一種改進(jìn)的基于相位差法的頻譜校正方法

胡文彪，夏 立，向東陽，吳正國

(海軍工程大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，武漢 430033)

頻譜分析是數(shù)字信號處理的重要手段。由于FFT和譜分析只能在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，不可避免地造成由于時(shí)域截?cái)喈a(chǎn)生的能量泄露，使譜峰值變小、精度降低。已有研究表明，加矩形窗時(shí)單諧波頻率成分的幅值誤差最大可達(dá)36.4%［1］，即使加其它窗時(shí)，也不能完全消除影響，如加Hanning窗時(shí)，只進(jìn)行幅值恢復(fù)時(shí)最大誤差仍高達(dá)15.3%，相位誤差高達(dá)90°。因此采用各種有效的方法對頻譜進(jìn)行校正具有十分重要的意義。

目前國內(nèi)外學(xué)者［1－21］在頻譜校正方面做了大量研究工作，提出的頻譜校正方法主要有:能量重心法［2，3］、比值法［4－6］、FFT+DFT 譜連續(xù)細(xì)化法［7］、相位差法［8－18］。其中采用相位差法進(jìn)行校正時(shí)，幅值校正公式也完全依賴于窗函數(shù)的譜函數(shù)。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，窗函數(shù)的選擇十分重要。根據(jù)不同的情況，選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，可以取得比較好的效果。以密集頻譜的情況為例，為確保校正精度，選取的窗函數(shù)的旁瓣必須能夠快速衰減，避免不同頻率分量的主瓣和旁瓣之間互相影響。Kaiser窗可定義一組可調(diào)的窗函數(shù)，其主瓣能量和旁瓣能量之間的比例近乎最大，且可自由選擇主瓣寬度和旁瓣高度之間比重，本來十分適合密集頻譜的情況。但由于Kaiser窗的窗函數(shù)十分復(fù)雜，其譜函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式無法求出［16］，限制了Kaiser窗的應(yīng)用。因此基于相位差法，研究一種通用的不依賴窗譜函數(shù)的具有統(tǒng)一的幅值校正公式的校正方法具有十分重要的意義。

1 相位差校正法

設(shè)有一周期信號x(t)=Acos(2πf0+t+θ)，其傅里葉變換變換結(jié)果為:

式中:f=kfs/n=kΔf，Δf為頻率分辨率。

對信號x(t)加長度為T(T=N/fs，fs為采樣頻率)的窗wT(t)。wT(t)是由對稱窗w(t)右移T/2得到的。w(t)的窗譜函數(shù)為W(f)，wT(t)的窗譜函數(shù)WT(f)相對于 y軸來說有一個相移因子 e－jπfT，即:

加窗后的信號x(t)wT(f)的傅里葉變換根據(jù)卷積定理可表示為:

對x(t)wT(f)做N點(diǎn)的FFT，由于頻率分辨率Δf不可能無限小，不妨設(shè)f0=(K－ΔK)Δf，其中K為整數(shù)，ΔK∈［－0.5，0.5］為歸一化的頻率修正量。那么離散頻譜的峰值應(yīng)該出現(xiàn)在第K根譜線上，對應(yīng)的相位為:

將窗函數(shù)wT(f)的中心再右移aT，這時(shí)產(chǎn)生的相移為e－j2πafT，同樣做N點(diǎn)FFT后得到信號加窗后的相位為:

則兩次計(jì)算所得的相位差為:

這里可以看出Δφ的取值在(－2π，2π)區(qū)間，而實(shí)際上相位是反正切函數(shù)，主值范圍為(－π，π)。因此相位差Δφ需要做適當(dāng)調(diào)整:

那么歸一化的頻率修正量為

假定頻譜中出現(xiàn)峰值的第K根譜線的系數(shù)為X(K)=RK+jIK，則信號的幅值和相位的校正公式分別為:

從式(9)可以看出，幅值校正完全依賴于窗函數(shù)的譜函數(shù)W(f)。加不同的窗，窗譜函數(shù)W(f)不相同，幅值校正公式也各不相同。實(shí)際上即使是常用的窗函數(shù)，其譜函數(shù)也十分復(fù)雜，計(jì)算時(shí)只能做近似處理。甚至有些窗函數(shù)本身就比較復(fù)雜，其譜函數(shù)的解析表達(dá)式根本難以取得。這就極大地限制了不同應(yīng)用場合窗函數(shù)選擇的靈活性。因此研究一種不依賴窗譜函數(shù)的校正方法具有十分重要的意義。

2 改進(jìn)算法

對于一個 N 點(diǎn)序列 x(n)，n=0，1，…，N －1，其信號頻率為f0，采樣頻率為fs，其離散傅里葉變換的逆變換表達(dá)式為:

每一個ek都是一個復(fù)正弦序列。若信號頻率f0=代表的是一個頻率為f的復(fù)正弦序列，那么0對應(yīng)的坐標(biāo)X(K)有很明確的物理意義，可以直接計(jì)算信號的幅值和相位。若信號頻率，就會發(fā)生頻譜泄漏。

將 e0，e1，…，eN－1同時(shí)乘以一個 N 點(diǎn)序列可以得到一組新的基。即:

可以看出式(14)是一個標(biāo)準(zhǔn)的離散傅里葉變換逆變換的表達(dá)式。式中的系數(shù)(K)可以通過對N點(diǎn)序列(n)做DFT或FFT計(jì)算。這一點(diǎn)在物理意義上比較明確，即:序列x(n)的信號頻率f0落在離散頻譜上的兩根譜線之間，因而會產(chǎn)生頻譜泄漏;將x(n)乘以一個序列，相當(dāng)于將信號做了一個頻移，產(chǎn)生的新的序列的信號頻率正好對準(zhǔn)離散頻譜上的第K根譜線，因此不會產(chǎn)生泄漏?？紤]到加窗后頻譜的幅值受窗函數(shù)影響降低，設(shè)加窗信號做DFT或FFT所得的第K個系數(shù)為:

則根據(jù)式(9)、式(10)和第2節(jié)的分析，原信號x(n)的幅值和相位校正公式為:

式中W(0)為w(n)的直流分量，不需要知道窗譜函數(shù)的表達(dá)式，只要對N點(diǎn)的窗取均值就可以求得。

因此本文的方法可歸納為:

第一步:采用相位差法求歸一化的頻率修正量ΔK。

3 仿真研究

用計(jì)算機(jī)生成信號:

采樣頻率1024Hz，作譜點(diǎn)數(shù)為1024，頻率分辨率為1Hz。選用矩形窗，進(jìn)行仿真研究。仿真結(jié)果如表1所示。

表1 加矩形窗的校正結(jié)果Tab.1 Correction results for rectangle window function

從表1中可以看出，在加矩形窗的條件下，各分量校正后頻率、幅值、相位的精度有明顯的提高。其中頻率間隔較遠(yuǎn)的分量(52.8Hz和210.35Hz的分量)的頻率最大誤差為0.0025個頻率分辨率，幅值最大誤差為0.52%，相位最大誤差為0.74°。頻率間隔較近的分量(150.2Hz和154.25Hz的分量)校正精度相對降低，最大頻率誤差為0.0047個頻率分辨率，幅值最大誤差為1.47%，相位最大誤差為1.52°。這主要是由于2個頻率分量靠近時(shí)，不同分量的主瓣和旁瓣互相干涉造成的。通過加不同的窗函數(shù)，使旁瓣更快速地衰減，可以提高校正的精度。

這里為便于比較幅值校正精度，信號各分量的幅值都是1。而實(shí)際上2個頻率靠近的分量由于幅值不同，互相之間影響造成的誤差精度也各不一樣。同時(shí)為比較頻率靠近的分量互相之間的影響，將式(18)信號中的150.2Hz的分量的幅值提高到100，其他參數(shù)保持不變。分別加矩形窗、漢寧窗和凱澤窗，進(jìn)行仿真研究。其中凱澤窗的形狀參數(shù)β為10。仿真結(jié)果如表2所示。從表2可以看出:

(1)矩形窗的校正精度最差，由于有幅度為100的150.2Hz頻率分量存在，其旁瓣對各幅值為1的分量都產(chǎn)生了較大的影響，誤差很大，僅150.2Hz分量自身校正精度較高，頻率誤差為0.00017個頻率分辨率，幅值誤差為0.03%。

(2)加漢寧窗后，頻率間隔較遠(yuǎn)的2個分量(52.8Hz和210.35Hz的分量)校正精度很高，頻率最大誤差為0.00001個頻率分辨率，幅值最大誤差為0.003%，相位最大誤差為0.00372°。頻率間隔較近的2個分量中，150.2Hz的分量的校正精度也高，幅值誤差為0.0011%?？梢?154.25的分量由于幅值較小，對150.2Hz分量的影響也較小。但154.25Hz的分量受150.2Hz分量的影響較大，幅值誤差高達(dá)6.02%。

(3)加凱澤窗后，校正效果最好，各分量的校正精度都很高。其中154.25Hz的分量受臨近的150.2Hz分量的影響較大，幅值誤差在各分量中達(dá)到最大，也只有 1.07%。

表2 加不同窗函數(shù)的校正結(jié)果Tab.2 Correction results for different window functions

通過三種窗函數(shù)的比較，可以看出對于不同的工程背景和精度要求，選擇合適的窗函數(shù)，可以達(dá)到令人滿意的校正效果。

4 感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子故障診斷實(shí)例

轉(zhuǎn)子故障是感應(yīng)電機(jī)的常見故障。轉(zhuǎn)子發(fā)生故障時(shí)，感應(yīng)電機(jī)的三相定子電流在基波電流分量的兩側(cè)會出現(xiàn)1±2s)f0的故障特征頻率分量(其中f0為基波頻率，s為轉(zhuǎn)差率)，這些特征頻率分量的幅值與故障嚴(yán)重程度直接相關(guān)。正常工況下，感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)差率較小，不超過6%。因此這些特征頻率分量在頻率上與基波電流分量靠得很近，屬于密集分布的頻譜。而且這些分量在幅值上與基波分量相比非常小，容易被基波分量的泄露淹沒?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)通常通過各種變換方法將基波電流分量轉(zhuǎn)化為直流量，故障特征頻率分量轉(zhuǎn)化到低頻段［22－26］。這樣做能夠避免基波分量泄漏的影響，對故障特征頻率分量的提取比較有利，能夠通過檢測是否存在故障特征頻率分量來判斷是否出現(xiàn)故障，屬于定性分析。但是故障特征頻率分量自身同樣會發(fā)生泄漏，如果不加以考慮，測得的故障特征頻率分量的幅值仍然是不準(zhǔn)確的，難以實(shí)現(xiàn)對故障嚴(yán)重程度的量化。采用改進(jìn)的基于相位差法的頻譜校正方法，可以不經(jīng)過變換，直接對定子電流進(jìn)行頻譜分析，準(zhǔn)確計(jì)算故障特征頻率分量的幅值，實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子故障的定性和量化。

圖1 A相電流波形圖Fig.1 The waveform of A phase current

圖2 A相電流的頻譜圖Fig.2 A phase current spectrum

實(shí)驗(yàn)電機(jī)采用的是Y132M－4型感應(yīng)電機(jī)。一根轉(zhuǎn)子斷條的情況下，電機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定后測得的定子A相電流波形和頻譜分別如圖1、圖2所示。其中圖2的頻譜圖是對數(shù)據(jù)長度為10 s的數(shù)據(jù)加矩形窗后用FFT算法計(jì)算得到的。感應(yīng)電機(jī)由電網(wǎng)直接供電，基波頻率f0接近50Hz。根據(jù)測得電機(jī)轉(zhuǎn)速可計(jì)算出2sf0=2.2Hz。但從圖2中可看出，基頻分量兩側(cè)47.8Hz和52.2Hz的故障特征頻率分量基本上已被基波分量的泄露淹沒，很不明顯，難以作為轉(zhuǎn)子故障診斷的判據(jù)。

直觀上看，圖1中基波電流的幅值應(yīng)該在15 A左右，但是圖2頻譜中50Hz的基波分量的幅值只有9.8787 A，可見泄露非常嚴(yán)重。取一段7.5 s長的數(shù)據(jù)，分別對前5 s和后5 s的數(shù)據(jù)加凱澤窗進(jìn)行計(jì)算，采用相位差法求得頻率校正量后，再用本文提出的方法對f0、(1±2s)f0的分量的幅值進(jìn)行校正，取得了較好的效果。各分量的幅值如表3所示。

表3 基波與故障特征分量的校正結(jié)果Tab.3 Correction results of fundamental component and fault signature frequency components

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的相位差校正法在校正出頻率校正量后，幅值校正依賴于窗函數(shù)的譜函數(shù)的解析表達(dá)式，造成采用不同的窗函數(shù)時(shí)校正公式各不一樣。而一些復(fù)雜的窗函數(shù)，其譜函數(shù)根本難以求出。本文基于相位差校正法，在校正出頻率校正量以后，對幅值校正進(jìn)行改進(jìn)，使之不再依賴窗函數(shù)的譜函數(shù)。這樣就可以面對不同的工程應(yīng)用背景和精度要求，自由地選擇合適的窗函數(shù)，取得好的校正效果。仿真研究和應(yīng)用實(shí)例表明，即使是頻率密集分布的頻譜，通過采用合適的窗函數(shù)，也可以達(dá)到較好的校正精度。

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