逆散射理論淺析

摘 要：反問題可以解決正問題無法解決的實際生活問題，它的研究是數(shù)學(xué)物理中一個較新的研究領(lǐng)域。逆散射問題是反問題中常見的，本文對逆散射問題的類型、分類、算法、應(yīng)用做了綜述。逆散射理論在界面奇性反演、大擾動深度成像等方面具有廣闊的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：反問題 逆散射問題 類型 算法 應(yīng)用

中圖分類號：P631.4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）10（a）-0211-01

在數(shù)學(xué)物理問題中，通常研究的是一些正問題，即根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程以及解所滿足的相應(yīng)初始邊值條件，求解滿足相應(yīng)條件的解。然而在實際生活中，我們通常遇到正問題無法解決的情況，在此提出反問題。所謂反問題是根據(jù)已知初始邊值條件和可觀測到場中的某些信息，來求解場源結(jié)構(gòu)性質(zhì)的數(shù)學(xué)物理問題，它是數(shù)學(xué)物理中一個較新的研究領(lǐng)域，在石油勘探、聲納和雷達等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。

反問題中常見的是逆散射問題，所謂逆散射問題，即通過散射體外部場的探測來估計其內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息。一般分為三種類型：（1）已知邊界條件時，重構(gòu)散射物的形狀；（2）已知重構(gòu)散射體的形狀，重構(gòu)邊界條件；（3）已知邊界條件和散射物形狀，重構(gòu)介質(zhì)系數(shù)。逆散射問題至今尚無很好的完整的物理和數(shù)學(xué)模型。

1 逆散射問題的分類

在逆散射問題中，從介質(zhì)性質(zhì)和反散射物性上分為：（1）障礙逆散射問題；（2）介質(zhì)逆散射問題。從信號源上又分為：（1）信號源為彈性波的逆散射問題，常見的彈性波為聲波；（2）信號源為電磁波的逆散射問題，通常重構(gòu)散射體內(nèi)部的機械結(jié)構(gòu)（彈性系數(shù)或者聲速等）或者電磁結(jié)構(gòu)（介電系數(shù)或者電導(dǎo)率等）。其中以聲波或電磁波為信號源的逆散射問題是我們常見的逆散射問題，這類逆問題通常已知入射波產(chǎn)生的散射場的近場數(shù)據(jù)或遠場數(shù)據(jù)，以及重構(gòu)散射體的邊界條件，來確定散射體性態(tài)。在工程上逆散射問題廣泛應(yīng)用于無損檢測，如地震波檢測以及地質(zhì)勘探，生命科學(xué)中的醫(yī)學(xué)成像等實際問題。

根據(jù)采用近場數(shù)據(jù)還是遠場數(shù)據(jù)進行逆散射重構(gòu)，逆散射問題可分為近場逆散射問題和遠場逆散射問題。遠場逆散射問題的解決方法有：1995年，Colton和Kirsch提出的線性抽樣方法，此方法解決了之前重構(gòu)方法計算量大，對重構(gòu)物體需要預(yù)知信息較多的局限性問題，被應(yīng)用到醫(yī)學(xué)方面進行對白血球探測，此外探針法，點源法等方法。近場逆散射問題的解決方法有：運用線性抽樣方法，通過混合互易遠離，找到遠場算子和近場算子之間的關(guān)系，利用近場數(shù)據(jù)重構(gòu)散射體。近場逆散射問題有很多研究成果，2005年，潘文峰等人利用近場數(shù)據(jù)確定了阻抗散射體的形狀；2008年董和平和馬富明等利用近場數(shù)據(jù)在半平面中重構(gòu)非均勻介質(zhì)散射體。在實際應(yīng)用中，近場數(shù)據(jù)比遠場數(shù)據(jù)更容易得到，所以近場逆散射問題應(yīng)用更廣泛。

2 逆散射理論的方法

逆散射問題是不適定問題，解也是不唯一的，故常對逆散射問題的原問題進行優(yōu)化處理或正則化處理之后解決。雖然Helmholtz方程或者Maxwell方程組是解決逆散射的常用方法，并且目前還有很多方法可以解決逆散射問題，但是逆散射問題所具有的不唯一和非線性特性使求解逆散射問題的難度遠遠高于正散射問題。近些年來，解決逆散射問題常用的算法有線性和非線性兩類。相對線性算法，非線性算法考慮到了多次的散射結(jié)果，可以得到比較精確的重構(gòu)物體的幾何和物理特性，但是由于計算機能力的限制，在處理大規(guī)模重構(gòu)物體的問題上，線性算法更加常用。針對不同條件的逆散射問題，又有很多不同的解決方法。

對于電磁逆散射問題，常用積分方程用點匹配法或向量法求解散射場，即通過Born迭代法來近似特定的散射體參數(shù)，從而達到近似重構(gòu)散射體的目的。然而在實際操作中，由于測量數(shù)據(jù)不全面，只能在特定的空間或者頻率中得到，再加上逆散射問題的不適定性，所以離散方程常常是病態(tài)的。求解這樣的病態(tài)方程，一般需要進行正則化，一般常見的正則化方法有Tikhonov方法、譜方法、迭代方法。在實際應(yīng)用中，常見的是Tikhonov方法，然而這種方法也是不穩(wěn)定的，通常和其共軛梯度法或小二乘法結(jié)合使用，來提高數(shù)據(jù)的擬合程度，其中Tikhonov方法與截斷完全最小二乘方法結(jié)合的正則方法可以解決不適定性較強的情況而通過與LU分解方法結(jié)合，則能在電磁逆散射問題中有效的提高散射體成像的分辨率。此外，在逆散射問題中，對逆散射物體的參數(shù)進行有效的估計，可以提高逆散射問題的精度和迭代速度。

3 逆散射理論的應(yīng)用

（1）逆散射理論應(yīng)用于深度成像?；谀嫔⑸淅碚摰某上窦夹g(shù)，考慮了逆散射序列中的高階項，可以實現(xiàn)橫向速度變換情況下的疊前深度成像。

（2）逆散射理論應(yīng)用于奇性反演。運用逆散序列法，可以進行界面奇性成像，在今后有很好的應(yīng)用前景。

4 結(jié)語

（1）聲學(xué)和電磁學(xué)的散射和逆散射理論是數(shù)學(xué)物理中的一個重要研究領(lǐng)域。

（2）逆散射理論在地球物理、生命科學(xué)、遙感技術(shù)以及材料科學(xué)等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。

（3）逆散射問題是用由散射波包含的信息來獲得介質(zhì)的一些性質(zhì)，如位置、形狀、內(nèi)部結(jié)構(gòu)等，分為障礙反散射問題和介質(zhì)反散射問題兩大類。

（4）到目前為止在逆散射理論研究過程中，利用遠場數(shù)據(jù)恢復(fù)散射體模型居多，利用近場數(shù)據(jù)研究逆散射問題的文章卻很少。

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