發(fā)揮習題功效, 培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

孫桂華

摘要： 高中數(shù)學課程教學應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一，也是《普通高中數(shù)學課程標準》的要求。在高中的數(shù)學教學中，應通過課后習題探究，啟發(fā)學生思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

關鍵詞： 高中數(shù)學教學習題數(shù)學思維能力

新教材的高中數(shù)學課后習題是經(jīng)過專家學者潛心研究，精心設計的，具有典型的范例作用，滲透了新課標的思想，起著培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力的作用，極具探究價值。我通過人教必修五第二章數(shù)列課后習題的教學談談認識。

一、培養(yǎng)學生的歸納猜想能力

偉大的物理學家、數(shù)學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想是一種創(chuàng)造性的思維活動，它可“導出”新穎獨特的思維成果。在已知領域中有所創(chuàng)新，在未知的領域中有所發(fā)現(xiàn)或突破。在必修五第二章數(shù)列的課后習題教學中，應把“歸納”與“猜想”兩種思想方法相結合，從而提高學生“歸納猜想”的能力。

例1（必修五31頁習題）根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式。

例2（必修五教材第33頁習題A組5題）根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，在空格和括號中分別填上適當?shù)膱D形和點數(shù)，并寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式。

例3（必修五34頁B 組）下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前3項，請寫出這個數(shù)列的前5項和數(shù)列的一個通項公式。（圖形略）

后兩道題不僅培養(yǎng)了學生的歸納猜想能力，還通過圖形與數(shù)列的結合探究，實現(xiàn)了數(shù)學的美育功能。

二、培養(yǎng)學生的類比推理能力

波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學還是在高等數(shù)學，甚至在其他任何領域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn)?！币虼耍鳛榛A教育之一的中學數(shù)學，在教學中必須重視培養(yǎng)學生的類比推理的能力。人教版必修五第二章，在等差數(shù)列、等比數(shù)列的教學設計上，明顯體現(xiàn)出類比的思想，課后的習題設計也體現(xiàn)出這一思想。所以在習題課中，教師要領會新課程思想，培養(yǎng)學生的類比推理能力。

例如必修五第39頁練習第4題，第5題。學生探究，老師引導得出相應的結論。所以在人教A必修五第53頁等比數(shù)列習題中就可以讓學生進行類比推理方法學習。等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比學習，不僅可以促進學生對知識的掌握，還可以培養(yǎng)學生的類比推理能力。

三、培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決實際問題的能力

《數(shù)學課程標準》明確指出：“使學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，使學生初步學會運用所學的數(shù)學知識和方法解決一些簡單的實際問題。”這一要求揭示了數(shù)學與實際生活之間的關系，即數(shù)學源于生活、寓于生活、用于生活。因此，在人教版A必修五數(shù)列的課后習題中，有大量的實際應用問題，如：購房問題等，使學生通過了解數(shù)學知識在實際中的廣泛運用，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看問題，用數(shù)學頭腦想問題，增強學生用數(shù)學知識解決實際問題的意識。在教學中我嘗試將數(shù)學和生活進行有效融合和連接，將抽象的數(shù)學本質(zhì)生活化，從而大大激發(fā)了學生的學習興趣，培養(yǎng)了學生將純數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成解決具體實際問題的能力。

例如（人教必修五62頁）

購房問題 ：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息2%并按復利計算，問每年應該存入多少錢？

引導學生思考如何把實際問題化為數(shù)學模型，從而培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決實際問題的能力。

四、培養(yǎng)學生探究總結的能力

高中數(shù)學遞推數(shù)列通項公式的求解是高考的熱點之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進行嚴格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項公式，重點是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過適當變形，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達到化陌生為熟悉的目的。通過人教A必修五第二章習題的教學，培養(yǎng)學生探究總結的能力。

例如：必修五（人教版）第69頁5題

引申：形如a=pa+q（p、q為常數(shù)，而且p≠0，p≠1），求通項a。

思路1：可用不完全歸納法猜想

思路2：迭代法（過程略）

思路3：構造法 （過程略）

歸納總結：若數(shù)列{a}滿足a=pa+q（p≠1，q為常數(shù)），則令a+λ=p（a+λ）來構造等比數(shù)列，并利用對應項相等求λ的值，求通項公式。

例如：必修5教材69頁。本題是兩次構造等比數(shù)列，最終用加減消元的方法確定數(shù)列的通項公式。又如：必修五45頁練習2，引申：已知數(shù)列{a}的前項和為S，求這個數(shù)列的通項公式a，這些習題的引申拓展，能培養(yǎng)學生的探究總結能力。

五、培養(yǎng)學生的社會實踐能力

荷蘭著名數(shù)學家弗萊登塔爾認為：數(shù)學教育是一個活動過程，在整個活動過程中，學生應該處于一個積極、創(chuàng)造的狀態(tài) 。學生首先要參與這個活動，感覺到創(chuàng)造的需要，他才有可能進行再創(chuàng)造。而教師的任務就是為學生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，引導學生探索獲得知識、技能的能力。

例如：人教A必修五62頁第4題：收集本地區(qū)有關教育儲蓄的信息問題，設計本題的目的是培養(yǎng)學生的社會實踐能力，處理此題的時候，我提前布置課外作業(yè)，使學生有充足的時間進行社會調(diào)查，等下一周數(shù)學課的時候，采用合作交流的形式完成此題。此課結束后，學生異常興奮，在實踐中體驗了學習數(shù)學的興趣。不僅培養(yǎng)了學生的實踐能力，還培養(yǎng)了學生的合作學習的精神。

必修五第二章中的一些習題還能培養(yǎng)學生利用“數(shù)形結合”“算法”等思想分析問題、解決問題的能力，所以在習題課的教學中我們應該有意識地挖掘，拓展習題的功效，達到通過練習培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力目的。

參考文獻：

［1］高中數(shù)學必修4（人教A版）教材習題.

［2］波利亞.數(shù)學與猜想——數(shù)學中的歸納與類比［M］.北京：科學出版社，2001，（7）.

［3］黃立錕.運用“歸納猜想法”培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.廣西教育，2002，（32）.

［4］陳貴倫.高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神與實踐能力的做法.數(shù)學教學研究，2002，（7）.