微分中值定理應(yīng)用的一個(gè)注記

王丹

摘要： 微分中值定理是微分學(xué)中的最重要的基本定理，其應(yīng)用非常廣泛，特別是求函數(shù)極限，但在應(yīng)用微分中值定理時(shí)一定要注意所得到的只是一個(gè)存在性結(jié)果，否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤的解答.

關(guān)鍵詞： 微分中值定理極限羅比達(dá)法則

微分中值定理是《數(shù)學(xué)分析》及《高等數(shù)學(xué)》等數(shù)學(xué)課程的重要知識點(diǎn)之一.其應(yīng)用非常的廣泛，如證明不等式，判定方程根的存在性及其個(gè)數(shù)，求極限，等等.特別是將微分中值定理應(yīng)用到求解函數(shù)的極限中，我們得到一種非常方便、簡潔、有效的方法——羅比達(dá)法則.這個(gè)法則便于我們求解型與型，以及能化成這兩種類型的不定式極限.然而，大家在應(yīng)用中往往會忽略羅比達(dá)法則要求導(dǎo)函數(shù)的極限是存在的，引申一點(diǎn)來說就是微分中值定理所得到的結(jié)果只是一個(gè)存在性的結(jié)論，而不是我們求極限所要得出的普遍性的、任意性的結(jié)論.本文將從幾個(gè)典型的例題來論證這一問題的重要性.

下面我們給出微分中值定理的敘述.

Cauchy中值定理設(shè)函數(shù)f和g滿足如下條件，

（Ⅰ）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（Ⅱ）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且?坌x∈（a，b），有g(shù)′（x）≠0，

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

=.

在Cauchy中值定理中，令g（x）≡x就得到Lagrange中值定理，即函數(shù)f在閉區(qū)間這［a，b］上連續(xù)且在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=.而在Lagrange中值定理?xiàng)l件中再加一個(gè)條件f（b）=f（a）就得到Roll定理，即函數(shù)f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)且在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（b）=f（a），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=0.

我們把這三個(gè)定理統(tǒng)稱為微分中值定理.在我們教材中是先給出定理，由Roll定理得到Lagrange中值定理，再由Lagrange中值定理得到Cauchy中值定理.特別是在我們利用Lagrange中值定理來證明Cauchy中值定理時(shí)，是利用構(gòu)造輔助函數(shù)的思想，使其滿足Lagrange中值定理的條件，來得到Cauchy中值定理的結(jié)論.而不是我們初學(xué)者往往由函數(shù)f和g均滿足中值定理的條件，從而對函數(shù)f和g分別利用Lagrange中值定理得到

f′（ξ）= （1）

g′（ξ）=（2）

再由（1）（2）式做商就得到了Cauchy中值定理的結(jié)論.這里形式上是正確的，但事實(shí)上是錯(cuò)誤的.因?yàn)長agrange中值定理的結(jié)論只是說至少存在一點(diǎn)，我們不能由此就得到（1）（2）式中的ξ是同一點(diǎn)的.我們在教學(xué)過程也著重強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，但往往在實(shí)踐時(shí)還是忽略了這個(gè)問題.我們來看一下下面這個(gè)例子.

例1.設(shè)函數(shù)f在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f′單調(diào)，證明f′在（a，b）內(nèi)連續(xù).

我在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)很多能做出此題的學(xué)生，竟然證明此題而沒有用“導(dǎo)函數(shù)f′單調(diào)”這個(gè)條件.從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看來，這樣應(yīng)該是錯(cuò)誤的解答.我仔細(xì)看了他們的證明過程，是利用Langrange中值定理來證明的，但證明是有漏洞的，就是將存在性的ξ誤解為任意的都成立.他們的解法如下.

證明：?坌x∈（a，b）對任意的一點(diǎn)x∈（a，b）且x≠x，則在函數(shù)以x，x為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)且可導(dǎo)，從而由Lagrange中值定理得，在以x，x為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=.

由于函數(shù)f在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，從而對上式兩邊對x取極限得

=f′（ξ），

即f′（x）==f′（ξ），而當(dāng)x→x時(shí)，得到ξ→x，從而有f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），由此我們可得到f′（x）=f′（x）.再由x的任意性知，f′在（a，b）內(nèi)連續(xù).

這個(gè)證明看起來是沒有任何理論錯(cuò)誤的，但事實(shí)上卻犯了以偏概全的概念性錯(cuò)誤.事實(shí)上，雖然當(dāng)x→x時(shí)，得到ξ→x，從而有

f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），

沒有任何的錯(cuò)誤，但由此就得到f′（x）=f′（x）卻是錯(cuò)誤的.由于這里的ξ只是一個(gè)存在性的，從而ξ→x.這只能代表x→x過程中某一個(gè)趨向的極限.而極限f′（x）=f′（x）中要求對沿任何x→x的趨向極限都要存在且相等的.由函數(shù)極限的歸結(jié)原則知，若是在極限f′（x）存在的條件下，我們可以x→x過程中某一個(gè)趨向的極限值來算f′（x）的值；但是不能以f′（x）在x→x過程中某一個(gè)趨向的極限存在得到f′（x）存在的.

我們來看一個(gè)具體函數(shù)的例子.函數(shù)f（x）=xsin，x≠00， x=0在R都是連續(xù)且可導(dǎo)的，但其導(dǎo)函數(shù)在x=0處不連續(xù)的.事實(shí)上，?坌x∈R＼{0}有，f′（x）=2xsin-cos，

而當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）==xsin=0，從而我們有f′（x）=2xsin-cos，x≠00，x=0，

顯然f′（x）在x=0處是不連續(xù)的.

當(dāng)然這個(gè)題的正確證明，應(yīng)該是先由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)有界定理證明導(dǎo)函數(shù)的每一點(diǎn)左右極限存在，再用Lagrange中值定理來分別證明左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.這里我就不給出具體的證明過程了，大家可以參照文獻(xiàn)［1］第164頁第九題的詳解.

應(yīng)用微分中值定理求具體的函數(shù)的極限出現(xiàn)錯(cuò)誤的解法主要表現(xiàn)在多次用羅比達(dá)法則時(shí)而忽略了導(dǎo)函數(shù)的極限是否存在的.我們看一下下面兩個(gè)具體的例子.

例2.設(shè)f（x）=，x≠00， x=0，且g（0）=g′（0）=0，g″（0）=3，試求f′（0）.

我在教學(xué)過程發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在處理這個(gè)問題時(shí)是通過兩次利用型羅比達(dá)法則，具體解法如下：

f′（0）======

這個(gè)答案是正確的，但是解答時(shí)不嚴(yán)密的，主要是在第二次用到羅比達(dá)法則后求解二階導(dǎo)數(shù)極限時(shí)利用了g″（x）在x=0點(diǎn)的連續(xù)性，而事實(shí)題目中并沒有告訴我們g″（x）在x=0點(diǎn)是連續(xù)的，而只是說g″（0）=3.而正確的解答是利用一次羅比達(dá)法則之后，在利用g″（0）的定義來求解.具體如下：

f′（0）======

例3.證明

（1）若函數(shù)f在點(diǎn)a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則=f″（a）；

（2）若函數(shù)f在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則=f″（a）；

（3）若f″（a）存在，則=f″（a）.

我在文獻(xiàn)［2］中找到前面兩個(gè)小題，后一個(gè)小題我是根據(jù)文獻(xiàn)［3］中一個(gè)習(xí)題編寫而來的.前面兩個(gè)小題我們可以兩次利用型羅比達(dá)法則就可以證得，而后一個(gè)小題只能用一次羅比達(dá)法則后只能利用二階導(dǎo)數(shù)的定義來做就如同例2中的解法.具體的解答我就不在此一一列出了.

應(yīng)用微分中值定理求極限，雖然非常簡潔方便有效，但要注意所得到的結(jié)果只是一個(gè)存在性的結(jié)果，而不是任意性的.不能由此得到極限的存在，只能是在極限存在的前提下來求得該極限值.其表現(xiàn)在利用羅比達(dá)法則時(shí)一定要驗(yàn)證其導(dǎo)函數(shù)的極限是否存在，若是盲目地去做就會得出一些錯(cuò)誤的解答，這里大家可以參照文獻(xiàn)［2］的第169—170頁，以及文獻(xiàn)［3］的第262頁，其中都給出了一些很好的例子.在今后的處理微分中值定理的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，我們一定要慎重利用所得到的存在性結(jié)果，以免得出錯(cuò)誤的解答.

參考文獻(xiàn)：

［1］曾捷.數(shù)學(xué)分析（上冊）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解.中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2007.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）（第二版）.高等教育出版社，1980.

［2］劉玉璉，傅沛仁，林玎等.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）（第五版）.高等教育出版社，2008.