用中考的眼光審視相似三角形的教學(xué)

相似三角形是初中幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，學(xué)好相似三角形不僅能使我們對(duì)圖形相似有更深刻的認(rèn)識(shí)，也能使我們以前學(xué)過的全等三角形的知識(shí)得以鞏固和提高.正是由于相似三角形具有很強(qiáng)的綜合性，在各種考試中，常常以圖形的相似，尤其是相似三角形的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查．

一、中考命題趨勢(shì)

相似三角形在近年來各省、市的中考試題中所占的比例較高，主要考查三角形相似，線段的倍分，及等積式、等比式，求線段的比、面積的比等．其中求線段的比、面積的比，常以選擇題、填空題的題型出現(xiàn)；論證線段的倍分、等積式、等比式，常以證明和說理題型出現(xiàn)；以相似圖形為背景，探究函數(shù)解析式及其函數(shù)最值等問題，常以解答題的形式出現(xiàn)，這種題型知識(shí)性、綜合性強(qiáng)，方法靈活，常以此來構(gòu)筑中考?jí)狠S題．

二、中考復(fù)習(xí)建議

1.注重基礎(chǔ)知識(shí)．本部分的重點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用相關(guān)定義和定理進(jìn)行證明是本部分知識(shí)的難點(diǎn)．復(fù)習(xí)時(shí)教師要注意引導(dǎo)學(xué)生分析證明思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生克服難點(diǎn)．

2.注意聯(lián)系實(shí)際．相似是生活中常見的現(xiàn)象，在復(fù)習(xí)中，要通過復(fù)習(xí)相似的相關(guān)知識(shí)，從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．

3.重視知識(shí)間的聯(lián)系．在中考綜合題中，經(jīng)常涉及有關(guān)相似的內(nèi)容，所以在復(fù)習(xí)中，要注意把相似與圓、函數(shù)等內(nèi)容聯(lián)系起來．

4.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透．本部分主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法有類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等，復(fù)習(xí)時(shí)要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透．

5.把握好復(fù)習(xí)難度．復(fù)習(xí)時(shí)不要過分追求難題的訓(xùn)練，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，根據(jù)學(xué)生掌握知識(shí)的實(shí)際情況，由易到難，循序漸進(jìn)．

三、中考考點(diǎn)透視

考點(diǎn)1：考查三角形相似

如下圖，先把一矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE. 過B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ．

（1）求證：△PBE∽△QAB；

（2）你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如果不相似，請(qǐng)說明理由；

（3）如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？為什么？

分析：（1）利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以證明△PBE∽△QAB；（2）△PBE和△BAE中，有一對(duì)相等的角即∠ABE＝∠BPE＝90°，只要再證得兩個(gè)三角形夾相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．

證明：（1）∠PBE+∠ABQ＝180°-90°=90°，

∵∠PBE+∠PEB=90°，∴∠ABQ=∠PEB．

又∵∠BPE=∠AQB=90°，∴△PBE∽△QAB．

（2）△PBE和△BAE相似．

由（1）知△PBE∽△QAB，∴=，

∵BQ＝PB，∴=.

∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE．

（3）如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A能疊在直線EC上．

由（2）得∠AEB＝∠CEB，又AB⊥BE，

∴EC和AE能重合，從而點(diǎn)A能疊在直線EC上．

解析：與相似三角形有關(guān)的問題，要善于尋找、發(fā)現(xiàn)相等的角．得出兩角相等的有效途徑主要有：公共角相等、對(duì)頂角相等、同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等、高線（或垂直）有直角相等．另外，應(yīng)用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”來判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，所需要的對(duì)應(yīng)邊之間的比例式，往往通過證明另兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到．

考點(diǎn)2：考查相似三角形的判定與性質(zhì)

例2：（1）如下圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的長(zhǎng)．

分析：由于AB是⊙O的直徑，∠ACB的平分線交AB于E，所以連接BD后，可知△ABD為等腰直角三角形，從而可求出BD的長(zhǎng)．由問題可知，圖形中的所有線段均可求長(zhǎng)，由于CD是∠ACB的平分線，所以可通作輔助線構(gòu)造相似三角形求得AE或BE的長(zhǎng)，再利用△DAE∽△DCA或△ACD∽△ECB，或△ADE∽△CBE均可求得CD的長(zhǎng)．

解：∵ AB是直徑，∴ ∠ACB = 90°．

在Rt△ABC中，BC == =8（cm）．

∵ CD平分∠ACB， ∴ ∴AD = BD．

于是在Rt△ABD中，

得 AD = BD =AB = 5（cm）．

如下圖，過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F(xiàn)、G是垂足，

則四邊形CFEG是正方形．

設(shè)EF = CF = x，

由EF∥BC，可得△AEF∽△ACB，∴==，

∴=，解得x =， ∴AE＝＝.

由 ，∴∠DAE＝∠DCA，又∠D＝∠D，

∴△DAE∽△DCA，

∴ = ，解得 CD = 7（cm）．

（2）如下頁(yè)上圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點(diǎn)，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，則下列結(jié)論中正確的有（ ）.

A. ∠ADE=∠CDE B. DE⊥EC

C. AD·BC=BE·DE D. CD=AD+BC

解析：由ED平分∠ADC可知∠ADE＝∠CDE，故A正確；由AD∥BC得∠ADC＋∠BCD＝180°，又∵∠EDC＝·∠ADC，∠ECD＝∠BCD，∴∠EDC＋∠ECD＝90°，∴DE⊥EC，故B正確；易證△ADE∽△BEC，∴AD∶BE＝DE∶EC，∴AD·EC＝BE·DE，故C不正確；延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△ADE≌△BFE，得AD＝BF，∴CD＝CF＝BC＋BF＝AD＋BC，故D正確．因此，本題應(yīng)選A、B、D．

解析：本題是一道多選題，是近年來在中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的一種新題型．本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，有平行線的性質(zhì)，角平分線定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，能否熟練應(yīng)用這些定理是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3：考查相似三角形在位似圖形中的應(yīng)用

例3：如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△OAB的一個(gè)位似圖形，使兩個(gè)圖形以O(shè)為位似中心，且所畫圖形與△OAB的位似比為________．

分析：位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. 本題可根據(jù)位似圖形及相似三角形的知識(shí)求解，應(yīng)注意所畫三角形的頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上．

解：如圖，△OA′B′即為△OAB的位似圖形，位似比為2∶1．

解析：本題考查了位似圖形的概念以及基本作圖。解答時(shí)要注意審題，頂點(diǎn)要畫在格點(diǎn)上．需要提醒的是在進(jìn)行位似變換時(shí)，要注意分兩種情況解答：一種是位似圖形有位似中心同側(cè)，另一種是位似圖形在位似中心的異側(cè)．本題之所以畫△OAB的位似圖形時(shí)只畫一個(gè)，是因?yàn)橥瑐?cè)的位似圖形，頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上，不合題意，故沒有畫出．

考點(diǎn)4：考查相似三角形中的條件探究型問題

例4：如下圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，直角尺的直角頂點(diǎn)P落在AD上（點(diǎn)P與A、D不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠CPD＝30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的倍整數(shù)？若存在，求出DP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析：（1）當(dāng)∠CPD＝30°時(shí)，可算出PD、PC的長(zhǎng)，后可得AP的長(zhǎng)，在Rt△APE中可利用三角函數(shù)或相似求出AE的長(zhǎng)；（2）屬于一個(gè)條件探究性問題，可先將結(jié)論作為條件來探索，如能得到合理的結(jié)論，則說明存在，反之則不存在．

解：（1）在Rt△PCD中，

由tan∠CPD＝得PD＝＝4，

∴AP＝AD－PD＝10-4．

易證Rt△AEP∽R(shí)t△DPC，可知=，

所以AE==10-12．

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP＝x，則AP＝10-x，由Rt△AEP∽R(shí)t△DPC知=2，所以=2，解得x＝8，此時(shí)AP＝2，AE＝4，符合題意．