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    含有極大值的二階差分方程的有界振動(dòng)性和非振動(dòng)性

    2012-05-15 09:05:11劉雪飛鐘曉珠許紅葉王寅琮
    關(guān)鍵詞:極大值有界二階

    劉雪飛, 鐘曉珠, 許紅葉, 王寅琮, 趙 芬

    (燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

    0 引言

    由于差分方程的廣泛應(yīng)用,對(duì)它的研究也隨之越來(lái)越多,特別是對(duì)差分方程解的振動(dòng)性的充要條件的研究有了較多的研究成果[1-3].文獻(xiàn)[4-6]對(duì)含有極大值的一階差分方程進(jìn)行了研究,但是對(duì)含有極大值的二階差分方程的研究卻很少.作者研究了含有極大值的二階差分方程

    (1)

    其中,[n-l,n]={n-l,n-l+1,…,n},l,k為正整數(shù),{qn},{rn}為非負(fù)實(shí)數(shù)列,{pn}為實(shí)數(shù)列.

    方程(1)的解{xn}如果既不最終為正,也不最終為負(fù),就稱為振動(dòng)的,否則,就稱為非振動(dòng)的.如果方程(1)的所有解都是振動(dòng)的,方程(1)就稱為振動(dòng)的.

    定義

    zn=xn-pnxn-k,

    (2)

    則由(1)可得

    (3)

    1 引理

    引理1(Ⅰ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的正有界解,則{zn}非減且zn>0;

    (Ⅱ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的負(fù)有界解,則{zn}非增且zn<0.

    證明(Ⅰ)因?yàn)閧xn}為(1)的正有界解,由(3)可得

    (4)

    所以{Δzn}為非增的.

    因?yàn)閦n=xn-pnxn-k,且{xn}為(1)的正有界解,pn≤-1,所以zn>0且{zn}有界.下面證明當(dāng)n≥n0時(shí),Δzn≤0.

    否則?n1,使得n1≥n0,當(dāng)n≥n1時(shí)有Δzn>0,由(4)可知Δzn≤Δzn1.從n1加到n-1,得zn-zn1≤(n-n1)Δzn1,當(dāng)n→時(shí),則zn→+與{zn}有界矛盾,所以Δzn≤0,則{Δzn}為非增的,(Ⅰ)得證.

    (Ⅱ)因?yàn)?2)成立,且{xn}為(1)的負(fù)有界解,pn≤-1 ,所以zn<0且{zn}有界.下面證明Δzn≥0.

    當(dāng)n≥n0時(shí),證明方法同(Ⅰ),當(dāng)n→時(shí),則zn→-與{zn}有界矛盾,所以 Δzn≥0,則{Δzn}為非減的,(Ⅱ)得證.

    引理2若

    (H1)

    成立,當(dāng)0≤pn≤1,{xn}為(1)的正解時(shí),則{zn}單增且zn>0.

    根據(jù)(4)可知

    (5)

    將(5)式從n0加到i,得

    (6)

    將(6)式從n0加到n-2,得

    由(H1)可知,當(dāng)n→時(shí),zn→-與{zn}有界矛盾,則zn>0.下面證{zn}單增.

    當(dāng)n≥n4時(shí),Δzn>0.否則?n5,使得n5≥n4,當(dāng)n≥n5時(shí),Δzn≤0,由(4)知,當(dāng)n≥n5時(shí),

    Δzn≤Δzn5

    ,

    (7)

    將(7)式從n5加到n-1,得

    zn-zn5≤(n-n5)Δzn5,

    當(dāng)n→時(shí),有zn→-,與zn為正矛盾,則Δzn>0,{zn}單增得證.

    2 定理

    因?yàn)閧xn}為(1)的正解, 且pn≤-1,則zn=xn-pnxn-k>0.由引理1知{zn}非增且zn>0.?T=

    例如:教師在給學(xué)生講解地理相關(guān)的地形地貌的時(shí)候,可以為學(xué)生搜集相關(guān)的圖像,讓學(xué)生能夠?qū)ξ覀儑?guó)家復(fù)雜的地貌有一個(gè)具體的了解,這樣學(xué)生就會(huì)在接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中更加的積極主動(dòng),能夠把自己的注意力集中到學(xué)生地理知識(shí)上來(lái),提高教師課堂的教學(xué)效果。

    (8)

    將(8)式從n0加到i,得

    (9)

    將(9)式從n0加到n-2,得

    由(H1)可知,當(dāng)n→時(shí),zn→-與zn=xn-pnxn-k>0產(chǎn)生矛盾,得證.

    證明假設(shè){xn}為方程(1)的最終正解,根據(jù)已知條件和引理2知,Δzn>0且zn>0.

    由(2)知xn≥zn,同理可得出xs≥zs,則根據(jù)(3)得

    (10)

    將(10)式從n加到n+k-l-2,且zn>0,有

    證明(ⅰ)首先證明zn<0.

    假設(shè)zn≥0,設(shè)xn為方程(1)的一個(gè)最終正解,根據(jù)(2)且pn≥1,則xn≥pnxn-k≥xn-k,所以{xn}有下界,?M>0,當(dāng)n≥n0時(shí),xn≥M.

    由(3)知

    (11)

    將(11)式從n0加到i-1,得

    (12)

    將(12)式從n0加到n-1,得

    因?yàn)?H1)成立,當(dāng)n→時(shí),有zn→-,與假設(shè)中zn≥0矛盾,則zn<0得證.

    (ⅱ) 再證Δzn<0.

    假設(shè)Δzn≥0,由(3)可知,Δzn是非增的,當(dāng)n≥n1時(shí),則Δzn1≥Δzn.從n1加到n得zn-zn1≤(n-n0+1)Δzn1,當(dāng)n→時(shí),則zn→+與(ⅰ)矛盾,(ⅱ)得證.

    (ⅲ)由zn=xn-pnxn-k<0知,xn=zn+pnxn-k>0,則有zn>-pnxn-k.

    由(ⅱ)和(3)得

    (13)

    將(13)式從n加到n+k-l-2,得

    由Δzn<0知

    同理,當(dāng)xn為方程(1)的一個(gè)最終負(fù)解時(shí),可得出矛盾,所以方程(1)的所有解振動(dòng).

    參考文獻(xiàn):

    [1] 李玉梅,王幼斌,范葉華.一階中立型差分方程的振動(dòng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,36(21):188-191.

    [2] 韓振來(lái),孫書(shū)榮,時(shí)寶.具有連續(xù)變量的多時(shí)滯二階非線性中立差分方程的振動(dòng)性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,22(2):293-297.

    [3] 唐清干,曾玲.高階中立型差分方程的振動(dòng)性及其非振動(dòng)解的漸近性態(tài)[J].數(shù)學(xué)雜志,2000,20(2):207-210.

    [4] 羅交晚,劉正榮,俞元洪.帶有極大值項(xiàng)的中立型差分方程的振動(dòng)性和非振動(dòng)性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,25(3):385-391.

    [5] 武冬.帶有極大值項(xiàng)的一階中立型差分方程解的振動(dòng)性和非振動(dòng)性[J].青島海洋大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,33(6):975-982.

    [6] 范彩霞,趙愛(ài)民,鄧嵩.帶有極大值項(xiàng)的中立型差分方程的振動(dòng)性[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,28(1):5-7.

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