淺析二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

【摘 要】本文就進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念，二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像，結(jié)合應(yīng)用淺談了個人的理解和看法。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；圖像；單調(diào)性

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要的知識點，是每年高考必考的重要考點之一，因此進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，對二次函數(shù)的理解還需再深入。

一、加深對二次函教概念的理解

函數(shù)的定義在初中教材中已經(jīng)涉及，進(jìn)入高中后利用映射的觀點重新引入并加深了函數(shù)的定義講解，這個階段主要以二次函數(shù)作為重點內(nèi)容。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:A→B。對于任給的集合A中的元素x，唯一存在一個集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與之對應(yīng)，記為 f(x)=ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的像，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

例1：設(shè)f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)。

這個問題可以理解為，在已知對應(yīng)法則的條件下，即定義域中的元素x+1的像是x2-4x+1，然后求定義域中元素的像，問題的本質(zhì)是求對應(yīng)法則f。解決的辦法可以是換元法或者配方法，這些技能主要是是建立在對二元函數(shù)的基本形式熟悉的基礎(chǔ)上。

以上例題主要是要幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念，特別注意函數(shù)的三要素。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像

形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。對這個定義的理解應(yīng)要將二次函數(shù)解析式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別與函數(shù)的圖像結(jié)合起來理解記憶。如：

（1）系數(shù)a決定拋物線的開口方向與開口的大小，當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上，有最低點，有最小值，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大。當(dāng)a＜0時，情況剛好相反。而a還決定了拋物線的開口大小。a越大，開口就越小，反之a(chǎn)越小開口就越大。

（2）系數(shù)c決定了拋物線與ｙ軸交點的縱坐標(biāo)。

（3）a隨b共同決定了拋物線的對稱軸。

例2：設(shè)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間t，t+1上的最小值為g(t)，求出g(t)的表達(dá)式并畫出y=g(t)的圖像。

解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值－2。當(dāng)1∈t，t+1，即0≤t≤1，g(1)=-2；當(dāng)t＞1時，g(t)=f(t)=t2-2t-1；當(dāng)t＜1時，g(t)=f(t+1)=t2-2，圖像略。

解決這類問題，首先要使學(xué)生弄清楚題意，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化。

三、二次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合應(yīng)用

在歷年的高考中，二次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是出現(xiàn)頻率非常高的一種題型，它主要考查學(xué)生用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決間題的能力。

例3：兩個二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c與g(x)=-x2+2x+d的圖像有唯一的公共點P（1，－2）。

（1）求b，c，d的值；（2）設(shè)F(x)=(f(x)+m)g(x)，若F(a)在R上是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍，并指出是單調(diào)遞增函數(shù)，還是單調(diào)遞減函數(shù)。

解：（1）由已知得1+b+c=-2-1+2+d=-2。且ax2+bx+c=-x2+2x+d，即2x2+(b-2)x+c-d=0有唯一解。所以有△=(b-2)2-8(c-d)=0。解得b=－2，c=－1，d=－3。

（2）由F(x)=(x2-2x-1+m)(-2x+2)=-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2知，F(xiàn)(x)=-6x2+12x-2-2m。若F(x)在R上為單調(diào)函數(shù)。則F(x)在R上恒有F(x)≤0或F(x)≥0成立。因為F(x)的圖像是開口向下的拋物線，所以F(x)≤0時F(x)在R上為減函數(shù)，所以△=122+24(-2-2m)≤0，解得m≥2。即m≥2時，F(xiàn)(x)在R上為減函數(shù)。

二次函數(shù)，其圖像具有直觀性，并且概念上具有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的一類函數(shù)，如果把它的相關(guān)性質(zhì)弄清楚，不僅可以建立起方程、函數(shù)、不等式之間的聯(lián)系，而且可以演繹出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，從而有利于訓(xùn)練學(xué)生的基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。