不確定切換時滯系統(tǒng)積分滑模控制

連 捷， 張 鳳

（大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng)，由多個子系統(tǒng)以及作用在其中的切換規(guī)則構成.切換系統(tǒng)在電力系統(tǒng)、受限機器人系統(tǒng)、智能高速公路等系統(tǒng)中有著廣泛的應用前景，近幾年，已經(jīng)引起國內(nèi)外的廣泛關注[1－5].另一方面，在實際系統(tǒng)的運行過程，時滯是普遍存在的，且是導致系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能下降的主要原因.如果切換系統(tǒng)中的每一個子系統(tǒng)都是時滯系統(tǒng)，則稱這類系統(tǒng)為時滯切換系統(tǒng).目前，時滯切換系統(tǒng)已得到廣泛的研究并取得許多重要的成果[6，7].此外，在實際系統(tǒng)中，各種不可避免的因素，如建模誤差、系統(tǒng)運行環(huán)境變化、測量誤差，以及信息傳輸延遲等會導致一些不確定時滯的出現(xiàn)，因此對不確定時滯切換系統(tǒng)的研究具有重要的實用價值和理論意義.文獻[8，9]分別研究了線性和非線性不確定時滯切換系統(tǒng)的魯棒控制問題.文獻[10]研究了離散時間不確定時滯切換系統(tǒng)的魯棒H∞動態(tài)輸出反饋控制問題.文獻[11]針對一類不確定時滯切換系統(tǒng)，研究了其H∞濾波器設計問題.

滑?？刂谱鳛橐环N消除系統(tǒng)不確定性影響的魯棒控制策略，具有快速響應、對參數(shù)及外界干擾變化不靈敏、物理實現(xiàn)簡單等許多優(yōu)點，因而被廣泛應用于不同系統(tǒng)的研究中[12－14].但對于切換系統(tǒng)，目前研究成果較少見.文獻[15]基于單Lyapunov函數(shù)方法，設計單H∞滑模面，研究了一類不確定線性切換系統(tǒng)的魯棒H∞滑模控制問題.文獻[16]基于平均駐留時間方法，設計線性滑模面，研究了一類切換時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.滑模控制的響應過程主要包含兩個階段：到達過程和滑動過程，而且在到達過程中系統(tǒng)對不確定性和擾動是敏感的.為了解決這一問題，文獻[17]提出積分型滑?？刂品椒?積分型滑?？刂颇軌虮ＷC閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡從初始時刻就保持在滑模面上，有助于改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能，提高系統(tǒng)的魯棒性.文獻[18]針對一類不確定非線性切換系統(tǒng)，采用積分型滑?？刂品椒?，得出閉環(huán)系統(tǒng)對于一類滿足平均駐留時間條件的切換信號指數(shù)穩(wěn)定的條件.但是對于不確定切換時滯系統(tǒng)，由于不確定性、切換特性，以及時滯共同存在且相互耦合，其滑模面設計十分困難，對于這類系統(tǒng)的積分滑?？刂茊栴}的研究結(jié)果尚未見報道.

本文考慮一類同時具有參數(shù)不確定性、非線性擾動和時變時滯切換系統(tǒng)，研究其積分滑模變結(jié)構控制問題.首先設計積分滑模面，使得系統(tǒng)在滑模面上運行時，對于任意滿足平均駐留時間的切換信號都是指數(shù)穩(wěn)定的；基于線性矩陣不等式方法，給出積分滑模面存在的充分條件，然后設計各子系統(tǒng)的變結(jié)構控制器，保證切換系統(tǒng)從初始時刻就保持在滑模面上.

1 問題描述和預備知識

考慮如下不確定時滯切換系統(tǒng)：

式中：x（t）∈Rn，為系統(tǒng)狀態(tài)；σ：[0，∞）→Ξ＝｛1，2，…，l｝，是依賴于時間t的分段常值切換信號；ui∈Rm，是第i個子系統(tǒng)的控制輸入；Ai、Adi、B是具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；φ（θ）是在[－h(huán)，0]上的可微向量值初始函數(shù)；ΔAi、ΔAdi為系統(tǒng)參數(shù)不確定性；fi（t，x）表示系統(tǒng)非線性；d（t）表示時間滯后量，滿足下式：

其中h、τ是正常數(shù).

對于切換系統(tǒng)（1），做如下假設.

假設1 參數(shù)不確定性ΔAi、ΔAdi表示為如下形式：

其中D1i、D2i、Ei為具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；Fi（t）為未知矩陣函數(shù)，且滿足FTi（t）Fi（t）≤I.

假設2 矩陣B為列滿秩矩陣，rank（B）＝m，且m＜n.

假設3 存在已知非負函數(shù)i（t，x），i∈Ξ使得

定義1[1]對于切換信號σ以及t＞τ≥0，令Nσ（τ，t）表示在時間區(qū)間（τ，t）內(nèi)切換的次數(shù).如果存在N0≥0，Ta＞0使得

成立，那么Ta被稱為平均駐留時間.為了方便，在文中取N0＝0.

為了得到本文的主要結(jié)果，需要引入如下引理.

引理1[19]給定具有適當維數(shù)的實矩陣R1、R2和未知矩陣Σ（t），且滿足ΣT（t）Σ（t）≤I，那么存在常數(shù)β＞0，使得下面的不等式成立：

2 主要結(jié)果

對于系統(tǒng)（1），設計如下積分滑模面：

其中G、Ki（i∈Ξ）是常數(shù)矩陣.選擇矩陣Ki使得Ai＋BKi是Hurwitz矩陣，設計G使得GB是非奇異矩陣.

系統(tǒng)（1）的解為

因此，有

當系統(tǒng)軌跡保持在滑模面上時有s·（t）＝0，因此得等效控制ue為

將上式代入系統(tǒng)（1），可以得到滑動模態(tài)方程為

定義2[18]在切換信號σ下，如果存在常數(shù)γ≥1和λ＞0，使得滑動模態(tài)方程（6）的解x（t）滿足下式：

注1 由式（2）知，所設計的積分滑模面依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，因此，從初始時刻開始，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡就保持在該滑模面上，即消除了切換過程中的滑模到達過程，從而改善了系統(tǒng)的暫態(tài)性能，提高了系統(tǒng)的魯棒性.

定理1 對于不確定切換時滯系統(tǒng)（1），設計積分滑模面（2），如果存在正常數(shù)η、ε1i、ε2i、ε3i以及正定矩陣P、Qi（i∈Ξ）使得下面的矩陣不等式成立：

選擇滑模函數(shù)G＝BTP，那么對于平均駐留時間滿足

證明 選擇Lyapunov函數(shù)

當t∈ [tk，tk＋1），第i個子系統(tǒng)運行，則Vi（t）沿著切換系統(tǒng)（6）狀態(tài)軌跡的導數(shù)為

根據(jù)引理1，可以得到

將式（13）～ （16）代入式（12），可得

由Schür補引理，Σi＜0等價于以下不等式：

由式（11）有

根據(jù)式（17），在切換區(qū)間t∈ [tk，tk＋1）上有

從而可得

根據(jù)式（8）、（11），在切換點tk處有

因此，由式（21）、（22）和k＝Nσ（t0，t）≤ （tt0）/Ta可以得到

結(jié)合式（19）、（23）有

證畢.

注2 由定理1知滑模函數(shù)G＝BTP，矩陣B、P是不依賴于切換信號的，所以，滑模面（2）的設計不依賴于切換信號，這樣就可以避免切換系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在多個滑模面之間反復跳躍而導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.

注3當μ＝1時，Ta＞T＊a＝（lnμ）/α＝0，這意味著切換系統(tǒng)（1）在任意切換信號下均是指數(shù)穩(wěn)定的，即對切換系統(tǒng)（1）所有子系統(tǒng)存在共同的Lyapunov函數(shù).

注4 本文的結(jié)論適用于時滯導數(shù)小于1的情形，對于時滯導數(shù)大于1的情況，采用自由權值矩陣方法也可得到比較好的結(jié)果.

注5 由定理1中的式（9）知，本文結(jié)果是時滯無關的，相對于時滯相關的結(jié)論，該結(jié)果具有一定的保守性，若在原來選取的Lyapunov函數(shù)的基礎上，再添加一項同時采用自由權值矩陣方法，則可以得到時滯相關的結(jié)果.

定理1給出穩(wěn)定滑模面存在的條件，即系統(tǒng)在滑模面上能夠穩(wěn)定運行（滑動模態(tài)穩(wěn)定）的條件.對于該滑模面，定理2將根據(jù)滑模面的可達性條件s（t）s·（t）＜0設計變結(jié)構控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡能夠從狀態(tài)空間中的任意一點到達并保持在該滑模面上.

定理2 對于不確定時滯切換系統(tǒng)（1），設計如下變結(jié)構控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)能夠從初始時刻就保持在滑模面（2）上：

其中γi，i∈Ξ，為正常數(shù).

證明 根據(jù)Razumikin定理[20]，對于系統(tǒng)（1）的任意解x（t＋θ），存在常數(shù)λ≥1使得下式成立：

選取Lyapunov函數(shù)如下：

對V（t）求關于時間t的導數(shù)

將式（25）代入上式可得

3 仿真示例

考慮不確定切換時滯系統(tǒng)（1），系統(tǒng)參數(shù)如下：

取初始狀態(tài)x（0）＝φ（0）＝（1.5 －2.0）T，時滯d（t）＝0.1sin（x1（t）），h＝0.1，τ＝0.1，

選取常數(shù)ε11＝0.011，ε21＝0.012，ε31＝0.011，ε12＝0.010，ε22＝0.010，ε32＝0.010，η＝0.8，μ＝1.15.

求解矩陣不等式（7）～ （9），可以得到

根據(jù)定理2，取常數(shù)γ1＝1.5，γ2＝1.0，可得變結(jié)構控制器為

圖1 切換信號Fig.1 The switching signal

圖2 切換系統(tǒng)（1）的狀態(tài)響應Fig.2 The state responses of switched system （1）

由圖2所示的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線可以看出，系統(tǒng)（1）在圖1所示切換信號的作用下是穩(wěn)定的.

4 結(jié) 語

本文研究了一類具有時變時滯、參數(shù)不確定性和非線性干擾的切換系統(tǒng)的積分滑?？刂茊栴}.基于平均駐留時間方法，設計了穩(wěn)定的積分滑模面，保證切換系統(tǒng)狀態(tài)保持在滑模面上時，對于滿足平均駐留時間條件的任意切換信號都是指數(shù)穩(wěn)定的.利用滑模到達條件，給出了子系統(tǒng)變結(jié)構控制器設計方案，保證系統(tǒng)狀態(tài)從初始時刻開始就保持在滑模面上，改善了切換系統(tǒng)的暫態(tài)性能，提高了系統(tǒng)的魯棒性.最后，利用一個仿真示例驗證了所提算法的有效性.

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