基于人字齒輪嚙合特性的滑動(dòng)摩擦功率損失

王成，高常青，賈海濤

(1. 濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南，250022；2. 中國船舶重工集團(tuán)公司第703研究所，黑龍江 哈爾濱，150036)

人字齒輪傳動(dòng)不但具有斜齒輪傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)，而且能克服斜齒輪傳動(dòng)時(shí)因產(chǎn)生軸向力而不能采用過大螺旋角的缺點(diǎn)[1]，在礦山、艦船等大功率機(jī)械傳動(dòng)中被普遍使用。齒輪的傳動(dòng)效率關(guān)系到其傳動(dòng)質(zhì)量，造成齒輪傳動(dòng)功率損失的因素包括[2]輪齒間嚙合功率損失(主要因素)、軸系零件的摩擦和攪油損失以及風(fēng)損。其中輪齒間嚙合功率損失是由齒面滾動(dòng)摩擦和滑動(dòng)摩擦引起，而滑動(dòng)摩擦又是造成齒輪嚙合功率損失的主要原因[3]。查齒輪傳動(dòng)效率表、試驗(yàn)測(cè)試和公式計(jì)算是3種確定齒輪效率的途徑。其中，查表法易產(chǎn)生較大的誤差；試驗(yàn)法最準(zhǔn)確，但結(jié)果不通用，且易受各種因素的干擾，但相比較而言，采用計(jì)算的方法更為可行。周哲波[3]通過分析彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下齒面相對(duì)滑動(dòng)速度和齒面載荷，推導(dǎo)出直齒圓柱齒輪和斜齒圓柱齒輪功率損失的計(jì)算公式。姚建初等[4]從計(jì)算嚙合點(diǎn)的嚙合效率入手，通過積分的方法，得到一對(duì)輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的傳動(dòng)效率。但上述方法均未涉及齒輪制造、安裝誤差和輪齒修形。此外，文獻(xiàn)[3]中對(duì)所受載荷進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，即假定同時(shí)參加嚙合的輪齒所受載荷相同，因此，以上方法均無法進(jìn)行傳動(dòng)效率的精確計(jì)算。國外對(duì)于齒輪傳動(dòng)功率損失的研究主要是利用試驗(yàn)的方法[5-6]。Diab等[2]針對(duì)功率損失原因建立相應(yīng)的分析模型，但未研究如何求解。通過輪齒接觸分析(TCA)和承載接觸分析(LTCA)可精確得到齒輪嚙合分析數(shù)據(jù)[7]，為齒輪傳動(dòng)效率的計(jì)算提供一種新的思路?；谝陨纤枷?，谷建功等[8]提出弧齒錐齒輪嚙合的滑動(dòng)摩擦功損的計(jì)算方法，但其在對(duì)齒面相對(duì)滑動(dòng)速度的處理上是按空載情況下計(jì)算的。王成等[9]提出斜齒輪滑動(dòng)摩擦功率損失的計(jì)算方法，但在計(jì)算時(shí)采用簡(jiǎn)化的方法，所得的數(shù)值存在誤差。為此，本文作者以空間多重(多嚙對(duì))共軛嚙合理論為基礎(chǔ)，借助人字齒輪副嚙合接觸分析的結(jié)果進(jìn)行人字齒輪滑動(dòng)摩擦功率損失的計(jì)算。

1 人字齒輪副輪齒接觸分析

圖1所示為考慮修形和制造安裝誤差下的人字齒輪副輪齒接觸分析模型， 其中Ⅰ和Ⅱ分別為人字齒輪副左右端的斜輪齒副。Ⅰ1S和Ⅱ1S分別為左端主、從動(dòng)輪輪體上的固定坐標(biāo)系，Ⅰ2S和Ⅱ2S分別為右端主、從動(dòng)輪輪體上的固定坐標(biāo)系，與主、從動(dòng)輪一起運(yùn)動(dòng)；φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ分別為左端主、從動(dòng)輪的瞬時(shí)轉(zhuǎn)角，φ2Ⅰ和φ2Ⅱ分別為右端主、從動(dòng)輪的瞬時(shí)轉(zhuǎn)角；Sh1和Sh2，Sk1和Sk2是固定坐標(biāo)系，Sh1和Sh2分別表示主動(dòng)輪理論初始安裝位置，Sk1和 Sk2分別表示從動(dòng)輪理論初始安裝位置，互相平行，且相距為E；SfⅠ和SfⅡ?yàn)樵O(shè)在箱體上的固定坐標(biāo)系，分別與左右端主動(dòng)輪的理論初始位置重合(即分別與Sh1和Sh2重合)。1hS′和1kS′分別為制造安裝誤差造成人字齒輪軸向移動(dòng)后的坐標(biāo)系。

人字齒輪嚙合時(shí)，在固定(公共)坐標(biāo)系下，其兩齒面瞬時(shí)嚙合點(diǎn)處的位置矢量和法線矢量相等，即人字齒輪左右端齒面接觸方程分別為(i=Ⅰ，Ⅱ)：

人字齒輪邊緣接觸方程為：

φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ的關(guān)系為：

其中：uji(j =1，2；i=Ⅰ，Ⅱ)是刀具齒面參數(shù)；θji是齒條刀的坐標(biāo)系變換到齒輪坐標(biāo)系所轉(zhuǎn)過的角度；Δφ是左右端齒面加工誤差造成的轉(zhuǎn)角差；∑e是左右端齒面的加工誤差；rb是主動(dòng)輪的基圓半徑；βb是主動(dòng)輪的基圓螺旋角。

分別取 φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ?yàn)檩斎肓?，通過求解式(1)和(2)，可得到人字齒輪齒面接觸路徑和印痕。斜齒輪和人字齒輪的TCA見文獻(xiàn)[10-11]。

圖1 人字齒輪副輪齒接觸分析模型Fig.1 Coordinate system for double helical gears meshing

2 人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的法向載荷與相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算

2.1 人字齒輪副承載接觸模型與分析

圖2所示為人字齒輪LTCA模型。圖中為過齒面瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸(受載時(shí)，瞬時(shí)接觸點(diǎn)變?yōu)闄E圓，由于橢圓長(zhǎng)軸遠(yuǎn)大于短軸，因此，只考慮橢圓長(zhǎng)軸)的法截面，這里，瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸被離散成n個(gè)點(diǎn)。

圖2 人字齒輪副加載接觸分析模型Fig.2 Loaded contact analysis model of double helical gears

承載接觸分析方法及人字齒輪副的承載接觸分析的原理是根據(jù)變形位移協(xié)調(diào)方程和左右端軸向力平衡條件，借助有限元法和非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解，得到齒輪在修形和誤差下的齒面載荷分布和承載傳動(dòng)誤差，見文獻(xiàn)[12-13]。通過人字齒輪副承載接觸分析，得到嚙合周期內(nèi)所有齒面瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸上離散點(diǎn)的法向載荷和齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的傳動(dòng)誤差。

2.2 人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)與嚙合位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系

人字齒輪在嚙合過程中，存在多對(duì)齒同時(shí)嚙合的情況。這里，假定每對(duì)齒的幾何與力學(xué)性能都是一致的。因此，在計(jì)算人字齒輪副輪齒接觸分析和承載接觸分析時(shí)將它們按左右端分別放在一對(duì)齒上計(jì)算。這樣，僅需1個(gè)周期LTCA的求解，即能獲得1對(duì)人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的全部承載嚙合過程。在輪齒接觸分析時(shí)，左端主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角φ1Ⅰ滿足：

其中：K為人字齒輪TCA和LTCA的求解周期內(nèi)給定的嚙合位置數(shù)；Z1為主動(dòng)輪的齒數(shù)。φ1Ⅱ與φ1Ⅰ的關(guān)系見式(3)。

圖3所示為K=5時(shí)某人字齒輪副經(jīng)輪齒接觸分析計(jì)算得到的1對(duì)輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的齒面接觸路徑和印痕。假定在某嚙合位置左端齒對(duì)在第8點(diǎn)接觸，那么，在該嚙合時(shí)刻，左端共有3對(duì)齒同時(shí)接觸，即前一對(duì)齒在第3點(diǎn)接觸，后一對(duì)齒在第13點(diǎn)接觸。而此時(shí)右端同時(shí)也有3對(duì)齒嚙合，它們分別在第18，23和28點(diǎn)接觸。根據(jù)上述分析，得出1個(gè)嚙合周期內(nèi)，齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的嚙合位置，如表 1所示。

圖3 齒面接觸路徑和印痕Fig.3 Path of contact on tooth surface

表1 齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)與嚙合位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 1 Meshing position corresponding to contact ellipse

2.3 人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)所受法向載荷的計(jì)算

在人字齒輪副輪齒接觸分析時(shí)，瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸被離散成n個(gè)點(diǎn)(見圖2)。利用人字齒輪副承載接觸分析，得到這些離散點(diǎn)的法向載荷，第j個(gè)瞬時(shí)接觸點(diǎn)的法向載荷為：

其中：n為人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)j(橢圓長(zhǎng)軸)被離散的點(diǎn)數(shù)；Fi(i=1，2，…，n)為瞬時(shí)接觸點(diǎn) j上相應(yīng)離散點(diǎn)i所受到的法向載荷。

前面假定每對(duì)輪齒的幾何與力學(xué)性能一致，同樣，通過1個(gè)嚙合周期LTCA的求解，可得到1對(duì)人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的全部載荷。例如，當(dāng)K取5時(shí)，對(duì)位置 3的進(jìn)行求解，得到位置 3，8，13，18，23和28上離散點(diǎn)的法向載荷。依此類推，對(duì)齒面瞬時(shí)接觸位置1、2、4和5進(jìn)行求解，得到相應(yīng)瞬時(shí)接觸點(diǎn)(見表1)上離散點(diǎn)的法向載荷。利用1個(gè)嚙合周期(這里，K=5次)LTCA的計(jì)算，獲得人字齒輪齒面全部瞬時(shí)接觸點(diǎn)上離散點(diǎn)所受的法向載荷。然后，根據(jù)式(6)，得到齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)所受的法向載荷。

2.4 人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算

類似上節(jié)中齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)法向載荷的求解，利用1個(gè)嚙合周期LTCA的求解，獲得1對(duì)人字齒輪輪齒嚙入到嚙出齒面全部瞬時(shí)接觸點(diǎn)的傳動(dòng)誤差。

傳動(dòng)誤差用來表征從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角的實(shí)際值與理論值之差，是兩齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度產(chǎn)生的原因。據(jù)此，人字齒輪副齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度為：

其中：t為人字齒輪主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過相鄰瞬時(shí)接觸點(diǎn)所需的時(shí)間；w1和z1分別為人字齒輪主動(dòng)輪的角速度和齒數(shù)；N為1對(duì)人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出齒面瞬時(shí)接觸位置(點(diǎn))的個(gè)數(shù)；δφ和w12分別為人字齒輪動(dòng)輪(包括主動(dòng)輪和從動(dòng)輪)齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的傳動(dòng)誤差和相對(duì)滑動(dòng)角速度，j=1，2，…，N；rj(j=1，2，…，N)為人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)到主動(dòng)輪回轉(zhuǎn)中心的距離；v12為人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度。

3 人字齒輪滑動(dòng)摩擦功率損失的計(jì)算

在人字齒輪副輪齒接觸分析時(shí)，齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的個(gè)數(shù)與嚙合周期內(nèi)位置取值有關(guān)，理論上齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)可得到無窮多個(gè)。而在實(shí)際計(jì)算中，不可能取無窮個(gè)嚙合位置。這里借助 MATLAB軟件，首先利用式(8)計(jì)算得到瞬時(shí)接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦功損，繼而得到小輪轉(zhuǎn)角ij1φ(j=Ⅰ，Ⅱ，i=1，2，…，N，N為1對(duì)輪齒從嚙入到嚙出齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的個(gè)數(shù))對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)摩擦功損。其次，用MATLAB將這些瞬時(shí)接觸點(diǎn))擬合成曲線方程(見式(9))。

最后，通過對(duì)方程求導(dǎo)分別得到左右端輪齒從嚙入到嚙出的滑動(dòng)摩擦功率損失(見式(10))，將兩者相加，即得到人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失。

4 算例

利用上述方法計(jì)算1對(duì)人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失(小輪主動(dòng)，這里未考慮制造和安裝誤差)，該對(duì)人字齒輪的參數(shù)見表 2(為與文獻(xiàn)[9]中斜齒輪的滑動(dòng)摩擦功損進(jìn)行比較，人字齒輪受載情況和左右兩端齒輪副的幾何性質(zhì)與文獻(xiàn)[9]中取為相同)?！洱X輪手冊(cè)》建議混合彈流潤(rùn)滑條件下齒輪的平均摩擦因數(shù)μ=0.03～0.07，這里取 μ=0.05。

圖3所示為人字齒輪副輪齒接觸分析后的小輪齒面接觸路徑與印痕。圖4和圖5所示分別為通過人字齒輪副承載接觸分析后小輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)(橢圓長(zhǎng)軸)上離散點(diǎn)的載荷分布和傳動(dòng)誤差(人字齒輪TCA和LTCA的結(jié)果見表3)。根據(jù)式(6)和(7)，把離散點(diǎn)載荷和傳動(dòng)誤差分別轉(zhuǎn)換成齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的法向載荷和相對(duì)滑動(dòng)速度。借助 MATLAB對(duì)接觸點(diǎn)功損進(jìn)行擬合并積分，最終得到1對(duì)人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的滑動(dòng)摩擦功率損失P= 17.14 W(圖6為齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)滑動(dòng)功損擬合曲線)。因此，人字齒輪嚙合效率為：

表2 人字齒輪的參數(shù)Table 2 Parameters of double helical gears

圖4 人字齒輪齒面載荷分布Fig.4 Tooth surface load distribution

圖5 人字齒輪承載傳動(dòng)誤差Fig.5 Loaded transmission errors

表3 人字齒輪TCA和LTCA的計(jì)算結(jié)果Table 3 Corresponding calculation results of TCA and LTCA

根據(jù)《齒輪手冊(cè)》，7級(jí)及以上精度、潤(rùn)滑良好的單級(jí)圓柱齒輪傳動(dòng)效率在0.98以上，而利用本文提出的方法計(jì)算得到的人字齒輪嚙合效率滿足上述范圍(不低于下限值，這符合文中除涉及滑動(dòng)摩擦功損之外而未涉及其他功率損失這一情況)；通過與文獻(xiàn)[9]中斜齒輪的滑動(dòng)摩擦功損相比，人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功損要小(斜齒輪嚙合效率為 0.99)，這符合人字齒輪重合度大從而傳動(dòng)平穩(wěn)的特點(diǎn)。

圖6 齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)滑動(dòng)功率損失擬合曲線Fig.6 Fitted curve of raw data on power losses

5 結(jié)論

(1) 利用人字齒輪副輪齒接觸特性與承載接觸特性，獲得人字齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的法向載荷和相對(duì)滑動(dòng)速度，利用 MATLAB擬合出人字齒輪副從進(jìn)入嚙合到退出嚙合齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦功率損失與小輪轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用積分求出混合彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失。

(2) 本算法的計(jì)算結(jié)果滿足常見圓柱齒輪傳動(dòng)效率的范圍。通過與相同情況下的斜齒輪比較，人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失要比斜齒輪的小，符合人字齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)的特點(diǎn)。

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