基于上證綜指的波動率模型比較研究與實證分析

劉瑩瑩,胡波,伊麗娜

［摘要］ GARCH模型和SV模型適合于不同的市場，尚未有一種方法和模型的預(yù)測效果絕對優(yōu)于其他方法和模型。本文選擇具有代表性的上證綜指收益率數(shù)據(jù)進行建模，對比分析GARCH和SV及其各自的擴展模型的擬和效果。實證結(jié)果反映上證指數(shù)收益率具有明顯的群集聚性、波動性、尖峰厚尾的特征，同時，相比較而言，SV模型對于我國上海金融市場時間序列數(shù)據(jù)有更好的波動性擬和效果。

［關(guān)鍵詞］ 上證綜指；GARCH；SV；波動率

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 10. 019

［中圖分類號］F830.9［文獻標(biāo)識碼］A［文章編號］1673 - 0194（2012）10- 0030- 03

資產(chǎn)收益的波動在許多金融實踐中扮演著關(guān)鍵性角色，一方面，波動與金融市場的不確定性和風(fēng)險密切相關(guān)，這對于風(fēng)險管理、投資組合選擇和監(jiān)管者的政策制定都具有重要意義；另一方面，波動是資產(chǎn)定價的一個關(guān)鍵輸入變量。現(xiàn)有的關(guān)于波動預(yù)測的實證結(jié)果表明，不同的模型適合于不同的市場，尚未有一種模型的預(yù)測效果絕對優(yōu)于其他模型。

大量的實證研究發(fā)現(xiàn)，無論是成熟資本市場還是新興資本市場，其收益波動普遍展現(xiàn)出顯著的聚集性特征和異方差現(xiàn)象。對于波動性的量測，主要是ＧＡＲＣＨ模型族的量測方法。另外，還有一個非常重要的描述金融市場波動性的模型：隨機波動（ＳＶ）模型。至今，ＧＡＲＣＨ族及其拓展模型應(yīng)用十分廣泛。但是由于ＧＡＲＣＨ族及其拓展模型形式多，相對復(fù)雜，使得其各自的適用條件就顯得尤為重要。同時，隨著ＧＡＲＣＨ的有力競爭者——ＳＶ模型的不斷發(fā)展，究竟哪一類模型更有利于刻畫我國金融市場時間序列的特性，有待深入研究。

1ＧＡＲＣＨ模型和ＳＶ模型的比較分析

首先，ＧＡＲＣＨ模型、ＳＶ模型都為針對波動率問題的傳統(tǒng)模型，其次，兩類模型都是基于回報指標(biāo)所建立的，亦即基于回報或絕對值回報的波動率測量，使用收盤價格的對數(shù)差分作為波動率的測量基礎(chǔ)。

此外，兩類模型的差異也很明顯：ＧＡＲＣＨ模型用來描述離散的可觀測的時間序列的波動情況，即波動過程可由過去的觀測值和過去誤差的平方項線性表示，而ＳＶ模型則是一類隨機微分方程的離散化表示形式，ＳＶ模型具有兩個沖擊過程（εt和ηt），其中ηt蘊含著ｔ時刻的新信息。這使得ＳＶ模型比較靈活，從而可以更好地刻畫金融時間序列的特性。也就是說，兩類模型的主要區(qū)別為時變二階矩是否可以觀測。ＳＶ類模型將隨機過程引入到二階矩的表達式中，它包括兩個噪聲過程，一個是對觀測值的，另一個是針對潛在波動的，它假定時變方差是一種不可觀測的隨機過程，因此理論上來說更加適合于金融領(lǐng)域的實際研究。

然而，對于ＳＶ模型，其缺點也較為明顯：ＧＡＲＣＨ模型的參數(shù)估計采用最大似然估計方法，但對隨機波動性模型而言，似然函數(shù)的明確表達式不可能獲得，所以很難對它進行估計，這使得隨機波動性模型在過去很長一段時間內(nèi)不像ＧＡＲＣＨ模型一樣有吸引力，是阻礙其廣泛應(yīng)用的一個重要原因。近幾年來，隨著計量經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展，隨機波動性模型的估計取得了較為顯著的進步，現(xiàn)在已經(jīng)提出了許多有效的估計方法。

2ＧＡＲＣＨ模型和ＳＶ模型的實證分析

2.1 樣本選擇與預(yù)處理

這里采用上證綜合指數(shù)的日收盤數(shù)據(jù)進行實證研究。文章選?。玻埃埃茨辏保痹拢玻橙罩粒玻埃保澳辏翟拢保慈战?年我國股票市場收益率數(shù)據(jù)，收益率的計算方法采用對數(shù)收益率的計算方法，公式為：

rt=lnpt-lnpt-1

式中，pt表示上證指數(shù)在ｔ日的收盤價。

關(guān)于對數(shù)收益率的計算方法，其主要的性質(zhì)為：對數(shù)收益的取值范圍擴展到整個實數(shù)域，更適合于對證券的行為進行建模；多期對數(shù)收益率只是單期對數(shù)收益率的和，若當(dāng)單期對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則多期收益率也服從。首先通過ＡＤＦ檢驗得出日收益率時序是平穩(wěn)性的，同時分布檢驗的檢驗結(jié)果見表１。

由此可以看到收益率序列表現(xiàn)出負偏度以及過度峰度，表明收益分布具有明顯的寬尾部性質(zhì)，而非正態(tài)分布的性質(zhì)，由ＪＢ正態(tài)檢驗統(tǒng)計量的值可以看到收益率序列呈現(xiàn)左偏，尖峰的分布形態(tài)。進而可以得出，股票市場的收益變動呈現(xiàn)波動的集群性，即較大幅度波動后面一般接著較大波動，而較小波動一般緊連著較小幅度波動。

進一步通過對收益率的自相關(guān)檢驗，我們發(fā)現(xiàn)收益率都與其滯后的１５階存在顯著的自相關(guān)，因此對滬市的收益率的均值方程采用如下形式：

rt = c + αrt - 15 + εt

回歸后得到殘差平方的線性圖如圖１。

由以上殘差平方的線形圖可見ε2的波動具有明顯的時間可變性和急促性，應(yīng)該適用ＧＡＲＣＨ類模型。進一步考察殘差平方序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)，對殘差進行ＡＲＣＨ－ＬＭ Ｔｅｓｔ，結(jié)果見表２。

由結(jié)果可知殘差序列具有明顯的ＡＲＣＨ效應(yīng)。上證綜指收益率序列ＡＲ模型的殘差平方序列存在高階自相關(guān)，這意味著可以用高階的ＡＲＣＨ模型進行刻畫。

2.2 ＧＡＲＣＨ族建模研究

針對上述所做各項檢驗，利用上證綜指收益率序列進行建模，同時對ＧＡＲＣＨ模型及其擴展模型都進行了擬合，并利用公式ｋＧ＝計算擬合的峰度值。

首先，分別用ＧＡＲＣＨ－Ｎ模型、ＧＡＲＣＨ－ｔ模型和ＧＡＲＣＨ－Ｍ模型對上證指數(shù)日收益率序列的條件方差建模，在每一類模型中，找出使ＡＩＣ和ＳＣ值最小且模擬模型后的殘差最接近于白噪聲的模型。經(jīng)過篩選ＧＡＲＣＨ（１，１）模型是刻畫收益率的最佳模型。根據(jù)均值方程形式和誤差項分布不同分別得到如下4種模型：ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ、ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ、ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－Ｎ和ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－ｔ，得到的參數(shù)估計結(jié)果見表３。

根據(jù)表３ 的估計結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

（１）α均為正，說明實際股票波動呈現(xiàn)集群性現(xiàn)象。另外α＋β＜１，滿足模型平穩(wěn)性條件，α＋β為持續(xù)性參數(shù)且都非常接近于１，這說明滬市波動對外部沖擊的反應(yīng)函數(shù)以一個相對較慢的速度遞減，可見上證綜指收益率的持續(xù)特征非常明顯。上海股市的波動還十分劇烈，總體風(fēng)險很大，外來沖擊對上海股票市場的系統(tǒng)整體波動的影響持續(xù)性程度很高。

（２）ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ和ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ模型因為假設(shè)誤差項分布不同，通過ＡＩＣ和ＳＣ準(zhǔn)則，相比較而言，可以看出ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ要優(yōu)于ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ，ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－ｔ要優(yōu)于ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－Ｎ。

（３）通過模型殘差峰度k*看出，殘差都還存在高峰現(xiàn)象；從殘差正態(tài)性檢驗統(tǒng)計量ＪＢ來看，誤差項服從正態(tài)分布的假定是不成立的。

（４）通過殘差的ＬＭ檢驗得出：模型殘差都不再有ＡＲＣＨ效應(yīng)，從這個角度看，ＧＡＲＣＨ類模型可以較好地擬合波動的集聚效應(yīng)。

另外，考慮到股票市場中股價下跌過程中一般伴隨著比上漲時更加劇烈的波動，對兩類非對稱的ＡＲＣＨ模型——ＴＡＲＣＨ和ＥＧＡＲＣＨ也進行了分析，由之前的分析結(jié)果知由ｔ分布作為假設(shè)誤差項分布效果更佳，因此進行ＴＡＲＣＨ－ｔ和ＥＧＡＲＣＨ－ｔ建模，結(jié)果見表４。

ＴＡＲＣＨ－ｔ中εt-12dt-1，項的系數(shù)估計值φ為０．０１２ ０５１，由φ≠0說明信息作用是非對稱的，同時φ>0，說明滬市中壞消息引起的波動比同等大小的好消息引起的波動大，滬市存在杠桿效應(yīng)。

在ＥＧＡＲＣＨ中，項的系數(shù)估計值φi為－０．０７９ １９０＜０，也說明了滬市中存在著杠桿效應(yīng)。

2.3 隨機波動模型ＳＶ建模研究

在對模型擬合前，從收益序列中消去其均值，公式為：

yt=Rt-Rt

式中，Ｔ為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)；yt為第ｔ個交易日的消去均值后的收益。

采用馬爾可夫鏈模擬（ＭＣＭＣ）方法，應(yīng)用ＷｉｎＢＵＧＳ軟件對參數(shù)進行估計。其中峰度系數(shù)表示為：KSV=3exp（）估計結(jié)果見表５。

注：括號內(nèi)為參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)差

表中顯示波動持續(xù)性參數(shù)?準(zhǔn)為０．９３８ ９，說明上證指數(shù)具有很強的波動持久性。同時，經(jīng)過ＳＶ模型擬合后，標(biāo)準(zhǔn)化收益率的ＡＲＣＨ效應(yīng)不再顯著。

3結(jié) 論

通過對ＧＡＲＣＨ族模型與基本的ＳＶ模型針對上證綜指收益率序列進行的實證比較分析，發(fā)現(xiàn)兩類模型都能很好地捕捉金融時間序列數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性、金融時間序列數(shù)據(jù)波動的聚集性、持續(xù)性和杠桿效應(yīng)等特征。同時，對于ＧＡＲＣＨ族及其擴展模型的分析發(fā)現(xiàn)，假設(shè)誤差項為ｔ分布可以更好地擬合時間序列數(shù)據(jù)，而考慮了期望收益率和風(fēng)險之間關(guān)系的ＧＡＲＣＨ－Ｍ模型相對效果也較好。另外，通過對ＴＡＲＣＨ－ｔ，ＥＧＡＲＣＨ的系數(shù)估計，證明滬市中存在著明顯的杠桿效應(yīng)。

針對兩類模型進行的比較分析顯示：在ＳＶ模型中，利用參數(shù)估計可以計算峰度為５．４４６ １，相比較于ＧＡＲＣＨ族模型的估計結(jié)果，更接近于真實峰度５．５６２ ８０９，從而印證了理論上所說的在刻畫金融序列的高峰后尾特性方面ＳＶ模型更優(yōu)一些，因此ＳＶ模型是我們在實證研究中的首選模型。

當(dāng)然，即使是ＳＶ模型的峰度值也與實際數(shù)據(jù)的峰度值相差較遠，因此尋求基本ＳＶ模型的擴展形式是十分重要的，一般文獻提到ＳＶ－ｔ和ＳＶ－ＧＥＤ模型對尖峰厚尾特性的刻畫優(yōu)于基本的ＳＶ模型。另外，雖然ＳＶ模型在刻畫時間序列的厚尾現(xiàn)象方面效果較好，但是其參數(shù)估計較為復(fù)雜，運用起來不如ＧＡＲＣＨ族方便。因此，對于尋求更簡便的ＳＶ模型參數(shù)估計方法或者將ＧＡＲＣＨ族模型與ＳＶ模型更好地結(jié)合起來，做到優(yōu)劣互補，也是今后一個很好的研究方向。

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