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    6類圖完美匹配的數(shù)目*

    2012-05-09 08:12:00唐保祥
    關(guān)鍵詞:圖記多米諾易知

    唐保祥,任 韓

    (1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001;2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200062)

    本文所指的圖均是有限簡(jiǎn)單無(wú)向標(biāo)號(hào)圖(即頂點(diǎn)間是有區(qū)別的),未給出的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

    圖的完美匹配計(jì)數(shù)是匹配理論的一個(gè)重要方面,它既與組合論中棋盤(pán)的多米諾覆蓋問(wèn)題有關(guān),又與統(tǒng)計(jì)晶體物理中的dimmer問(wèn)題有關(guān)[2-3]。此問(wèn)題有很強(qiáng)的物理學(xué)和化學(xué)背景。目前,已有一些文獻(xiàn)對(duì)圖的完美匹配作了相關(guān)的研究,給出了一些圖完美匹配的計(jì)數(shù)方法[4-13]。遺憾的是,Valiant在1979年證明了,圖(即使是偶圖)的完美匹配計(jì)數(shù)是NP-難的問(wèn)題。因此,計(jì)算出一般圖的完美匹配數(shù)是困難的,特別是要得到顯式的計(jì)算公式是更加困難,只有對(duì)具有特殊結(jié)構(gòu)或形狀的部分圖,才可以給出其完美匹配數(shù)的顯式計(jì)算表達(dá)式。本文用劃分,求和,再遞推的方法給出了6類圖完美匹配數(shù)的顯式表達(dá)式,所給方法,適合于整體是“條形”的,相同結(jié)構(gòu)重復(fù)出現(xiàn)的很多圖類完美匹配數(shù)目的求解。

    1 基本概念

    定義1 若圖G的兩個(gè)完美匹配M1和M2中有一條邊不同,則稱M1和M2是G的兩個(gè)不同完美匹配。

    定義2 設(shè)G是2連通平面圖,其每個(gè)內(nèi)部面都是邊長(zhǎng)為1的單位正方形,所有的正方形構(gòu)成一個(gè)m×n的矩形,其中m和n是正整數(shù),則稱G為m×n的棋盤(pán)。本文將m×n的棋盤(pán)記為Qm×n。

    設(shè)Qm×n表示一個(gè)m×n的棋盤(pán),其中V(Qm×n)={uij|1≤i≤m+1,1≤j≤n+1},E(Qm×n)={uijukl|i=k且l=j+1,或j=l且k=i+1,1≤i,k≤m+1,1≤j,l≤n+1}。易知m×n的棋盤(pán)Qm×n有完美匹配的充要條件是m和n中至少有一個(gè)是奇數(shù)。

    2 結(jié)果及其證明

    定理1 設(shè)圖Gi(i=1,2,…,2n)是一個(gè)6面體,V(Gi)={vi1,ui1,ui2,ui3,vi2},E(Gi)={ui1ui2,ui2ui3,ui3ui1,vi1ui1,vi1ui2,vi1ui3,vi2ui1,vi2ui2,vi2ui3},分別連結(jié)Gj與Gj+1的兩個(gè)頂點(diǎn)uj1與uj+1,1,uj2與uj+1,3(j=1,2,…,2n-1)所得的圖記為2-2nV6,如圖1所示。σ(n)(n≥1)表示2-2nV6的所有不同的完美匹配數(shù),則σ(n)=8n。

    圖1 2-2nV6圖

    求|M1| 因?yàn)関11u11∈M1,所以必有u13v12,u12u23∈M1。此時(shí),若u21v22∈M1,必有v21u22∈M1,M1中這類完美匹配的數(shù)目是σ(n-1);若u21v22?M1,必有v22u22,v21u21∈M1,M1中這類完美匹配的數(shù)目也是σ(n-1)。因此,|M1|=2σ(n-1)。類似地可以求得|M2|=2σ(n-1)。

    求|M3| 因?yàn)関11u13∈M3,所以必有u11v12∈M3,或u12v12∈M3。

    情形1u11v12∈M3

    因?yàn)閡11v12∈M3,所以必有u12u23∈M3。此時(shí), 若u21v22∈M3,必有v21u22∈M3,M3中這類完美匹配的數(shù)目是σ(n-1);若u21v22?M3,必有v22u22,v21u21∈M3,M3中這類完美匹配的數(shù)目也是σ(n-1)。

    情形2u12v12∈M3

    因?yàn)閡12v12∈M3,所以必有u11u21∈M3。此時(shí), 若v21u22∈M3,必有u23v22∈M3,M3中這類完美匹配的數(shù)目是σ(n-1);若v21u22?M3,必有v21u23,v22u22∈M3,M3中這類完美匹配的數(shù)目也是σ(n-1)。由情形1和2知,|M3|=4σ(n-1)。

    綜上所述,圖2-2nV6的所有不同完美匹配的數(shù)目為σ(n)=8σ(n-1)。易知σ(1)=8,故σ(n)=8n。證畢。

    圖2 2-nZ3圖

    求|M1|

    情形1v13u13,v11u11,v12u12∈M1

    M1中這類的完美匹配數(shù)為τ(n-1)。

    情形2v13u13,v11v12,u11u12∈M1

    M1中這類的完美匹配數(shù)為τ(n-1)。

    情形3v13u13,v11v12,u11u21,u12u23,v21v23,v22u22∈M1

    M1中這類的完美匹配數(shù)為τ(n-2)。因此,|M1|=2τ(n-1)+τ(n-2)。

    求|M2| 因?yàn)関13v11∈M2,所以必有u13u11,v12u12∈M2。因此,|M2|=τ(n-1)。

    求|M3| 因?yàn)関13v12∈M3,所以必有u13u12,v11u11∈M3。因此,|M3|=τ(n-1)。

    綜上所述,

    τ(n)=4τ(n-1)+τ(n-2)

    (1)

    易知τ(1)=4,τ(2)=17。 解線性遞推式(1), 得

    證畢。

    定理3 設(shè)圖Bi(i=1,2,…,n)是一個(gè)正八面體V(Bi)={vi1,ui1,ui2,ui3,ui4,vi2},E(Bi)={vi1ui1,vi1ui2,vi1ui3,vi1ui4,ui1ui2,ui2ui3,ui3ui4,ui4ui1,vi2ui1,vi2ui2,vi2ui3,vi2ui4},分別連結(jié)Bj與Bj+1的兩個(gè)頂點(diǎn)uj1與uj+1,4,uj2與uj+1,3(j=1,2,…,n-1)所得的圖記為2-nV8,如圖3所示。φ(n)(n≥1)表示圖2-nV8的所有不同的完美匹配數(shù),則

    圖3 2-nV8圖

    φ(n)=8φ(n-1)+4φ(n-2)

    (2)

    易知φ(1)=8,φ(2)=68。解線性遞推式(2),得

    證畢。

    ··2n

    圖4 2-nZ4圖

    證明易知圖2-nZ4和圖G(如圖5所示)均有完美匹配。設(shè)圖G所有不同的完美匹配的數(shù)目為g(n)。

    圖5 G圖

    容易得到f(1)=9,f(2)=90,f(n)=9f(n-1)+3g(n-2),g(n)=3f(n)+2g(n-1)。所以

    (3)

    設(shè)圖2-nZ4的所有完美匹配的集合為M,則M中不存在僅含邊u12u21且不含邊u13u24的完美匹配,也不存在僅含邊u13u24且不含邊u12u21的完美匹配。由于f(1)=9,圖2-nZ4不含邊u12u21,u13u24的完美匹配數(shù)為9f(n-1);圖2-nZ4含邊u12u21,u13u24的完美匹配數(shù)為3g(n-2)。由(3)式,得

    ·2n-3g(1)

    (4)

    ·2n-3g(1)

    (5)

    從而

    3·2n-4g(1)

    (6)

    由(5)-2·(6)式,得

    f(n)=11f(n-1)-18f(n-2)

    (7)

    定理5 設(shè)圖Gi(i=1,2,…,2n)是一個(gè)6面體,V(Gi)={vi1,ui1,ui2,ui3,vi2},E(Gi)={ui1ui2,ui2ui3,ui3ui1,)vi1ui1,vi1ui2,vi1ui3,vi2ui1,vi2ui2,vi2ui3},分別連結(jié)Gj與Gj+1的兩個(gè)頂點(diǎn)vj2與vj+1,1(j=1,2,…,2n-1)所得的圖記為1-2nV6,如圖6所示。θ(n)(n≥1)表示圖1-2nV6的所有不同的完美匹配數(shù),則θ(n)=9n。

    圖6 1-2nV6圖

    證明容易得到θ(1)=9,θ(n)=9·θ(n-1)故θ(n)=9n。證畢。

    圖7 Q2×(2n-1)圖

    求|M1|

    情形(1)u11u12,u21u22,u13u23∈M1,且u21u31,u22u32,u23u33?M1,如圖8所示。由q(n)的定義知,M1中這類完美匹配恰有q(n-1)個(gè)。

    圖8 Q2×(2n-1)圖

    情形(2)u11u12,u13u23,u21u31,u22u32,u33u43,u41u42∈M1且u41u51,u42u52,u43u53?M1,如圖9所示。M1中這類完美匹配恰有q(n-2)個(gè)。

    ……

    情形(n-1)u11u12,u13u23,…,u2n-3,3u2n-2,3,u2n-2,1u2n-2,2∈M1,且u2n-2,1u2n-1,1,u2n-2,2u2n-1,2,u2n-2,3u2n-1,3?M1,如圖10所示。M1中這類完美匹配恰有q(1)個(gè)。

    求|M3| 如圖11所示,因?yàn)閡12u22∈M3,所以必有u11u21,u12u22,u13u23∈M3。因此,|M3|=q(n-1)。

    圖11 Q2×(2n-1)圖

    所以

    q(n)=|M|=2|M1|+|M3|=

    (8)

    由(8)式有

    (9)

    再由(8)-(9)式得

    q(n)=4q(n-1)-q(n-2)

    (10)

    其中n≥3,q(1)=3,q(2)=11。解線性遞推式(10),得

    ··

    證畢。

    由定理6,可以直接得到如下推論。

    推論1 對(duì)任意正整數(shù)n,用d(n)表示3×2n棋盤(pán)Q3×2n的1×2多米諾覆蓋數(shù)目。則

    ··

    證明因?yàn)?×2n棋盤(pán)Q3×2n的每一個(gè)1×2多米諾覆蓋,都唯一對(duì)應(yīng)2×(2n-1)棋盤(pán)Q2×(2n-1)的一個(gè)完美匹配;反過(guò)來(lái),對(duì)2×(2n-1)棋盤(pán)Q2×(2n-1)的任一個(gè)完美匹配,都唯一對(duì)應(yīng)3×2n棋盤(pán)Q3×2n的一個(gè)1×2多米諾覆蓋。所以3×2n棋盤(pán)Q3×2n的1×2多米諾覆蓋的集合與2×(2n-1)棋盤(pán)Q2×(2n-1)的完美匹配的集合之間是1-1對(duì)應(yīng)的。所以d(n)=q(n),故

    ··

    證畢。

    例1 2×5棋盤(pán)Q2×5的一個(gè)完美匹配與3×6棋盤(pán)Q3×6的一個(gè)1×2多米諾覆蓋之間的關(guān)系如圖12所示。

    圖12 Q2×5和Q3×6圖

    參考文獻(xiàn):

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