函數(shù)圖像的平移與對稱求解策略

圖形的變換是“課程標準”中新增加的內(nèi)容，在各地的中考中頻繁出現(xiàn)，尤其是近幾年，圖形變換常與平面直角坐標系中的坐標相結(jié)合，讓很多學生感到無從下手.這類題背景新穎、形式多變，從注重考查學生的數(shù)形結(jié)合，到直接運用變換操作的計算題，發(fā)展到基于變換操作的綜合探究題，甚至是壓軸題.考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力、數(shù)形結(jié)合能力和分析、綜合解決實際問題的能力都提出了比以往更高的要求. 其實，我們只要把握平面直角坐標系中點的坐標變換的本質(zhì)特征，借助數(shù)形結(jié)合及相關(guān)的變換的數(shù)學思想及方法，便能發(fā)現(xiàn)許多意想不到的解題思路與方法，做到胸有成竹，有的放矢.

一、平面直角坐標系內(nèi)點的變換本質(zhì)特征及規(guī)律

對于平面直角坐標系內(nèi)點（x，y）的平移只能是沿x軸方向左右平移或沿y軸方向上下平移.

1. 點的平移規(guī)律：

★當點P（x，y）沿x軸方向左右平移到A時，只能給x帶來變化，即A；其中右移h為正，左移h為負；

★當點P（x，y）沿y軸方向上下平移到B時，只能給y帶來變化，即B（x，y+k）；其中上移k為正，下移k為負.

點的對稱規(guī)律：

★當點P（x，y）關(guān)于x軸對稱到點A時，只能給y帶來變化，變?yōu)閥的相反數(shù)，即A（x，-y）；

★當點P（x，y）關(guān)于y軸對稱到點B時，只能給x帶來變化，變?yōu)閤的相反數(shù)，即B（-x，y）；

★當點P （x，y）關(guān)于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變?yōu)閤、y的相反數(shù)，即C （-x，-y）.

以上變換規(guī)律不但適用于點的變換，而且對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)圖像的變換均成立與適用.

2.函數(shù)圖像的平移規(guī)律：

★ 當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿x軸方向左右平移時，只能給自變量x帶來變化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h為正，左移h為負；

★ 當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿y軸方向上下平移時，只能給函數(shù)y帶來變化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m為正，下移m為負.

函數(shù)圖像的對稱規(guī)律：

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于x軸對稱時，函數(shù)y變?yōu)閥的相反數(shù)，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于y軸對稱時，自變量變?yōu)閤的相反數(shù)，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變?yōu)閤、y的相反數(shù)，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐標系內(nèi)點、函數(shù)圖像的變換技巧與拓展應用

例1：閱讀下面的材料：

在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數(shù)的圖像所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函數(shù)y=k1x+b1（k1≠0）的圖像為直線l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k2≠0）的圖像為直線l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行.

解答下面的問題：

（1）求過點P（1，4）且與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數(shù)表達式，并畫出直線l的圖像；

（2）設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，如果直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行且交x軸于點C，求出△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式.

思路點撥：在（1）中，要求出與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數(shù)表達式，關(guān)鍵在于弄清直線的平移情況.因已知直線平移后經(jīng)過點P（1，4），不防設一個點M（1，a），通過代入求出a的值，進而確定出平移的方向和單位長；在（2）中，因直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行，可知k=-2，進而用有關(guān)t的代數(shù)式表示出C點的坐標，此時要分類討論點C的位置，要分兩種情況借助面積公式求解出有關(guān)面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式.

解析：（1）點M（1，a）是已知直線y=-2x-1上的一點，將x=1代入已知直線得a=-2×1-1=-3，則M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y軸向上平移7個單位，即y=-2x-1+7，化簡得直線l的函數(shù)解析式為y=-2x+6；

（2） ∵直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，∴點A、B的坐標分別為（0，6）、（3，0）.

∵l∥m，∴直線m為y=-2x+t.∴C點的坐標為（，0）.

∵ t＞0，∴＞0 .

∴C點在x軸的正半軸上.

當C點在B點的左側(cè)時，S=×（3-）×6=9-；

當C點在B點的右側(cè)時，S=×（-3）×6=-9 .

∴△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式為：

S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.

評注：平移法則是：當函數(shù)的圖像向上或向下平移時，原函數(shù)的函數(shù)值y變?yōu)閥+k，其中上移k為正數(shù)，下移k為負數(shù)，而自變量不變.

例2：如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上．

（1）求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

思路點撥：在（1）中，使AQ+QB最短，必須滿足兩點之間線段最短，即作出B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，進而可知線段AP的距離最短，再求出直線AP與x軸的交點從而得到Q點的坐標；在（2）中，拋物線在平移過程中A、B兩點的位置、數(shù)量大小關(guān)系并沒有改變，改變的僅是它們的坐標，要使距離仍然最短，只是將點Q向左平移到點C，從而得到拋物線左移的距離，運用平移規(guī)律求解拋物線的解析式，使四邊形A′B′CD的周長最短，要進行分類考慮左移與右移.

解析：（1） 將點A（-4，8）的坐標代入y=ax2，解得，將點B（2，n）的坐標代入，求得點B的坐標為（2，2），則點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標為（2，-2）．

直線AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求點Q的坐標是（，0）.

（2）①拋物線上A、B兩點的位置已確定，要使A′C+CB′ 最短，也就是讓點Q沿x軸向左平移到點C，其中CQ=|-2-|=，即將拋物線y=x2向左平移個單位時，A′C+CB′最短.

此時拋物線的函數(shù)解析式為y=[x-（-）]2，即y=·（x+）2．

②左右平移拋物線y=x2，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短.

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．

第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．點A′關(guān)于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-b，-8），直線A′′B′′的解析式為y=x+·b+2，要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，將點D（-4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b=．故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.

評注：平移法則是：當函數(shù)的圖像向左或向右平移時，原函數(shù)函數(shù)解析式中的自變量x變?yōu)閤-h，其中右移h為正數(shù)，左移h為負數(shù)，而函數(shù)值不變.

例3：如下頁圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求P點坐標及a的值；

（2）如圖（1）：

a.若將拋物線C1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，試寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式；

b.拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，求C3的解析式；

（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4. 拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

思路點撥：將點B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，拋物線C1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，則說明變量x、y都變?yōu)橄喾磾?shù)；當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，要求出C3的解析式關(guān)鍵是求出頂點M點的坐標，而B點坐標為（1，0），利用對稱性及通過添加適當?shù)妮o助線、全等知識等可得頂點M（4，5），且拋物線C3開口向下，運用頂點式便可求出C3的解析式；在（3）中，拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4 .其實就是P，N關(guān)于點Q成中心對稱，根據(jù)對稱性可設字母m表示出N、E、F等各點的坐標，探究以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，要進行適當?shù)姆诸惪紤]：三個角都有為直角的可能，再利用相關(guān)的勾股定理等確定其中所設字母m的值，進而求出Q點的坐標.

解析：（1）由拋物線C1：y=a（x+2）2-5得頂點P（-2，-5）.

∵點B（1，0）在拋物線C1上，∴0=a（1+2）2-5，解得a= .

（2）a：拋物線C1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，先自變量x變?yōu)閥=（-x+2）2-5，函數(shù)值y變?yōu)閥=-（-x+2）2+5；

b：連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G ，∵點P、M關(guān)于點B成中心對稱.

∴PM過點B，且PB=MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3.

∴頂點M的坐標為（4，5）.

拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到.

∴拋物線C3的表達式為y=-（x-4）2+5.

（3）∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱， 由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，∴EF=AB=2BH=6，∴FG=3.點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5）.

根據(jù)勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①當∠PNF=90°時，PN2+ NF2=PF2，解得m=，∴Q點坐標為（，0）；②當∠PFN=90°時，PF2+ NF2=PN2，解得m=，∴Q點坐標為（，0）；③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°.

綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

評注：解題關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸對稱、y軸對稱和關(guān)于某點中心對稱的坐標的特點，軸對稱是翻折180°，中心對稱是旋轉(zhuǎn)180°。拋物線關(guān)于x軸對稱，實質(zhì)上就是圖像的形狀不變，開口方向相反，并且拋物線的頂點關(guān)于x軸對稱，拋物線在左右平移過程中，實質(zhì)是拋物線的自變量在變，函數(shù)值并沒有改變，拋物線在上下平移過程中，實質(zhì)是拋物線的函數(shù)值上下移動，自變量并沒有改變。圖像繞著某點旋轉(zhuǎn)180°，實質(zhì)是圖像繞著某點成中心對稱，關(guān)鍵是要搞清兩個對稱點之間橫坐標的關(guān)系，縱坐標的關(guān)系.解答圖像類的坐標問題，其基本的思想是“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，把根據(jù)已知條件、圖形性質(zhì)求出來的幾何量，轉(zhuǎn)化成點的坐標，或者是由坐標轉(zhuǎn)化成幾何量時都應注意對點的坐標符號或幾何量的確定.