基于FFT的任意函數(shù)發(fā)生器設(shè)計

孫 健，孟 晨

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

0 引 言

任意波形發(fā)生器可以生成標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的如正弦、方波信號之外的任意波形。當(dāng)前，直接數(shù)字合成（DDS）的方法廣泛應(yīng)用于任意波形發(fā)生器的設(shè)計中，DDS是隨著DSP技術(shù)的高速發(fā)展而產(chǎn)生的，以采樣定理為基礎(chǔ)的全數(shù)字波形產(chǎn)生方法。該類發(fā)生器首先基于樣本信號生成離散的采樣波形數(shù)據(jù)并存儲在專用的存儲器中，然后通過頻率控制讀取存儲器中的離散波形值，最后經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換和濾波器濾波之后生成期望的模擬波形輸出。系統(tǒng)雙通道輸出是可以產(chǎn)生兩路基于存儲器件的同步信號。任意波形發(fā)生器生成的波形將存儲器中存儲的波形數(shù)據(jù)以首尾相接的形式在時域內(nèi)進行任意周期的延伸；因此，如果不能很好地調(diào)整初始波形數(shù)據(jù)，循環(huán)周期的波形數(shù)據(jù)可能在單個周期的連接點處存在不連續(xù)的現(xiàn)象。

本文擬通過反傅里葉變換的性質(zhì)來實現(xiàn)任意波形的產(chǎn)生方式。根據(jù)采樣定理，經(jīng)過IFFT變換輸出的時域波形總是周期性的并且是連續(xù)的，IFFT變換生成的非周期的任意波形通過窗函數(shù)抑制非連續(xù)信號，然后通過疊加重疊的窗函數(shù)時間序列來合并連續(xù)的信號也可以得到連續(xù)的波形。例如生成寬動態(tài)范圍的信號時需要對加窗時域部分有75%的復(fù)疊。該過程與傳統(tǒng)的利用FFT變換對時域信號進行頻域分析的過程是相逆的。圖1描述了該變換的頻域分析過程以及相對的時域合成過程。

反變換混疊的窗瓣合并技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用在了混合控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)通過時間信號來驅(qū)動從頻域范圍內(nèi)修正過的功率譜得到的一個混合對應(yīng)表。

1 窗函數(shù)設(shè)計

窗函數(shù)設(shè)計首先需要面臨的問題是窗函數(shù)的結(jié)構(gòu)要確保在合并過程中時域信號復(fù)現(xiàn)時不受雜波干擾。窗函數(shù)各瓣的混疊部分的合并求和理想情況是得到連續(xù)的包絡(luò)。該包絡(luò)可以被理解為直流輸入信號的復(fù)現(xiàn)，其經(jīng)過合并過程的分段，加窗和重新混疊形成。圖2描述了在合并過程中可能出現(xiàn)的扇形包絡(luò)。

圖1 任意時域連續(xù)混疊窗瓣信號的分析及合成

圖2 合并過程形成的扇形包絡(luò)曲線

可以將窗函數(shù)視為包含若干個離散余弦反傅里葉變換的時間序列。例如式（1）所形成的窗函數(shù)——海明窗，其為一個升余弦的窗函數(shù)，a0、a1為常量，通常兩個常量不相等，因此該窗函數(shù)有一個較小的不連續(xù)量存在。

有50%的窗瓣發(fā)生混疊的合并過程見式（2），其圖示見圖3。

如圖3所示，兩列波形分量的窗函數(shù)部分有100%的位移，而兩列波形分量的相對位移只有50%。其中兩列余弦曲線的50%相對位移即180°相位移動。由于該相位移動，兩列余弦分量相互疊加成零分量，而最后結(jié)果成為兩列常量的和2a0。如果在窗函數(shù)中包含另一諧波分量，例如三重的Blackman-harris窗，相同的時間延遲并不能改變該諧波分量的相位移動，因此最后的結(jié)果為直流分量2a0和諧波分量2a2。該諧波分量即為必須通過合適的窗函數(shù)來抑制合成過程中出現(xiàn)的的扇形包絡(luò)。該例子說明僅僅通過50%的窗函數(shù)混疊來得到預(yù)期變換是不夠的。

圖3 窗函數(shù)混疊加和處理過程

僅由單諧波組成的窗函數(shù)包括矩形窗、三角窗、Hann和Hamming名窗口。這些窗函數(shù)分別有-13，-26，-32和-44dB的旁瓣峰值。窗函數(shù)中主瓣寬度越寬旁瓣越明顯即包含多余的諧波分量，而這些諧波分量必須在合并的處理過程中消除。如果主瓣寬度增加使得旁瓣等級大約控制在較主瓣低100 dB以下，則主瓣包含一個直流分量和4個諧波分量。該諧波分量的分布意味著在合成過程中需要75%的重疊來抑制雜波。圖4為Kaiser-Bessl窗的時間和頻域內(nèi)響應(yīng)曲線，圖5為四重Blackman-harris窗其旁瓣衰減為90dB，也可以發(fā)現(xiàn)在合成過程中出現(xiàn)的扇形包絡(luò)。

圖4 Kasier窗合成曲線的時域與頻域分析

2 窗函數(shù)的應(yīng)用

在標(biāo)準(zhǔn)的波形分析中應(yīng)用窗函數(shù)在時域內(nèi)的相乘等價于頻域內(nèi)的卷積關(guān)系，如式（3）所示的連續(xù)時間序列和式（4）所示的采樣時間序列。

圖5 Blackman窗合成曲線的時域與頻域分析

當(dāng)時域內(nèi)采樣信號是正弦無限延伸的信號時，其頻率響應(yīng)在中心頻率θ=θ0為一脈沖響應(yīng)，如式（5）所示。

當(dāng)采用離散傅里葉變換獲得的結(jié)果是在采樣點.k·2π/N獲得的連續(xù)周期函數(shù)的采樣值。如式（7）所示。

下面對連續(xù)窗口間隔的時間遷移對變換樣本的影響進行研究，如式（8）所示。對s*N/4的時延進行了展開，從得到的結(jié)果中可以看出變換后的響應(yīng)曲線不僅與中心頻率密切相關(guān)，而且與窗函數(shù)的時間補償帶來的相位移動密切相關(guān)。式（8）使得窗時間序列的連續(xù)相位與每次變換歸零的DFT變換的離散相位得到了校準(zhǔn)。

式（8）將窗函數(shù)對頻域范圍的影響轉(zhuǎn)換至DFT變換的本中心，通過補償?shù)南辔恍D(zhuǎn)然后進行IDFT變換得到窗形式的時間序列。而如果其本中心恰好相當(dāng)于DFT變化，則只需將變換取DFT變換的系數(shù)使得關(guān)于期望中心頻率對稱，圖6為無窗和有窗時間序列的頻域和時域波形。在連續(xù)地轉(zhuǎn)換過程中窗的影響將會帶來如式（8）所示的π/2的整倍數(shù)的相位移動。

圖6 無窗和加窗時間序列的頻域和時域波形

當(dāng)選擇的中心頻率點不是整數(shù)的時候，在進行反變換合成之前需要進行調(diào)整。大多數(shù)情況下，k0點是包含小數(shù)部分的。例如頻率為0.1的256點DFT變換的正弦合成樣本的中心頻率相當(dāng)于0.1·fs，即為25.6。以此為例，可以將整數(shù)和小數(shù)部分分別視為25和0.6或者26和-0.4。其變換窗口額頻譜和DFT響應(yīng)位置如圖7所示。

圖7 基帶偏移-0.4與中心頻率轉(zhuǎn)換點為25.6的采樣窗

完成DFT變換的基帶窗的-0.4的位移系數(shù)的關(guān)鍵語句為：

% 窗函數(shù)調(diào)用

合成過程中通過相位偏移形成的時間序列準(zhǔn)確地匹配了通過窗變換得到的頻率為0.1的正弦時間序列曲線。圖8描述了通過反變換操作得到的該曲線的初始合成階段的時間序列和頻域特性曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)在合成過程中在時域內(nèi)其連續(xù)波形不存在間斷點，頻域內(nèi)衍生的雜頻相對于中心頻譜被衰減至100dB以下，得到了很好的抑制效果。

圖8 合成曲線的時域和頻域特性曲線

3 結(jié)束語

本文主要研究了通過結(jié)合傅里葉逆變換和窗函數(shù)來合成一種或多種任意頻率的復(fù)雜正弦曲線。頻域描述的正弦合成技術(shù)只能使得正弦曲線在每個間隔內(nèi)為若干個整數(shù)倍周期。非整數(shù)個周期使得時域范圍的曲線出現(xiàn)斷續(xù)，造成了頻域泄露至傅里葉變換的所有頻譜點。引入窗函數(shù)混合使得頻譜帶旋轉(zhuǎn)抑制了時間范圍內(nèi)斷續(xù)帶來的影響，可以產(chǎn)生任意頻率的正弦波形。

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