鋼板高頻感應(yīng)加熱過(guò)程電磁－熱耦合場(chǎng)分析

張 雪 彪， 楊 玉 龍， 劉 玉 君

（1.大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

船舶曲度外板成型傳統(tǒng)上采用以火焰為熱源的水火彎板工藝，這種熱源形式存在著加熱效率低、熱量不易控制及污染嚴(yán)重等缺陷.船體板高頻感應(yīng)加熱作為一種新方法，可以比較準(zhǔn)確地控制加熱范圍、熱源能量和溫度分布，過(guò)程再現(xiàn)性好并且清潔環(huán)保，使得船舶曲度外板成型技術(shù)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化成為可能.感應(yīng)加熱基本原理是利用線圈中的交變電流在工件中產(chǎn)生感應(yīng)渦流，通過(guò)渦流的焦耳熱效應(yīng)將工件加熱.船體板感應(yīng)加熱過(guò)程中影響因素多，操作技術(shù)難以掌握，急需理論指導(dǎo).

Yu等[1]建立了感應(yīng)器加熱功率的平面熱源模型，數(shù)值計(jì)算時(shí)直接加載該熱源模型，計(jì)算鋼板的溫度和變形，回避了感應(yīng)器在移動(dòng)加熱時(shí)的電磁－熱耦合過(guò)程.Bae等[2]計(jì)算了鋼板感應(yīng)加熱過(guò)程中的熱通量，從而簡(jiǎn)化了電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)的耦合過(guò)程.這些計(jì)算方法都以簡(jiǎn)化的熱源模型來(lái)替代復(fù)雜的電磁－熱耦合加熱過(guò)程，在數(shù)值計(jì)算時(shí)不能考慮感應(yīng)加熱時(shí)的集膚效應(yīng)特征.Shen等[3]研究了鋼板高頻感應(yīng)加熱過(guò)程中的溫度場(chǎng)分布規(guī)律，基于FEMLAB有限元軟件求解二維電磁－熱耦合模型，并分析了電流大小、線圈匝數(shù)、感應(yīng)器與鋼板間距等參數(shù)對(duì)加熱溫度的影響.Kranjc等[4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)合有限元方法，對(duì)比了圓柱形工件感應(yīng)加熱中是否考慮材料屬性非線性的不同結(jié)果，驗(yàn)證數(shù)值模擬中考慮材料屬性隨溫度變化的重要性.然而，他們的研究也沒(méi)有對(duì)鋼板電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)相互作用過(guò)程進(jìn)行分析.

本文研究鋼板的高頻感應(yīng)加熱成型，采用局部大尺度的靜止加熱方式，將焰道加熱到一定溫度，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的感應(yīng)器，使加熱過(guò)程中整條焰道受熱均勻；然后依次加熱各條焰道，直到加熱結(jié)束.本文基于多物理場(chǎng)有限元分析軟件COMSOL Multi－Physics（以下簡(jiǎn)稱(chēng) COMSOL）求解船體板靜止式高頻感應(yīng)加熱過(guò)程中的電磁－熱耦合模型，對(duì)鋼板內(nèi)電磁場(chǎng)與溫度場(chǎng)相互耦合的機(jī)理進(jìn)行研究，同時(shí)研究加載電流I、電流頻率f和感應(yīng)器與鋼板間距d對(duì)感應(yīng)加熱溫度的影響規(guī)律.

1 靜止式感應(yīng)加熱實(shí)驗(yàn)

圖1為鋼板感應(yīng)加熱實(shí)驗(yàn)示意圖，加熱線位于感應(yīng)器正下方，P1、P2為兩個(gè)溫度測(cè)量點(diǎn).鋼板感應(yīng)加熱時(shí)沿加熱線長(zhǎng)度方向上溫度分布變化不大；另外，感應(yīng)器裝有導(dǎo)磁體，能夠有效聚斂磁力線，計(jì)算時(shí)可以忽略感應(yīng)器的端部效應(yīng)[5].基于如下假設(shè)，對(duì)感應(yīng)加熱過(guò)程進(jìn)行二維數(shù)值分析：

（1）加熱線長(zhǎng)度方向（Z方向）上溫度均勻分布；

（2）忽略端部效應(yīng).

圖1 鋼板感應(yīng)加熱示意圖Fig.1 Schematic of steel plate induction heating

圖2是鋼板二維數(shù)值模型的幾何示意圖，在圖1中實(shí)驗(yàn)測(cè)溫點(diǎn)P2（20，20，－150）的溫度等效于圖2中點(diǎn)P2（20，20）的溫度，鋼板上表面有長(zhǎng)度為300mm的加熱線，位于感應(yīng)器的正中間，加熱時(shí)有一定的加熱寬 度.點(diǎn)P1（0，17）和點(diǎn)P2（20，20）是實(shí)驗(yàn)溫度測(cè)量點(diǎn).點(diǎn)Ptop（0，20）是鋼板上表面溫度計(jì)算點(diǎn)，點(diǎn)Pbot（0，0）位于鋼板底部，用于檢測(cè)鋼板背面的溫度，這兩點(diǎn)均作為數(shù)值計(jì)算點(diǎn).

圖2 二維數(shù)值分析示意圖Fig.2 Schematic of 2Dnumerical analysis

鋼板靜止式感應(yīng)加熱時(shí)，感應(yīng)器置于鋼板端部進(jìn)行單焰道加熱，如圖3所示，采用羅氏線圈測(cè)量感應(yīng)器里通過(guò)的高頻交流電的電流和頻率，圓形的羅氏線圈把感應(yīng)器中的高頻交流信號(hào)通過(guò)積分器輸入到TPS2012數(shù)字示波器，直接顯示其波形和參數(shù).其他的相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表1.實(shí)驗(yàn)時(shí)需要測(cè)量點(diǎn)P1和P2的溫度.采用美國(guó)Raytek公司生產(chǎn)的MR1S型手持式紅外測(cè)溫儀測(cè)量點(diǎn)P1的溫度，固定式紅外測(cè)溫儀記錄點(diǎn)P2溫度.紅外測(cè)溫儀的分辨率為1℃，量程范圍為300～1 400℃，測(cè)溫儀發(fā)射率參數(shù)為0.79.

圖3 靜止式感應(yīng)加熱實(shí)驗(yàn)Fig.3 Experiment of static induction heating

表1 鋼板靜止式感應(yīng)加熱參數(shù)Tab.1 Technical parameters of static induction heating for steel plate

2 感應(yīng)加熱有限元分析

2.1 數(shù)學(xué)模型

高頻感應(yīng)加熱的基本電磁場(chǎng)理論為麥克斯韋方程組，所有與焦耳熱相關(guān)的量，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，都可以用線圈的輸入電流I表示.

由畢奧 －薩伐爾定律知，磁矢勢(shì)

由高斯定律知，磁通量密度

由法拉第電磁感應(yīng)定律，電場(chǎng)強(qiáng)度E與磁場(chǎng)強(qiáng)度H關(guān)系為

由安培環(huán)路定律知，鋼板中的感應(yīng)電流密度

由上述公式經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算，可得A與J之間的關(guān)系：

最終可得感應(yīng)加熱過(guò)程中渦流產(chǎn)生的焦耳熱功率密度q（W/m3）：

式（1）～ （7）中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ為介質(zhì)磁導(dǎo)率，σ為介質(zhì)電導(dǎo)率，ε為介質(zhì)介電常數(shù).在本文的計(jì)算模型中，由于線圈的外部加載電流平行于Z方向，所得感應(yīng)電流密度分量Jx、Jy為零，總的感應(yīng)電流密度J等于其Z分量Jz，若方向與線圈加載電流方向相同則符號(hào)為正，反之為負(fù)，見(jiàn)式（8）；定義磁通密度模，表示磁通密度分量Bx、By、Bz的取模運(yùn)算，由于加載電流平行于Z方向，Bz為零，見(jiàn)式（9）；熱功率密度q為單位時(shí)間、鋼板單位體積內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱能.

將焦耳熱功率密度q作為熱源，可推導(dǎo)出感應(yīng)加熱的溫度場(chǎng)控制方程.加熱過(guò)程主要涉及鋼板內(nèi)部的熱傳導(dǎo)效應(yīng)和表面邊界上的對(duì)流、輻射效應(yīng).其中，熱傳導(dǎo)控制方程為

式中：ρ、cp、k分別為鋼板的密度、比熱容和熱傳導(dǎo)系數(shù)，均和溫度相關(guān).

圖4為鋼板感應(yīng)加熱的有限元幾何模型及邊界條件，模型的求解域包括鋼板、線圈、導(dǎo)磁體和空氣.在模型外圍的電磁邊界條件為磁絕緣，見(jiàn)式（11）；電磁場(chǎng)在其他內(nèi)部邊界上均有連續(xù)性，見(jiàn)式（12）.溫度場(chǎng)求解域只有鋼板部分，其邊界條件為式（13）.其中β為鋼板表面上的空冷換熱系數(shù)，它綜合考慮了對(duì)流換熱效應(yīng)與輻射換熱效應(yīng)，β值取自文獻(xiàn)[6]；Tamb為外部環(huán)境溫度，設(shè)定為293K.

圖4 幾何模型及邊界條件Fig.4 Geometric model and boundary condition

2.2 有限元分析

實(shí)驗(yàn)用鋼板為船用低碳鋼，加熱過(guò)程中鋼板密度變化很小，采用其室溫值7 820kg·m－3.表2為與溫度相關(guān)的鋼板材料屬性，包括電導(dǎo)率σ、相對(duì)磁導(dǎo)率μr、熱傳導(dǎo)系數(shù)k和比熱容cp，數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[7].計(jì)算時(shí)使用COMSOL軟件的電磁場(chǎng)模塊和傳熱模塊進(jìn)行求解，單元類(lèi)型均采用拉格朗日二次單元，進(jìn)行瞬態(tài)分析.

有限元模型采用矩形映射網(wǎng)格劃分，鋼板網(wǎng)格在上表面加熱線處最密，沿板寬和板厚方向遞減，鋼板集膚層內(nèi)劃分3～5層單元.感應(yīng)器與鋼板之間的空氣間隙劃分5層等間距網(wǎng)格.為獲得收斂性較好且計(jì)算時(shí)間較少的有限元網(wǎng)格，根據(jù)感應(yīng)器的網(wǎng)格尺寸，共有3種網(wǎng)格劃分方案，具體參數(shù)見(jiàn)表3，3種網(wǎng)格模型如圖5所示.按照表1中的鋼板感應(yīng)加熱實(shí)驗(yàn)參數(shù)，分別采用這3種有限元模型進(jìn)行計(jì)算，對(duì)網(wǎng)格劃分方案進(jìn)行收斂性分析.即以上表面Ptop點(diǎn)的溫度時(shí)間歷程曲線作為計(jì)算收斂標(biāo)準(zhǔn)，選取收斂性好、計(jì)算時(shí)間最短的網(wǎng)格.

在雙核主頻2.99GHz、2GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，表3列出了每個(gè)網(wǎng)格劃分方案的計(jì)算時(shí)間和加熱結(jié)束時(shí)點(diǎn)Ptop的溫度，其中網(wǎng)格模型（c）用時(shí)最少，點(diǎn)Ptop溫度差都在2℃以?xún)?nèi).圖6為點(diǎn)Ptop在3種網(wǎng)格模型下的溫度歷程曲線，均顯示出非常好的收斂性.綜上考慮，本文采用的有限元網(wǎng)格模型為（c）方案.

表2 與溫度相關(guān)的鋼板材料屬性Tab.2 Temperature－dependent material properties of steel plate

表3 有限元模型網(wǎng)格劃分方案Tab.3 Mesh division scheme of finite element model

圖5 感應(yīng)器和鋼板的局部網(wǎng)格Fig.5 Local mesh of the inductor and the steel plate

圖6 點(diǎn)Ptop的溫度歷程曲線Fig.6 Temperature curves of point Ptop

2.3 計(jì)算結(jié)果

2.3.1 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比 圖7（a）是點(diǎn)P1溫度隨時(shí)間變化的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的對(duì)比，在20s以前，由于測(cè)溫儀是高溫測(cè)溫儀，300℃以下的溫度超出測(cè)量范圍.在20～110s兩者變化關(guān)系一致，平均相對(duì)誤差為2.6%；110s時(shí)點(diǎn)P1的測(cè)量溫度為750℃，計(jì)算值為743℃.圖7（b）是點(diǎn)P2的計(jì)算溫度與測(cè)量溫度的對(duì)比圖，由于點(diǎn)P2遠(yuǎn)離加熱線而升溫較慢，110s時(shí)測(cè)量溫度為465℃，計(jì)算值為449℃，平均相對(duì)誤差為3.4%.可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能夠有效反映出感應(yīng)加熱過(guò)程中溫度場(chǎng)的分布情況.

2.3.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析 圖8為加熱110s后的鋼板溫度分布等值線圖，溫度分布等值線是關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)的，鋼板表面溫度的最高值出現(xiàn)在感應(yīng)器正下方，達(dá)到812.4℃，右側(cè)的等值線標(biāo)簽可以作為等值線溫度值的參考值.溫度沿板厚（－Y）及板寬X方向呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢(shì).沿X正方向，鋼板橫截面被分為3個(gè)區(qū)間：0～10mm為區(qū)間A，處于感應(yīng)器線圈的正下方；10～20mm為區(qū)間B，處于導(dǎo)磁體正下方；20mm以外的區(qū)域?yàn)閰^(qū)間C.

圖7 點(diǎn)P1和點(diǎn)P2溫度計(jì)算值與測(cè)量值對(duì)比Fig.7 Comparisons between calculation values and measurement data of temperature at points P1and P2

鋼板上表面節(jié)點(diǎn)的感應(yīng)電流密度Jz的幅值和熱功率密度q在不同時(shí)刻的分布情況分別顯示在圖9、10中.加熱線位置處（X＝0）的電流密度Jz的幅值和熱功率密度q在0s時(shí)為最大，到25s時(shí)，兩者的值都已降低一半或更多.隨著時(shí)間的增加，電流密度Jz的幅值和熱功率密度q的峰值降低，并且，峰值點(diǎn)的位置由0mm轉(zhuǎn)移到10mm附近，同時(shí)，在區(qū)間A、B、C的分界線處，曲線都發(fā)生轉(zhuǎn)折.另外，感應(yīng)電流密度Jz的幅值和熱功率密度q在20mm處接近零.由此可見(jiàn)，裝有高效導(dǎo)磁體的感應(yīng)器能使渦流集中分布在感應(yīng)器正下方；加裝導(dǎo)磁體后，感應(yīng)器的聚磁效果變得更顯著，從而使熱源集中，加熱效率提高.

圖8 鋼板加熱110s時(shí)的溫度分布等值線圖Fig.8 Temperature contour plot of steel plate at 110s

圖9 鋼板上表面節(jié)點(diǎn)的感應(yīng)電流密度JzFig.9 Induced current density Jzof nodes on the top surface of steel plate

圖10 鋼板上表面節(jié)點(diǎn)的熱功率密度qFig.10 Thermal power density q of nodes on the top surface of steel plate

鋼板厚度方向（X＝0）節(jié)點(diǎn)的感應(yīng)電流密度Jz在不同時(shí)刻的分布情況見(jiàn)圖11.在從第10s至110 s的加熱過(guò)程中，電流密度Jz的峰值不斷下降.在10、25s時(shí)，峰值點(diǎn)維持在上表面附近，鋼板感應(yīng)電流密度Jz由內(nèi)到外下降迅速，并且在18mm附近衰減為0；之后，峰值點(diǎn)向內(nèi)（－Y方向）迅速轉(zhuǎn)移，28s時(shí)，峰值點(diǎn)由上表面轉(zhuǎn)移到18.3mm的位置.在加熱結(jié)束之前，電流密度Jz的變化趨勢(shì)基本維持原狀，峰值點(diǎn)向內(nèi)偏移的速度顯著降低.

圖11 鋼板厚度方向（X＝0）節(jié)點(diǎn)的感應(yīng)電流密度JzFig.11 Induced current density Jzof nodes along thickness direction of steel plate（X＝0）

鋼板厚度方向（X＝0）節(jié)點(diǎn)的磁通密度模｜B｜在不同時(shí)刻的分布情況見(jiàn)圖12，圖中，磁通密度模的變化趨勢(shì)與感應(yīng)電流密度Jz的變化趨勢(shì)類(lèi)似.在28s時(shí)，峰值點(diǎn)從上表面轉(zhuǎn)移到18mm位置，同時(shí)，在鋼板上表面的下面大約1.5mm的厚度范圍內(nèi)出現(xiàn)失磁層.由此可知，渦流的集膚效應(yīng)在加熱開(kāi)始的時(shí)候很強(qiáng)，并且，隨著加熱時(shí)間的增加，渦流透入深度變得越來(lái)越大，渦流值則變得越來(lái)越小，在鋼板上表面出現(xiàn)失磁層.

圖12 鋼板厚度方向（X＝0）節(jié)點(diǎn)的磁通密度模｜B｜Fig.12 Magnetic flux density norm｜B｜of nodes along thickness direction of steel plate（X＝0）

點(diǎn)Ptop、Pbot、P2的溫度歷程曲線見(jiàn)圖13.根據(jù)點(diǎn)Ptop溫度的變化趨勢(shì)，感應(yīng)加熱過(guò)程被分為3個(gè)階段：0～25s、25～28s和28～110s.在階段一，結(jié)合圖9和11，渦流分布集中在加熱線附近，感應(yīng)電流密度Jz較大，因此點(diǎn)Ptop升溫很快，并在25s后達(dá)到700℃的高溫.在加熱過(guò)程中，點(diǎn)P2和點(diǎn)Pbot的感應(yīng)電流密度Jz趨近零.熱傳導(dǎo)是升溫的主要方式，并且兩點(diǎn)到加熱線距離相等，所以它們的溫升速度基本相同.在階段二，當(dāng)點(diǎn)Ptop溫度跨越居里點(diǎn)（768℃）時(shí)，相對(duì)磁導(dǎo)率μr下降為1，熱源區(qū)瞬間大量放熱，渦流透入層迅速增厚，點(diǎn)Ptop溫度由700℃迅速上升到822℃.因?yàn)辄c(diǎn)P2、Pbot遠(yuǎn)離熱源區(qū)，所以它們的溫度曲線沒(méi)有明顯變化.在階段三中，由于感應(yīng)電流密度Jz逐漸下降，阻礙點(diǎn)Ptop溫度上升，因此，此處只能維持溫度的動(dòng)態(tài)平衡.在熱傳導(dǎo)作用下，點(diǎn)P2、Pbot溫度持續(xù)上升，溫度上升速度顯著降低.

圖13 點(diǎn)Ptop、Pbot、P2 的溫度歷程曲線Fig.13 Temperature history curves of points Ptop，Pbot，P2

鋼板厚度方向上的溫度變化規(guī)律見(jiàn)圖14.從圖中可以看出，在25、28、110s時(shí)，上表面溫度都是最高值，上下表面的最大溫差出現(xiàn)在第28s，在110s時(shí)，溫度分布趨向平緩.

圖14 鋼板Y方向的溫度分布Fig.14 Temperature distribution along Ydirection of steel plate

3 鋼板感應(yīng)加熱參數(shù)分析

下面分析鋼板感應(yīng)加熱的主要工藝參數(shù)對(duì)于溫度的影響規(guī)律，這些參數(shù)主要是電流I、電流頻率f、感應(yīng)器與鋼板之間的空氣間隙d等.加熱時(shí)間均為110s，通過(guò)觀察點(diǎn)Ptop的溫度歷程曲線來(lái)分析參數(shù)的影響規(guī)律，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖15（a）、（b）、（c）.

圖15 I、f、d對(duì)點(diǎn)Ptop溫度歷程的影響Fig.15 Influence of I，f，d on the temperature history at point Ptop

圖15（a）是點(diǎn)Ptop溫度和感應(yīng)器電流的關(guān)系曲線，感應(yīng)器中加載的電流分別為660、760、860和960A，點(diǎn)Ptop達(dá)到最高溫度的時(shí)間分別為72、38、21和13s，即隨著電流的增加，點(diǎn)Ptop溫升速度越來(lái)越快.圖15（b）是點(diǎn)Ptop溫度和電流頻率的關(guān)系曲線，當(dāng)加熱頻率為13、15、20和30kHz，點(diǎn)Ptop達(dá)到最高溫度的時(shí)間分別為72、55、33和16 s，即隨著電流頻率的增大，點(diǎn)Ptop的加熱速度越來(lái)越快.圖15（c）顯示感應(yīng)器與鋼板之間空氣間隙d與點(diǎn)Ptop溫度的關(guān)系，當(dāng)空氣間隙分別為1、2、3、4mm時(shí)，點(diǎn)Ptop達(dá)到最高溫度的時(shí)間分別為26、47、72和104s；當(dāng)d增加到5mm，加熱結(jié)束時(shí)點(diǎn)Ptop溫度才達(dá)到630℃.即隨著空氣間隙的增大，點(diǎn)Ptop溫升速度越來(lái)越慢，這主要是由于空氣間隙增大后感應(yīng)器產(chǎn)生的磁力線有很多逸散掉了，感應(yīng)加熱效率勢(shì)必降低.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文的研究對(duì)象是局部大尺度的靜止式鋼板感應(yīng)加熱.開(kāi)發(fā)了二維電磁－熱耦合數(shù)值模型，溫度計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，并分析了鋼板感應(yīng)加熱過(guò)程中鋼板的電磁場(chǎng)分布規(guī)律和溫度場(chǎng)分布規(guī)律.感應(yīng)器加裝導(dǎo)磁體后使渦流產(chǎn)生的焦耳熱集中分布于感應(yīng)器正下方，提高了加熱效率.最后，研究了感應(yīng)加熱工藝參數(shù)對(duì)溫度的影響，即在其他加熱參數(shù)相同的情況下，感應(yīng)器加載電流I、電流頻率f越高，鋼板加熱速度越快；感應(yīng)器與鋼板間距d越大，鋼板加熱速度越慢.

本文主要研究鋼板厚度方向上的電磁場(chǎng)和溫度的變化規(guī)律，然而，鋼板感應(yīng)加熱過(guò)程終究是三維溫度和變形行為，需要在二維模型結(jié)果的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)三維有限元模型，這是下一步研究的課題.

[1] YU L， Morinobu I， Hidekazu M. Study of temperature field and inherent strain produced by high frequency induction heating on flat plate [J].Transactions of JWRI，2004，33（1）：59－63.

[2] Bae K，YANG Y，Hyun C，etal.Derivation of simplified formulas to predict deformations of plate in steel forming process with induction heating [J].International Journal of Machine Tools， 2008，48（15）：1646－1652.

[3] SHEN H，YAO Z Q，SHI Y J，etal.Study on temperature field induced in high frequency induction heating [J]. Acta Metallurgica Sinica （English Letters），2006，19（3）：190－196.

[4] Kranjc M，Zupanic A，Miklavcic D，etal.Numerical analysis and thermographic investigation of induction heating[J].International Journal of Heat and Mass Transfer，2010，53：3585－3591.

[5] 滕國(guó)杰.感應(yīng)加熱的端部效應(yīng)分析[J].電爐，1984（01）：14－18.TENG Guo－Jie.End effect analysis of induction heating process[J].Electric Furnace，1984（01）：14－18.（in Chinese）

[6] 王旭陽(yáng).鋼板感應(yīng)加熱及熱彈塑性變形的數(shù)值模擬研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2004.WANG Xu－yang. Numerical simulation of steel plate′s induction heating and thermal elasto－plastic deformation [D]. Dalian：Dalian University of Technology，2004.（in Chinese）

[7] 儲(chǔ)樂(lè)平，馬 駿，劉玉君，等.鋼板感應(yīng)加熱機(jī)理及電磁－熱耦合場(chǎng)的數(shù)值模擬[J].中國(guó)造船，2005，46（1）：98－105.CHU Le－ping，MA Jun，LIU Yu－jun，etal.The mechanism of induction heating for steel plate and numerical simulation of electromagnetic－thermal coupling field [J].Shipbuilding of China，2005，46（1）：98－105.（in Chinese）