關(guān)于二項式系數(shù)級數(shù)恒等式

及萬會, 黑寶驪

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關(guān)于二項式系數(shù)級數(shù)恒等式

及萬會, 黑寶驪

(銀川能源學院 基礎部, 寧夏 銀川, 750105)

根據(jù)一個已知級數(shù), 使用裂項方法得到分母含有1到5個因子的二項式系數(shù)級數(shù). 所給出二項式系數(shù)級數(shù)的和式是封閉形的, 并給出二項式系數(shù)數(shù)值級數(shù)恒等式. 裂項的方法研究二項式系數(shù)變換是組合分析的新手段, 也是產(chǎn)生新級數(shù)的一個初等方法.

二項式系數(shù); 裂項; 級數(shù); 封閉形; 恒等式

1 主要結(jié)論與證明

定理1 a. 分母含有1個因子的二項式系數(shù)級數(shù)恒等式.

b. 分母含有2個因子乘積的二項式系數(shù)級數(shù)恒等式.

c. 分母含有3個因子乘積的二項式系數(shù)級數(shù)恒等式.

d. 分母含有4個因子乘積的二項式系數(shù)級數(shù)恒等式.

e. 分母含有5個因子乘積的二項式系數(shù)級數(shù)恒等式.

證明 a. 對級數(shù)(1)式左端裂項:

整理得到(2)式.

即:

在(36)式中含有2個因子的分式10個, 3個因子的分式有10個, 4個因子的分式有5個, 5個因子的分式1個, 對(36)式實行下列運算得到分母含有1, 2, 3, 4個因子的組合數(shù)的恒等式.

(a) 將(36)式的所有含有因子的分式化成部分分式, 得:

(b) 對于(36)式, 首先保留2個因子的分式, 其他分式化成部分分式.其次對這些2個因子的分式, 每次保留1個, 其余化成部分分式, 得到:

(c) 對于(36)式, 首先保留3個因子的分式, 其他分式化成部分分式. 其次對這些3個因子的分式, 每次保留1個, 其余化成部分分式, 得到:

(d) 對于(36)式, 首先保留4個因子的分式, 其他分式化成部分分式. 其次對這些4個因子的分式, 依次保留1個, 其余化成部分分式, 得到:

(e) 對于(36)式, 首先保留5個因子的分式, 其他分式化成部分分式, 得到:

2 推論

3 數(shù)例

[1] Sury B, Wang T N, Zhao F Z. Some identities involving of binomial coefficients[J]. Journal of Integer Sequences, 2004, 7(2): 1-12.

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[7] 編寫組. 數(shù)學手冊[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979: 226

On one class series identities of binominal coefficients

JI Wan-hui, HEI Bao-li

(Department of Basic, Yinchuan Energy College, Yinchuan 750105, China)

Using one known series, several new series of binominal coefficients were gotten by splittingitems. These denominators of series contains different the multiplication of one to five factors and binominal coefficients, and some identities of series of numbers values of binominal coefficients were put forward. The method ofsplititems offered in this paper was a new combinatorial analysis way and a elementary method to construct new series.

binomial coefficients; split terms; series; form closed; identity

O 173

1672-6146(2012)04-0004-010

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.04.002

2012-09-24

銀川能源學院科研基金項目(2011-37-15)

及萬會(1942-), 男, 教授, 研究方向為數(shù)論. E-mail: jiwanhui2008@163.com

(責任編校: 劉曉霞)