對(duì)沖方法在可分離債券定價(jià)中的應(yīng)用

苗杰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

對(duì)沖方法在可分離債券定價(jià)中的應(yīng)用

苗杰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

假設(shè)在完備無(wú)套利的市場(chǎng)中，合理地建立投資組合，用對(duì)沖的方法研究可分離債券的定價(jià)，得到可分離債券價(jià)值所滿足的偏微分方程，并利用有限元差分法得到可分離債券價(jià)格的理論值，通過(guò)與實(shí)際值的比較說(shuō)明定價(jià)模型是可行的.

可分離債券;對(duì)沖;數(shù)值解;偏微分方程

可分離債券在《上市公司證券發(fā)行管理辦法》中,它的全稱叫做“認(rèn)股權(quán)和債券分離交易的可轉(zhuǎn)換公司債券”,它是指上市公司在發(fā)行公司債券的同時(shí)附有認(rèn)股權(quán)證,是公司債券加上認(rèn)股權(quán)證的組合產(chǎn)品,但同時(shí)具有債券和認(rèn)股權(quán)證可分離交易的特性.2006年11月29日,馬鋼股份公司發(fā)行了我國(guó)第一只可分離債券;2007年發(fā)行了6支可分離債券,規(guī)模達(dá)到188.8億,比2006年翻了2番;2008年1至5月,又有8家公司發(fā)行,融資規(guī)模為450.95億元;另外有兩家過(guò)會(huì),10家公司擬發(fā)行。若這些企業(yè)都能順利融資,那么募集金額將高達(dá)1千多億,比2006年翻了近13番;目前國(guó)內(nèi)有20只可分離債券,17只在上海證券交易所,3只在深圳證券交易所上市，還有26家上市公司發(fā)布了可分離債發(fā)行預(yù)案;因此毫不夸張地說(shuō),可分離債券成為時(shí)下“有實(shí)力”上市公司重要的再融資方式之一。因此，對(duì)于發(fā)行者和投資者來(lái)說(shuō)，最關(guān)心的是可分離債券的定價(jià)問(wèn)題。 Black and Scholes[1]得到了著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式;吳敬[2]對(duì)可分離債券和可轉(zhuǎn)換債券做了深入的分析,認(rèn)為可分離債券的價(jià)值是認(rèn)股權(quán)證和債券兩部分的價(jià)值之和;魯欣[3]用B-S期權(quán)定價(jià)加債券的方式得到了可分離債券的定價(jià)模型;李少華[4]用稀釋效應(yīng)的B-S模型對(duì)可分離債券進(jìn)行了定價(jià);朱丹[5]假設(shè)隨機(jī)利率服從Vasicek利率模型,利用鞅的方法得到了可分離債券的定價(jià)模型;苗杰[6-8]分別用二叉樹(shù)和鞅的方法得到了可分離債券的定價(jià)模型。本文用對(duì)沖的方法研究可分離債券的定價(jià)，得到了可分離債券價(jià)值所滿足的偏微分方程，并得到其數(shù)值解。

1 基本假設(shè)

其中 i(t)是公司債券的利率;其余的為股票，股票的價(jià)格滿足：

其中μ(t),σ(t)是股票的收益率和波動(dòng)率，W(t)是R上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).且假設(shè)

1)某上市公司在0時(shí)刻發(fā)行了一種可分離債券,且立即上市,一上市之后就自動(dòng)拆分為認(rèn)股權(quán)證和債券;

2)債券的票面金額為M元/張；到期時(shí)刻為T(mén)2;

3)每張可分離債券的最終認(rèn)購(gòu)人可以同時(shí)獲得派發(fā)的a份認(rèn)股權(quán)證,權(quán)證的存續(xù)期為自認(rèn)股權(quán)證上市之日起至T1;

4)持有人在權(quán)證到期才能行權(quán),行權(quán)比例為1∶b,行權(quán)價(jià)格為K元/張;

5)股票交易連續(xù)進(jìn)行(即任何時(shí)刻均可進(jìn)行),不存在交易費(fèi)用及交易稅;

6)債券利息按連續(xù)復(fù)利計(jì)算;

7)可分離債券無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn);

8)認(rèn)股權(quán)證對(duì)應(yīng)股票在有效期內(nèi)無(wú)紅利支付。

2 定價(jià)模型

3 可分離債券定價(jià)模型的數(shù)值解

我們?yōu)榱私庀铝衅⒎址匠痰臄?shù)值解∶

下面我們來(lái)看四個(gè)例子.

例一：中石化可分離債券于2008年2月20日發(fā)行，公司債券的最終票面利率為i=0.008，債券期限為T(mén)2=6年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率取發(fā)行時(shí)中國(guó)人 民銀行規(guī)定的一年期銀行定期存款利率，即：r=0.0414, P(0)=M=100認(rèn)股權(quán)證的存續(xù)期為T(mén)1=1,a=10.1,b=0.5,股票的敲定價(jià)格為K=19.68,計(jì)算日中石化股價(jià)S(0)=16.81，此外，通過(guò)統(tǒng)計(jì)中石化股價(jià)的歷史數(shù)據(jù)，采 用矩估計(jì)，可以估算出股價(jià)的波動(dòng)率σ=0.7183，(取上市交易前180個(gè)交易日數(shù)據(jù)),中石化可分離債券在0時(shí)刻的實(shí)際值V(0)=100。

例二：馬鋼可分離債券于2006年11月29日發(fā)行，公司債券的最終票面利率為i=0.014，債券期限為T(mén)2=5年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率取發(fā)行時(shí)中國(guó)人 民銀行規(guī)定的一年期銀行定期存款利率，即：r=0.0252, P(0)=M=100 認(rèn)股權(quán)證的存續(xù)期為T(mén)1=2,a=23,b=1,股票的敲定價(jià)格為 K=3.4,計(jì)算日馬鋼股價(jià)S(0)=2.9，此外，通過(guò)統(tǒng)計(jì)馬鋼股價(jià)的歷史數(shù)據(jù)，采 用矩估計(jì)，可以估算出股價(jià)的波動(dòng)率σ=0.6289，(取上市交易前180個(gè)交易日數(shù)據(jù)),馬鋼可分離債券在0時(shí)刻的實(shí)際值V(0)=100。

例三：云天化可分離債券于2007年1月29日發(fā)行，公司債券的最終票面利率為i=0.012，債券期限為T(mén)2=6年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率取發(fā)行時(shí)中國(guó)人 民銀行規(guī)定的一年期銀行定期存款利率，即：r=0.0249, P(0)=M=100 認(rèn)股權(quán)證的存續(xù)期為T(mén)1=2,a=5.4,b=1,股票的敲定價(jià)格為K=18.23,計(jì)算日馬鋼股價(jià)S(0)=22.62，此外，通過(guò)統(tǒng)計(jì)馬鋼股價(jià)的歷史數(shù)據(jù)，采 用矩估計(jì)，可以估算出股價(jià)的波動(dòng)率σ=0.4518，(取上市交易前180個(gè)交易日數(shù)據(jù)),馬鋼可分離債券在0時(shí)刻的實(shí)際值V(0)=100。

例四：武鋼可分離債券于2007年3月26日發(fā)行，公司債券的最終票面利率為i=0.012，債券期限為T(mén)2=5年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率取發(fā)行時(shí)中國(guó)人 民銀行規(guī)定的一年期銀行定期存款利率，即：r=0.049, P(0)=M=100認(rèn)股權(quán)證的存續(xù)期為為T(mén)1=2,a=9.7;b=1，股票的敲定價(jià)格為K=10.2,計(jì)算日武鋼股價(jià)S(0)=12.46，此外，通過(guò)統(tǒng)計(jì)武鋼股價(jià)的歷史數(shù)據(jù)，采 用矩估計(jì)，可以估算出股價(jià)的波動(dòng)率σ=0.5162，(取上市交易前180個(gè)交易日數(shù)據(jù)),馬鋼可分離債券在0時(shí)刻的實(shí)際值V(0)=100。

我們把上面四個(gè)例子中的數(shù)據(jù)分別代入上面格式中，用迭代法，得到可分離債券在0時(shí)刻的價(jià)值,如表所示。

n 25262728V1(0，P(0)，S(0)) V2(0，P(0)，S(0)) V3(0，P(0)，S(0)) V4(0，P(0)，S(0)) 103.5299 106.1873 108.2431 105.4812 103.4961 106.1752 108.2312 105.4643 103.4610 106.1614 108.2214 105.4378 103.4430 106.1568 108.2178 105.4126

4 誤差分析

下面我們主要來(lái)考慮可分離債券的相對(duì)誤差，先算出價(jià)格的平均值，然后求相對(duì)誤差，即

產(chǎn)生誤差的主要原因：

(1)采用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)σ;

(2)公司債券利息實(shí)際不是連續(xù)復(fù)利計(jì)算，且每年的利率不是固定的;

(3)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率不是固定的;

(4)股票有分紅;

(5)市場(chǎng)存在交易費(fèi)和交易稅;

(6)數(shù)值格式存在誤差O(Δt+Δh)。

5 結(jié)論

可分離債券在我國(guó)的發(fā)展迅猛，已經(jīng)成為時(shí)下有實(shí)力的上市公司重要的再融資工具之一。對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，最關(guān)心的是可分離債券的定價(jià)問(wèn)題，因此對(duì)它進(jìn)行合理的定價(jià)是非常重要的。本文用對(duì)沖的方法得到了可分離債券價(jià)格所滿足的偏微分方程，然后通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了可分離債券的理論價(jià)格，從文中可以看到理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的誤差很小，從而說(shuō)明定價(jià)模型是可行的。

［1］F.black M Scholes.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy 81(may-june 1973)637-54.

［2］吳敬.可分離轉(zhuǎn)換債券價(jià)值評(píng)估及風(fēng)險(xiǎn)分析［J］.金融監(jiān)管,2008,(6)：46-48.

［3］魯欣.我國(guó)分離交易可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)研究［D］.蘇州大學(xué),2008.

［4］李少華,杜鵬,董力強(qiáng).分離式可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型及實(shí)證分析［J］.商業(yè)經(jīng)濟(jì),2010,(10)：80-83.

［5］朱丹.隨機(jī)利率下可分離交易可轉(zhuǎn)換債券的鞅定價(jià)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,34(2)：265-271.

［6］苗杰,師恪,蔡華.跳擴(kuò)散模型下的可分離債券的定價(jià)［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2010,(8)：109-116.

［7］苗杰,蔡華.離散時(shí)間下的可分離債券的定價(jià)［J］.昌吉學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(3)：95-97.

［8］苗杰,師恪.連續(xù)時(shí)間下的可分離債券的定價(jià)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(15)：1-6.

∶F830.9;O211.63< class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼∶

∶A

1671-6469（2012）04-0086-05

2012-5-21

昌吉學(xué)院一般項(xiàng)目(2011YJYB003);昌吉學(xué)院研究群體基金項(xiàng)目(2011YJQT01)。

苗杰(1978-),女,昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，講師,研究方向：數(shù)理金融。