串聯(lián)系統(tǒng)的備件配置方法

馮玉姣

（中船重工第七一〇研究所，湖北 宜昌 443000）

0 引言

當(dāng)前，準(zhǔn)確、有效地預(yù)測裝備全系統(tǒng)、全壽命期間的備件需求問題是裝備綜合保障中的研究熱點之一，國內(nèi)外有關(guān)學(xué)者對此展開了大量的研究。針對單不可修部件來說，在可靠性信息已知的前提下，建立了各種壽命分布類型備件的保障度與需求量模型，能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測全壽命期間的備件需求[1-3]，這些模型在工程中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。然而，對于由多個不可修部件或者采用換件維修方式的系統(tǒng)而言，不僅需要預(yù)測各部件的備件需求量，還要考慮或權(quán)衡在有限的經(jīng)費條件下，各備件如何進行合理的配置以達到較高的系統(tǒng)保障度，該問題仍然沒有得到很好的解決。

針對相同壽命分布類型不可修部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，除指數(shù)分布外，其它幾種典型分布如威布爾分布、正態(tài)分布等的備件預(yù)測模型較為復(fù)雜，導(dǎo)致在部件數(shù)目較多的情況下，模型的建立與求解過程都比較復(fù)雜，求解困難。為方便計算，經(jīng)典的方法是在任務(wù)時間小于部件平均壽命時，假設(shè)每個部件任務(wù)期間最多只發(fā)生一次或兩次故障，然后采用狀態(tài)枚舉和概率統(tǒng)計的方法推導(dǎo)得出備件需求量的解析表達式，從而得到近似的結(jié)果[1，4]，雖然結(jié)果與實際較為接近，但不能進行全壽命的備件預(yù)測，具有很大的局限性。

針對不同壽命分布類型不可修部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，目前工程中主要采用的是國軍標(biāo)GJB 4355《備件供應(yīng)規(guī)劃要求》中推薦的方法——單項法[5]，直接對各零部件提出保障度要求（一般要求每項備件的保障度范圍在0.80～0.99之間），分別進行備件預(yù)測，該方法實施簡單，可操作性強，但是不能從系統(tǒng)整體角度控制備件數(shù)量和保障度的關(guān)系，容易造成備件過量儲存，導(dǎo)致全壽命費用增大。因此，大量的文獻提出了各種系統(tǒng)優(yōu)化的配置方法，即根據(jù)裝備的戰(zhàn)備完好性或任務(wù)可靠度等要求，以保障費用為約束條件而建立相應(yīng)的備件配置模型，然后采用各種優(yōu)化算法如邊際效益、動態(tài)規(guī)劃或遺傳算法等得到最優(yōu)的配置方案。如丁定浩結(jié)合實際的情況，分別考慮備件的費用、體積和質(zhì)量等綜合因素，提出了系統(tǒng)保障度分配模型，并采用動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化方法得到備件的配置方案[6]；程海龍等建立了系統(tǒng)滿足率約束下的備件模型，采用邊際效益方法進行優(yōu)化[7]。然而，這類方法大多只適用于指數(shù)分布的各類系統(tǒng)，無法應(yīng)用于非指數(shù)分布組成的系統(tǒng)。主要原因也是由于非指數(shù)分布并不具有指數(shù)分布的 “無記憶性”，其備件保障度解析模型的建立是比較困難的。目前主要采用的是Monte-Carlo模擬方法，通過計算機產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬每個非指數(shù)分布部件的實際使用過程，根據(jù)大數(shù)定律，采用概率統(tǒng)計和線性插值的方法求出備件需求量，進而與各種優(yōu)化算法相結(jié)合得出備件配置方案[8]。然而在備件種類較多時，比如100種，假設(shè)每個零部件最多配置2個備件，也有3100種組合，每種組合進行10000次仿真，其計算量也是比較大的，效率低，更不利于工程化；該方法常常只用來對解析法得到的配置方案進行仿真驗證。

針對串聯(lián)系統(tǒng)的備件配置問題，首先根據(jù)指數(shù)分布的良好特性，建立由指數(shù)分布部件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)的備件需求預(yù)測和配置模型；然后根據(jù)累積失效相等原則，將非指數(shù)分布等效成指數(shù)分布，進而利用指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)的備件模型近似計算幾種典型非指數(shù)部件串聯(lián)系統(tǒng)的備件需求量，最后通過Monte-Carlo模擬方法驗證結(jié)果的有效性。

1 指數(shù)分布部件串聯(lián)系統(tǒng)的備件模型

1.1 部件壽命服從相同指數(shù)分布的情況

若某串聯(lián)系統(tǒng)由m個相同的不可修部件組成，且部件壽命服從失效率為λ的指數(shù)分布。在保障度要求為α，且備件存放期內(nèi)無失效的情況下，通過下面公式計算得到在時間（0，T]內(nèi)的故障次數(shù)，也即備件需求量[9]：

進一步可化簡為:

利用上述公式能夠計算出備件的需求量，工程中還可以直接通過查表獲得，這是比較方便的。

1.2 部件壽命服從不同指數(shù)分布的情況

若系統(tǒng)由m個不相同的不可修部件串聯(lián)組成，不可修部件壽命服從失效率為λi（i=1，2，…，m）的指數(shù)分布，各部件費用為ci。常見的系統(tǒng)備件配置模型主要有以下兩種：

a）以系統(tǒng)保障度α為目標(biāo)函數(shù)，以總費用C為約束條件，尋求最優(yōu)的配置，使得在費用限制下達到的保障度最大，數(shù)學(xué)模型為：

b）以總費用C為目標(biāo)函數(shù)，系統(tǒng)保障度α為約束條件，尋求最優(yōu)的備件配置，使得在保障度約束下，總費用最小，數(shù)學(xué)模型為：

在此基礎(chǔ)上，利用動態(tài)規(guī)劃、邊際效益或遺傳算法等方法進行優(yōu)化，得到最終的配置結(jié)果。各種優(yōu)化算法的實現(xiàn)過程見文獻 [6-7]，在此不詳細敘述。

2 非指數(shù)分布的指數(shù)等效方法

由于指數(shù)分布 “無記憶性”的性質(zhì)，當(dāng)前很多學(xué)者都是以指數(shù)分布為基礎(chǔ)開展備件配置研究的[10-11]。而當(dāng)組成系統(tǒng)的某個或某些部件服從非指數(shù)分布時，建立備件保障度的解析模型和求解時是十分困難的。然而，如果找出非指數(shù)分布與指數(shù)分布間的聯(lián)系和差異，利用指數(shù)分布進行近似計算就將為工程應(yīng)用帶來極大的方便。

刻畫一種分布的基本參數(shù)包括平均壽命、失效率及可靠度等。已有的文獻研究表明，在平均壽命相等的情況下，指數(shù)分布類型部件的故障次數(shù)（或備件數(shù)量）要比非指數(shù)分布的多，即具有保守性；并且常常是過于保守，那么如果將非指數(shù)分布看作與其平均壽命相等的指數(shù)分布，利用指數(shù)分布的備件模型進行近似計算，結(jié)果自然就會造成資源浪費[12]。因此，本文從失效率的角度，建立非指數(shù)分布與指數(shù)分布間的關(guān)系。

其中，λ為常數(shù)。對于其它分布的情況，利用上式則可等效成失效率為常數(shù)的指數(shù)分布，表明兩種分布在相同時間內(nèi)的平均累積故障次數(shù)相等。然而，隨著時間T的增長，這種等效的誤差會越來越大。因此，本文只在平均壽命以內(nèi)進行等效。具體的等效方法為：

3 非指數(shù)類部件串聯(lián)系統(tǒng)的備件配置方法及實例分析

3.1 相同非指數(shù)類部件串聯(lián)系統(tǒng)

針對由多個相同不可修部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)在給定保障度下備件數(shù)量的確定，經(jīng)典的方法是在單不可修備件需求模型的基礎(chǔ)上直接利用系統(tǒng)與單元保障度間的關(guān)系得到，即：

然而，在服從具體分布的時候，除指數(shù)分布外，其它分布利用式（3）計算是比較困難的，需要預(yù)設(shè)一定的假設(shè)條件。

3.1.1 服從 Weibull分布的部件

然后代入式（1）得到：

通過查表即可得到備件數(shù)量。下面通過實例，將經(jīng)典的方法、本文方法以及模擬方法的結(jié)果進行比較。如表1所示。

從表1可以看出，經(jīng)典方法的結(jié)果由于假設(shè)每個部件最多只發(fā)生一次故障，導(dǎo)致計算結(jié)果比真實結(jié)果偏小，隨著時間的延長，誤差越來越大，容易造成備件短缺，且對于任務(wù)時間大于平均壽命時沒有給出計算公式；而近似方法則比模擬結(jié)果稍微偏大，但并不過大，在誤差允許范圍內(nèi)，并且當(dāng)時間大于平均壽命時，與模擬結(jié)果吻合得較好。

表1 N=5， λ=0.7854， β=2.0， μ=1， α=0.9。

3.1.2 服從正態(tài)分布的部件

以正態(tài)分布為例，研究由N個同種不可修部件串聯(lián)，部件的壽命服從正態(tài)分布N（μ，σ2），總工作時間為T，保障度為α?xí)r的備件數(shù)量。同樣，經(jīng)典方法結(jié)果為：

然后代入式（1）得到結(jié)果。表2給出了3種方法的結(jié)果。

表2 N=5，μ=10，σ=2，α=0.9。

從表2可以得出與表1相同的結(jié)論，即經(jīng)典方法比實際結(jié)果略微小，而本文的近似方法結(jié)果偏保守，不過于保守。實際上，備件配置偏多顯然比備件短缺要好。

3.1.3 服從 Gamma 分布的部件

而根據(jù)等效的方法，先將Gamma分布失效率轉(zhuǎn)化成指數(shù)分布，即

然后代入式（1）得到結(jié)果。表3給出了3種方法的結(jié)果。

結(jié)果表明：本文的等效方法在計算結(jié)果的精確度以及計算過程的簡便性上都要比經(jīng)典方法優(yōu)些。

表3 N=5，μ=10，λ=0.2，σ=2，α=0.9。

3.2 不同非指數(shù)部件串聯(lián)系統(tǒng)

對于由不同壽命分布部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，建立其備件配置的解析模型和求解是比較困難的，當(dāng)前主要依靠模擬仿真和邊際效益相結(jié)合的方法[7]。而根據(jù)前面的研究，利用指數(shù)等效方法，將每個單部件等效成指數(shù)分布，進而預(yù)測備件的需求是比較準(zhǔn)確和方便的。因此，不同壽命分布的部件串聯(lián)系統(tǒng)可以先轉(zhuǎn)化為多個指數(shù)分布部件串聯(lián)的情況，然后采用1.2節(jié)的方法就能夠確定各分部件的備件數(shù)量。以下給出一個具體的實例。系統(tǒng)中部件參數(shù)如表4所示。要求系統(tǒng)在工作時間為1200h內(nèi)的保障度達到0.9。采用近似方法等效和邊際效益方法優(yōu)化后，得到各部件的備件數(shù)量如表4所示?？傎M用為45.1萬元，系統(tǒng)保障度為0.9025。

進一步，為驗證表中配置結(jié)果的有效性，利用Monte-Carlo方法進行仿真驗證，得到如圖1所示的備件保障度與費用曲線圖，各分部件的保障度如圖2所示。其中，圖中的 “o”表示模擬得到的保障度， “*”表示解析法得到的近似保障度。

從圖1和2可以看出，利用本文近似方法得到系統(tǒng)的備件配置結(jié)果，會比實際要求的保障度略高。例如本文按照0.90的保障度要求進行配置，得到的方案理論值為0.9025，而實際能達到0.9307。原因有兩點：1）備件的數(shù)量只能是整數(shù)而非小數(shù)，因此在優(yōu)化過程中，每次只能增加的備件個數(shù)為1，造成保障度的增加不是連續(xù)的；2）近似算法本身造成的誤差，從圖2可以看出每個分部件的模擬保障比解析保障度要高，因此低估了保障度就容易造成每個部件出現(xiàn)多配備件。根據(jù)該方法得到的結(jié)果雖然不是最優(yōu)的結(jié)果，但是離最優(yōu)的結(jié)果已經(jīng)比較接近，略微保守，誤差是可接受的，能夠滿足工程上的要求，而且實施簡便，可操作性強。

表4 系統(tǒng)各部件相關(guān)數(shù)據(jù)及配置結(jié)果

4 結(jié)束語

在備件的保障問題中，很多問題只有通過近似的方法或者預(yù)設(shè)假設(shè)條件才能求出接近實際問題的近似解。針對不可修部件串聯(lián)系統(tǒng)的備件配置問題，建立了指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)的備件需求預(yù)測模型，以及利用指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)的備件模型近似計算非指數(shù)部件串聯(lián)系統(tǒng)的備件需求量，其結(jié)果與經(jīng)典方法及Monte-Carlo模擬方法的結(jié)果是一致的。該方法具有精度高、簡單可操作性強的優(yōu)點，能夠為工程應(yīng)用帶來方便。利用近似的方法也為復(fù)雜系統(tǒng)的備件配置以及全壽命期間的備件需求預(yù)測問題提供了研究思路。

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