曲拉裂的尖點(diǎn)突變模型；劉軍等[16]通過(guò)綜合考慮了地下水的影響建立了一個(gè)新的巖體失穩(wěn)尖點(diǎn)突變模型。

2.2 人工礦柱失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型

尖點(diǎn)突變模型勢(shì)能函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式為：

式中：x為狀態(tài)變量；u和v為控制變量。

相空間由狀態(tài)變量x及控制變量u和v構(gòu)成的三維空間。相空間平衡曲面 M 方程可通過(guò)對(duì)勢(shì)能函數(shù)V(x)求導(dǎo)得到：

相空間中的圖形稱為突變流形，它是1個(gè)有褶皺的曲面，從而在不同的區(qū)域內(nèi)，平衡位置為 1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。對(duì)應(yīng)于中葉的勢(shì)函數(shù)取極大值，平衡位置是不穩(wěn)定的；而對(duì)應(yīng)于上下葉的平衡位置上是穩(wěn)定的。顯然，在曲面有豎直切線，即滿足：

由式(9)可見(jiàn)：平衡位置的數(shù)目是不同的，這些點(diǎn)稱為突變點(diǎn)或奇異點(diǎn)，實(shí)際上是曲線的拐點(diǎn)，是1條拋物線，如圖3所示。

圖3 勢(shì)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零的拋物線Fig.3 Parabolic at potential function’s second derivative zero

由式(8)和(9)消去x，可得到滿足分支點(diǎn)集的方程：

圖4 尖點(diǎn)突變模型圖Fig.4 Cusp catastrophe model diagram

平衡狀態(tài)曲面由上、中、下3葉組成，如圖4所示。從正面看，其形態(tài)似1條S形曲線，存在明顯的拐點(diǎn)。設(shè)想系統(tǒng)的狀態(tài)是以(x，u，v)為坐標(biāo)的三維相空間的1點(diǎn)來(lái)表示，任一相點(diǎn)必然落在三葉曲面上。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，它經(jīng)歷的平衡位置是突變流形上的1條曲線，這樣，就可以分析由1個(gè)光滑的勢(shì)函數(shù)所控制的系統(tǒng)中如何會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的性態(tài)。

由式(2)和(10)，根據(jù)靜力平衡條件，可以得到總勢(shì)能的一階導(dǎo)數(shù)，即有突變流形方程：

根據(jù)平衡曲面的光滑性質(zhì)，求得尖點(diǎn)。尖點(diǎn)處有V″=0，得到：

即尖點(diǎn)處在人工礦柱本構(gòu)關(guān)系曲線拐點(diǎn)處。

將平衡曲面方程相對(duì)于1u′用Tayloy展開(kāi)式展開(kāi)，截取至3次項(xiàng)，然后，修改為尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面標(biāo)準(zhǔn)形式4x3+2ux+v=0得：

按尖點(diǎn)突變模型逐步進(jìn)行推導(dǎo)，最終得到系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的充要條件：

可見(jiàn)：系統(tǒng)突發(fā)失穩(wěn)與系統(tǒng)剛度比有密切相關(guān)性；當(dāng)系統(tǒng)的各部分的彈性模量、采空區(qū)寬度和人工礦柱的幾何參數(shù)和力學(xué)性質(zhì)參數(shù)等沒(méi)有發(fā)生變化時(shí)，k隨m的增大而減小。

3 人工礦柱對(duì)頂板穩(wěn)定性調(diào)控作用

在m不變時(shí)，人工礦柱充填體的力學(xué)參數(shù)和幾何參數(shù)是可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)控的，即的。

充填體的彈性模量E′可通過(guò)改變混凝土各項(xiàng)配比在一定范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)調(diào)整，必要時(shí)可能采用化學(xué)藥劑進(jìn)行調(diào)整。

在m和混凝土質(zhì)量已確定的情況下(即E′確定)，人工礦柱的高度h對(duì)應(yīng)于采空區(qū)的高度，加大礦柱寬度來(lái)強(qiáng)化其支撐能力，從而強(qiáng)化頂板的穩(wěn)定性。

根據(jù)剛度比小于等于1的特性，施工中，人工礦柱的寬度必須滿足如下公式：

實(shí)施人工礦柱后的采空區(qū)剩余空間寬度，可根據(jù)采礦工藝對(duì)各種空間的要求進(jìn)行留設(shè)，一般來(lái)說(shuō)，爆破補(bǔ)償空間不低于2 m，各種機(jī)械設(shè)備用硐室按規(guī)程而定(一般大于2 m)。

此外，采空區(qū)在人工礦柱有最小必要寬度后，無(wú)需形成更寬的人工礦柱，必要時(shí)可在剩余空間內(nèi)通過(guò)充填采場(chǎng)廢石進(jìn)一步強(qiáng)化人工礦柱的支撐能力，調(diào)整采空區(qū)局地應(yīng)力環(huán)境。

4 結(jié)論

(1) 通過(guò)分析實(shí)施人工礦柱工藝前后頂板力學(xué)狀態(tài)的變化規(guī)律，建立了頂板-人工礦柱協(xié)同作用力學(xué)模型，分析了組合結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)機(jī)制，推導(dǎo)了人工礦柱的壓縮量表達(dá)式。

(2) 基于突變理論，建立了人工礦柱突發(fā)失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型。人工礦柱突發(fā)失穩(wěn)與剛度比 k、介質(zhì)均勻性系數(shù)m具有密切相關(guān)性。

(3) 通過(guò)改變?nèi)斯さV柱的力學(xué)參數(shù)和幾何參數(shù)，可在一定程度上調(diào)控頂板的穩(wěn)定性和采空區(qū)局地應(yīng)力環(huán)境，為協(xié)同開(kāi)采隱患資源服務(wù)。

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