降落傘選擇的數(shù)學(xué)模型

摘#8195;要 本文建立了一個關(guān)于對降落傘選擇使得費(fèi)用最節(jié)省的模型。根據(jù)降落傘傘面的大小、材質(zhì)、所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，建立在空氣阻力作用下物體降落的模型，運(yùn)用最小二乘法擬合出阻力系數(shù)。利用高度與時間的關(guān)系式，計(jì)算出不同半徑的降落傘的最大載重量。

關(guān)鍵詞 空氣阻力系數(shù)；線性規(guī)劃；matlab

中圖分類號 V2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1673-9671-(2012)031-0204-01

數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)知識、實(shí)際問題與計(jì)算機(jī)應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來，旨在提高學(xué)生的綜合素質(zhì)與分析問題、解決問題的能力。對于現(xiàn)實(shí)中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語言（符號、式子與圖象）模擬現(xiàn)實(shí)的模型。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。

本文建立了一個關(guān)于對降落傘選擇使得費(fèi)用最節(jié)省，最優(yōu)化的模型。根據(jù)降落傘傘面的大小、材質(zhì)、所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，建立在空氣阻力作用下物體降落的物理模型，并對其進(jìn)行有效分析。運(yùn)用線性最小二乘法，擬合出空氣的阻力系數(shù)。利用高度h與時間t的關(guān)系式，計(jì)算出不同半徑的降落傘的最大載重量。

1 問題引出

為向?yàn)?zāi)區(qū)空投一批共2#8198;000 kg的救災(zāi)物資，需選購一些降落傘，空投高度為500 m，其落地時的速度不能超過20 m每秒，傘面為半徑為r的半球面，用每根長L共16根繩索連接的重物m位于球心正下方球面處，如圖：

每個降落傘的價格由三部分組成：傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定，繩索費(fèi)用由繩索總長度及單價4元每米決定，固定費(fèi)用為200元；降落傘在降落過程中除受到重力外，受到空氣的阻力，可認(rèn)為與降落的速度和傘的面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3 m，載重m=300 kg的降落傘以500 m高度作試驗(yàn)，測得各時刻t的高度x，試確定共需多少個傘，每個傘的半徑多大（在給定半徑的傘中選），在滿足空投要求的條件下，使總費(fèi)用最低。

我們要考慮降落傘傘面的大小、材質(zhì)，所懸掛重物的質(zhì)量與降落傘下落速度之間的關(guān)系，因?yàn)榻德鋫阆陆颠^程是一個物理模型，根據(jù)物理理論，系統(tǒng)在下降過程中做加速度減小的加速運(yùn)動，直到所受阻力等于自身重力時，加速度為零，速度達(dá)到最大。由已知，降落傘在降落過程中受到的空氣阻力與降落速度以及傘面積成正比，所以我們要先確定它們的比例系數(shù)k，在求k之前必須求出時間t與高度h的關(guān)系式。根據(jù)kvs=mg及20 m/s的最大速度求出不同半徑的降落傘的最大載重量m，最后通過Lingo軟件得出結(jié)果。

2 問題求解

降落傘在下降過程中受到的力符合牛頓定律，即am=mg-f，a=（mg-kvs）/m，加速度、速度、位移之間通過微積分知識可知：

，。且時間與高度之間的關(guān)系如表3。

根據(jù)物理公式可以得到高度h(t)的表達(dá)式：

，。

再根據(jù)表3數(shù)據(jù)，對阻力系數(shù)k利用非線性最小二乘法擬合求解。其中重力加速度g=9.8 m/s，m=300 kg，在matlab中運(yùn)行程序如下：

fun=inline('9.8*300*t)/(56.52*k)-(90000*9.8)/(k^2*56.56^2)*exp

(-56.52*t*k/300)-(90000*9.8)/(k^2*56.56^2)'，'k'，'t');t=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30];

y=[0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499];k=lsqcurvefit(fun，2，t，y)

運(yùn)行結(jié)果為k=2.9720

由如上分析，繼而根據(jù)表1可建立線性規(guī)劃模型如下：

min=x1*(65+16*1.414*2*4+200)+x2*(170+16*1.414*2.5*4+

200)+x3*(350+16*1.414*3*4+200)+x4*(660+16*1.414*3.5*4+200)+x5*(1000+16*1.414*4*4+200)；

x1*151+x2*236+x3*340+x4*463+x5*605>=2000;x1>=0;x2>=0;x3>=0; x4>=0;x5>=0；

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5)；

在Lingo運(yùn)行結(jié)果為：采用半徑為2 m的降落傘1個，半徑為2.5 m的降落傘2個，半徑為3 m的降落傘4個，這時2#8198;000 kg物資能被完全投放，而且使得總費(fèi)用最低為4#8198;924.7元。

3 結(jié)論

由上述結(jié)論可以看出，一個實(shí)際問題在經(jīng)過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析之后，可以在操作之前經(jīng)過簡單的運(yùn)算就進(jìn)行很好的預(yù)測，這樣可以節(jié)省大量的人力物力，并且杜絕浪費(fèi)行為，利用最少的條件得到最好的結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)模型的作用與魅力，希望本文方法與結(jié)果可以為讀者提供幫助。

參考文獻(xiàn)

[1]么煥民，孫秀梅，等.數(shù)學(xué)建模[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.

[2]楊振華，酈志新.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社，2010.

作者簡介

劉競（1978—），男（漢族），河北保定人，北京科技大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系教師，講師，研究方向：漸近分析。