利用MATLAB圖形技術(shù)實(shí)現(xiàn)麥克斯韋速度分布律教學(xué)可視化

葉劍鋒

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山 245041）

麥克斯韋速度（速率）分布律是熱學(xué)氣體動(dòng)理論教學(xué)中的很重要的內(nèi)容，是研究氣體分子熱運(yùn)動(dòng)、氣體分子碰撞及其氣體輸運(yùn)過程的理論依據(jù)。但其速度分布函數(shù)和速率分布函數(shù)分別是速度分量的三元高斯函數(shù)和速率的一元高斯函數(shù)與速率的二次函數(shù)的乘積，函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜。而且隨著不同的氣體及所處平衡態(tài)溫度的變化，速度、速率分布的精確計(jì)算和分布曲面、曲線的精確繪制變得比較繁雜而不易操作。以往的熱學(xué)教學(xué)中教師往往都代之以草圖，降低了科學(xué)性。本文用MATLAB繪圖和模擬能力用于麥克斯韋速度（速率）分布函數(shù)的教學(xué)和研究中，提高了教學(xué)效果。

1 麥克斯韋速度（速率）分布律

麥克斯韋速度分布律是在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí),分布在速度區(qū)間vxvx+dvx，vy-vy+duy，vz-vz+dvz內(nèi)的分子比率為

其中N為氣體分子總數(shù)；dN為分布在上述速度區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)；m為單個(gè)分子的質(zhì)量；k為玻爾茲曼常數(shù)；T為氣體處于平衡態(tài)時(shí)的熱力學(xué)溫度。

當(dāng)只考慮速度的大小而不考慮速度的方向時(shí)，速度分布率蛻化為速率分布律，可表述為：

在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任意速率區(qū)間v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)比率為

（1），（2）兩式中

分別稱為麥克斯韋速度分布函數(shù)和速率分布函數(shù)，其物理意義分別表示分布在單位速度區(qū)間或單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率。[1]

2 基于MATLAB的麥?zhǔn)戏植悸傻目梢暬?/h2>

2.1 不同氣體在同一溫度下的麥克斯韋速度分布律

利用MATLAB編程模擬氫氣、氮?dú)?、氧氣和二氧化碳在同一溫度（T=300K）時(shí)的麥克斯韋速度分布函數(shù)曲面，程序如下:

圖 1只展示了f(vx，vy）隨速度分量 vx，vy變化的曲面，完整速度分布函數(shù) f（vx，vy，vz）=f（vx）f（vy）f（vz）應(yīng)是個(gè)四維形式，即f（vx，vy，vz）隨 3 個(gè)速率分量vx，vy，vz變化，但四維無法用坐標(biāo)形式標(biāo)出。同樣可以做出 f（vx，vz），f（vy，vz），分布面，利用速度分布函數(shù) f（vx，vy）隨速度vx，vy分量變化的三維情形即可以聯(lián)想到四維情形。[2]

2.2 同一氣體在不同溫度下的麥克斯韋速度分布律

利用MATLAB 同樣繪制出氫氣在溫度為300K、600K、900K、1200K時(shí)的麥克斯韋速度分布函數(shù)曲面如圖2所示，程序如下：

雖然不同溫度下的曲面形式不變，但是通過觀察f（vx，vy）軸可見相同的vx，vy時(shí)，f（vx，vy）值會(huì)隨著溫度提升而增加。

圖1 同一溫度下不同氣體的速度分布函數(shù)

圖2 同一氣體在不同溫度下速度分布函數(shù)

2.3 不同氣體同一溫度下的麥克斯韋速率分布律

麥克斯韋速率分布函數(shù)f（v）是一個(gè)二維形式。圖3為氫氣、氮?dú)?、氧氣和二氧化碳?種氣體在相同的溫度（T=300K）時(shí)的麥克斯韋速度分布函數(shù)曲線，程序?yàn)椋?/p>

由圖3可以清晰的看到由于分布函數(shù)滿足歸一化結(jié)果，隨著氣體分子量的增大，其統(tǒng)計(jì)速率變化的趨勢遞減，速率分布的密度加重，其最可幾速率減小。

2.4 同一氣體在不同溫度下的麥克斯韋速率分布律

同一氣體氫氣在不同溫度（300K、600K、900K 1200K）時(shí)的麥克斯韋速度分布函數(shù)曲線如圖4所示，程序?yàn)椋?/p>

圖4清晰顯示，隨著溫度的上升，氫氣的最可幾速率增加，在歸一化條件的約束下，其速度變化趨勢增加。[3]

3 結(jié)束語

結(jié)合MATLAB編程繪圖功能，討論了同種氣體在不同溫度下及其不同氣體在同一溫度下的麥克斯韋速度（速率）的可視化，能夠使抽象的麥克斯韋速度（速率）分布規(guī)律，變得具體、形象、生動(dòng)，易于讓學(xué)生掌握速率分布曲線具體內(nèi)容；MATLAB為熱學(xué)教學(xué)提供了簡捷直觀的途徑，便于學(xué)習(xí)者對于物理的原理、概念、公式和圖像作深入了解。[4]

[1]秦允豪.熱學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2004：58-63.

[2]彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化[M].北京：清華大學(xué)出版社,2004：85-153.

[3]王向賢,朱浩瑞.基于MATALB的麥克斯韋速率分布函數(shù)的數(shù)字化教學(xué)[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,33(4)：17-19.

[4]王明美.MATALB在麥克斯韋速率分布律教學(xué)中的應(yīng)用[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,28(6)：40-42.