ATC與CO方法對比及其在衛(wèi)星設計問題中的應用

吳蓓蓓，黃 海，吳文瑞

（北京航空航天大學 宇航學院，北京100191）

0 引 言

解析目標分流（ATC）方法是密歇西根大學的Michelena等于1999年基于產品開發(fā)過程的提出的一種復雜系統(tǒng)設計方法［1］，主要用于汽車、飛機等設計領域［2－3］；協(xié)同優(yōu)化（CO）方法是斯坦福大學的Kroo等人于1994年針對航空系統(tǒng)學科間組織困難和通訊困難提出的一種兩級多學科設計優(yōu)化（MDO）方法［4］，在航天飛機、衛(wèi)星和星座系統(tǒng)中得到廣泛應用［5－6］。兩種方法既存在相似性也有不同之處，本文在兩種方法基本原理研究的基礎上重點對兩種方法的計算效率進行對比，已有研究中，密歇西根大學的Allison等人通過數(shù)學解析算例說明了兩種方法的不同點和互補性［7］，文獻 ［8］將兩種方法應用到飛機設計中，得到了相近的結果，但上述研究對兩種方法的計算效率無對比研究。同時，由于ATC方法在航天器MDO問題中的應用研究較少，本文將進一步將ATC方法的應用某衛(wèi)星設計問題，推進其在航天器設計領域的應用。

1 基本原理

本節(jié)介紹兩種方法的基本原理并討論二者的相似和區(qū)別，它們是ATC與CO方法對比研究的基礎。

1.1 ATC方法

ATC方法起初面向的是可分解為層級問題的產品設計，如圖1所示，設計指標自系統(tǒng)到子系統(tǒng)到部件不斷分流，同時各級響應由下而上不斷反饋，系統(tǒng)、子系統(tǒng)和部件級各單元問題分別獨立求解，上下級間交疊優(yōu)化直到滿足收斂條件優(yōu)化過程停止。以第i級第j個問題Pij為例，其優(yōu)化表達式如式（1）所示

式中：Xij＝［xij，yij，y（i＋1），R（i＋1），εR，εy］T——設 計 變 量，它包含局部設計變量xij，共享設計變量yij，子問題共享變量y（i＋1）和子問題響應矢量 R（i＋1），約束容差εR和εy。其中，y（i＋1）＝｛y（i＋1）k｝k，R（i＋1）＝｛R（i＋1）k｝k，y（i＋1）k，R（i＋1）k——問題Pij第k個子問題的共享變量和響應矢量，k＝1，2，…cij，cij——子問題數(shù)目；，——問題 Pij的Rij和yij參 數(shù) 在 父 代 復 制；，——問 題 Pij的和參數(shù)在子代的復制；gij，hij——不等式約束和等式約束。

原始ATC方法將容差εR和εy也作為設計變量，增加了優(yōu)化問題的維數(shù)，Michalek和Papalambros使用罰函數(shù)法［9－10］，將一致性約束直接放入優(yōu)化目標降低了優(yōu)化問題維數(shù)。2005年，Tosserams等人用廣義拉格朗日罰函數(shù)代替二次罰函數(shù)，并引入交替方向乘子法協(xié)調各級優(yōu)化問題，進一步提高了ATC方法的計算效率［11］，2010年Tosserams等人又發(fā)展了ATC方法的非層級表達式，使之適用于一般的復雜系統(tǒng)設計問題［12］。

圖1 ATC方法

1.2 CO方法

CO方法將復雜系統(tǒng)設計問題沿學科邊界進行分解，各學科在滿足本學科約束的情況下獨立獨立進行優(yōu)化，系統(tǒng)級通過一致性約束協(xié)調學科級問題之間的差異。按照標準CO方法，系統(tǒng)級優(yōu)化問題可以描述為

式中：F（z）——系統(tǒng)級目標函數(shù)，z——系統(tǒng)級設計變量，由學科間共享設計變量和耦合參數(shù)變量組成；——系統(tǒng)級約束，又稱為一致性約束，通過調用學科優(yōu)化得到，j∈1，2…n，n為學科數(shù)目。學科（子系統(tǒng)）級優(yōu)化問題可以描述為

式中：xj＝｛xij｝i——j學科共享設計變量，i＝1，2，…h(huán)′j；——j學科局部設計變量；yij——j學科輸出到其他學科的耦合參數(shù)，i＝＋1，＋2，…h(huán)j；zij——系統(tǒng)級分配到j學科的指標參數(shù)矢量，i＝1，2，…h(huán)j；cj——j學科約束。

CO方法由于系統(tǒng)一致性約束而存在一系列缺陷，比如系統(tǒng)級約束函數(shù)不光滑，系統(tǒng)級約束函數(shù)在最優(yōu)解處的雅可比矩陣奇異，學科級優(yōu)化問題拉格朗日乘子為0等問題。面對CO方法的缺陷，相關學者提出了一系列改進措施來改善上述問題，如約束松弛法、響應面法、罰函數(shù)法等［13］。

1.3 原理對比

表1列出了ATC與CO方法在起源、級數(shù)、分解標準、表達式、優(yōu)化過程、信息通訊、收斂性等方面的對比信息，可以看出ATC與CO方法雖然在問題的表達式方面相似，但是在起源、適用級數(shù)、分解標準，特別是優(yōu)化過程、通訊方式、收斂性等方面二者卻不同。在ATC方法中，上下級之間采用交替優(yōu)化的策略，子系統(tǒng)優(yōu)化后向系統(tǒng)級返回共享變量和響應參數(shù)，而CO方法中，學科優(yōu)化嵌套于系統(tǒng)優(yōu)化中，在系統(tǒng)級優(yōu)化每一步均要調用一次完整的學科級優(yōu)化，學科優(yōu)化后向系統(tǒng)返回一致性約束（即學科優(yōu)化目標）。

2 解析算例測試對比

該節(jié)使用ATC和CO方法分別求解兩解析算例，分別給出測試問題在兩種方法下的優(yōu)化表達式、協(xié)調策略優(yōu)化結果對比，重點對兩種方法的計算效率進行對比研究。算例一分解后子問題之間僅存在共享設計變量，算例二子問題之間除了包含共享變量外，還存在耦合參數(shù)［13］，兩者求解過程略有不同。

2.1 算例一

算例一如式（4）所示，該優(yōu)化問題精確最優(yōu)解為X＝［0.8，1.6］和f＝3.2000，為了進行算法測試可以將其看為如圖2所示的兩個子問題組成

表1 ATC和CO方法特性對比

圖2 算例一分解

2.1.1 問題表達式

（1）ATC方法

按照ATC方法，系統(tǒng)級優(yōu)化表達如式（5）所示，為了避免罰因子過大帶來的病態(tài)問題，采用廣義拉格朗日罰函數(shù)處理偏差項［11］

式中：Z1，Z2——系統(tǒng)級設計變量；π（c）——廣義拉格朗日罰函數(shù)，c——系統(tǒng)指標和子系統(tǒng)響應差，上標（1）和（2）分別代表子系統(tǒng)1和2的響應，v為拉格朗日乘子矢量，w為罰因子矢量。以子問題1為例的優(yōu)化表達式為

式中：π（c1）——子系統(tǒng)1的優(yōu)化目標，同樣采用拉格朗日函數(shù)形式，v1，w1——對應的拉格朗日乘子矢量和罰權重矢量。

（2）CO方法

按照CO方法，系統(tǒng)級優(yōu)化問題表達如式（5）所示，為了改善一致性約束帶來的缺陷，采用罰函數(shù)法處理一致性約束

式中：J1，J2——學科1和2的優(yōu)化目標，以子問題1為例的優(yōu)化表達式

式中：x1，x2——學科1設計變量；γ——罰參數(shù)；J1由系統(tǒng)目標和一致性約束組成。

2.1.2 協(xié)調策略

ATC方法的協(xié)調過程如圖3所示，拉格朗日乘子，罰權重初值和增長步長分別為0，1和2。CO框架如圖4所示，系統(tǒng)優(yōu)化內嵌學科優(yōu)化，罰參數(shù)取為1。

2.1.3 優(yōu)化結果

尋優(yōu)算法采用序列二次規(guī)劃（NLPQL）算法，系統(tǒng)和子系統(tǒng)（學科）問題均采用解析法計算敏度，收斂精度為1e－5，一致性約束要求不超過1e－4，選定5組初值分別進行計算，所需運算次數(shù)和結果誤差的平均值見表2。

從表2可以看出，ATC和CO計算精度相當；就系統(tǒng)級函數(shù)運算次數(shù)來說，ATC方法約是CO方法的3倍；就子系統(tǒng)函數(shù)運算次數(shù)來說（以子系統(tǒng)1為例），CO方法約是ATC方法的3倍；就系函數(shù)總運算次數(shù)說，CO方法約是ATC方法的1.6倍，表明采用ATC方法的計算效率高于CO方法。

表2 算例一優(yōu)化結果對比

2.2 算例二

算例二如式（9）所示，該問題全局最優(yōu)解為X＝［3.03，0，0］和f＝8.00286，將其看作如圖5所示的兩子問題組成，y1和y2為學科間耦合參數(shù)

圖5 算例二分解

算例二問題表達式、協(xié)調過程同算例一基本類似，。對于耦合參數(shù)，通過將其作為設計變量實現(xiàn)子問題之間的解耦。對于優(yōu)化過程，ATC方法求設置拉格朗日乘子，罰權重初值和增長步長分別為0，0.1和1.2；對于CO方法，通過求解序列罰參數(shù)下的系統(tǒng)級優(yōu)化問題來獲得滿足一致性約束的優(yōu)化結果，罰參數(shù)序列初值為1，增長因子為1.2。對于尋優(yōu)算法，同樣采用NLPQL法，但敏度計算通過有限差分法計算，并計入函數(shù)運算次數(shù)，同樣選取5組初值進行計算，所需運算次數(shù)和結果誤差的平均值如表3所示。

從兩種方法運算次數(shù)和結果精度的對比可以得出與算例一相似的結論。該例中CO方法結果精度略高，但CO方法函數(shù)總運算次數(shù)約是ATC方法的2倍，所以就計算效率而言，ATC方法相對CO方法有較大優(yōu)勢。

2.3 結 論

由以上兩個算例可以看出ATC方法通過減少子系統(tǒng)優(yōu)化和函數(shù)運算次數(shù)，使整個優(yōu)化過程的計算效率高于CO方法。對于大型分布分析式問題，可以按子系統(tǒng)邊界進行分解，采用ATC方法組織設計過程，減少子系統(tǒng)分析設計次數(shù)，提高設計效率。

表3 算例二優(yōu)化結果對比

3 衛(wèi)星設計問題應用

衛(wèi)星設計涉及有效載荷、軌道、電源、結構、控制、推進多個學科，是典型的復雜系統(tǒng)設計問題，本文將ATC方法應用到文獻 ［14］描述的對地觀測衛(wèi)星總體參數(shù)MDO問題中，檢驗該方法在航天器設計問題中的有效性。

3.1 問題描述

該問題以地面分辨率G和覆蓋帶寬φ的綜合指標最大化為優(yōu)化目標，考慮有效載荷、姿控、電源、結構和推進等5個子系統(tǒng)的設計變量和約束條件（具體見文獻 ［14］）。將原問題按照子系統(tǒng)邊界進行分解，形成一個系統(tǒng)級和五個子系統(tǒng)級優(yōu)化問題，按照ATC方法形成問題表達式，系統(tǒng)級問題可以描述為

式中；P（X）——系統(tǒng)優(yōu)化目標；X——系統(tǒng)級設計變量，h，hsa，Lsa，Lt——共享設計變量，其它為耦合參數(shù)變量，各符號含義如表4所示。π（c）——廣義拉格朗日罰函數(shù)，c——系統(tǒng)指標和子系統(tǒng)響應之間的偏差矢量，t1，t2，…，t5——系統(tǒng)分配到有效載荷、姿控、電源、結構和推進子系統(tǒng)的指標矢量，r1，r2，…，r5——子系統(tǒng)對應響應參數(shù)矢量。

以姿控子系統(tǒng)為例的子系統(tǒng)級優(yōu)化問題表達式為

式中：Hwheel——動量輪容量，為姿控子系統(tǒng)局部設計變量；Tc——飛輪控制力矩；TD——外界環(huán)境干擾力矩；aoc——軌控加速度；c2——姿控子系統(tǒng)指標響應偏差，t2和r2如式（12）所示

表4 符號含義

3.2 結 果

拉格朗日乘子和罰權初值以及罰權步長分別選取0和1以及1.3，各子系統(tǒng)一致性約束要求不超過10－6。經過12次循環(huán)，優(yōu)化過程停止，表5給出了采用ATC方法目標函數(shù)優(yōu)化結果，與文獻 ［14］結果一致。圖6和圖7分別給出了目標函數(shù)和子系統(tǒng)一致性約束的迭代曲線，隨著系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間的協(xié)調，目標函數(shù)得到優(yōu)化，同時一致性約束也逐漸滿足，表明ATC方法求解衛(wèi)星MDO問題是有效的。

表5 優(yōu)化結果對比

4 結束語

ATC和CO作為兩種基于分解思想的復雜系統(tǒng)設計方法，在計算表達式以及系統(tǒng)指標、一致性約束等關鍵術語方面存在相似性，但在上下級（系統(tǒng)和子系統(tǒng)）之間優(yōu)化策略、通訊方式和適用級數(shù)等方面存在不同。本文針對實際問題求解中兩種方法的計算效率問題，采用兩個解析算例進行測試求解，結果表明ATC方法相對CO方法可以大大減少子系統(tǒng)優(yōu)化分析次數(shù)，進而提供整個優(yōu)化過程的計算效率。最后通過ATC方法在衛(wèi)星設計問題中的求解得到正確的結果，表明ATC方法在航天器設計問題中應用的有效性。

［1］Michelena N，Kim H M，Papalambros P Y.A system partitioning and optimization approach to target cascading ［C］.Munich，Germany：12th International Conference on Engineering Design，1999：1－6.

［2］Kokkolaras M，Louca L，Delagrammatikas G，et al.Simulation－based optimal design of heavy trucks by model－based decomposition：An extensive analytical target cascading case study［J］.International Journal of Heavy Vehicle System，2004，11（3）：403－433.

［3］Allison J，Walsh D，Kokkolaras M，et al.Analytical target cascading in aircraft design ［R］.Reston，Va：American Institute of Aeronautics and Astronautics，2006.

［4］Kroo I，Altus S，Braun R，et al.Multidisciplinary optimization methods for aircraft preliminary design ［R］.Development and Application of the Collaborative Optimization Architecture in a Multidisciplinary Design Environment，1994.

［5］Yokoyama N，Suzuki S，Tsuchiya T.Multidisciplinary design optimization of space plane considering rigid body characteristics［J］Journal of Spacecraft and Rockets，2007，44（1）：121－131.

［6］WU Beibei，HUANG Hai，WU Wenrui.Multidisciplinary optimization of main parameters of spacecraft with sub－vehicles［J］.Acta Aeronautica et Astronautic Sinica，2011，32（4）：628－635.［吳蓓蓓，黃海，吳文瑞.帶子星航天器總體參數(shù)多學科設計優(yōu)化 ［J］.航空學報，2011，32（4）：628－635.］

［7］Allison J，Kokkolaras M，Zawislak M，et al.On the use of analytical target cascading and collaborative optimization for com－plex system ［C］.Rio de Janeiro，Brazil：6th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimizations，2005：1－10.

［8］Allison J，Roth B，Kokkolaras M，et al.Aircraft family design using decomposition－based methods ［R］.Reston，Va：American Institute of Aeronautics and Astronautics，2006.

［9］Michalek J J，Papalambros P Y.An efficient weighting update method to achieve acceptable consistency deviation in analytical target cascading ［J］.Transactions of the ASME，2005，127（5）：206－214.

［10］ Michalek J J，Papalambros P Y.Technical briefs weights norms and notation in analytical target cascading ［J］.Journal of Mechanical Design，2005，127（5）：499－501.

［11］Tosserams S，Etman L F P，Papalambros P Y，et al.An augmented lagrangian relaxation for analytical target cascading using the Alternation directions method of multipliers ［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2006，31（3）：176－189.

［12］Tosserams S，Kokkolaras M，Etman L F P，et al.A nonhierarchical formulation of analytical target cascading ［J］.Journal of Mechanical Design.2010，132（5）：1－13.

［13］Roth B D.Aircraft family design using enhanced collaborative optimization［D］.CA，U.S.：Stanford University，2008：21－23.

［14］TAN Chunlin，PANG Baojun，ZhANG Lingyan，et al.Multidisciplinary optimization in earth observation satellite main parameters［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2008，34（5）：529－532（in Chinese）. ［譚春林，龐寶君，張凌燕，等.對地觀測衛(wèi)星總體參數(shù)多學科優(yōu)化 ［J］.北京航空航天大學學報，2008，34（5）：529－532.］