全概率公式教學(xué)瑣談

劉小紅

摘要： 全概率公式是概率論中一個(gè)重要的公式，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，探討全概率公式的教學(xué)。

關(guān)鍵詞： 全概率公式解題思路應(yīng)用

全概率及貝葉斯公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的兩個(gè)重要的公式，由于全概率公式和貝葉斯公式本身是用來解決實(shí)際問題的，因而應(yīng)用背景十分重要，如果對(duì)公式的應(yīng)用背景不理解，則很難靈活運(yùn)用?，F(xiàn)就如何透徹地講解公式和靈活應(yīng)用全概率公式，談?wù)勎以诮虒W(xué)中的體會(huì)。

全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的綜合，在進(jìn)行這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)時(shí)，如果按照課本上的順序，直接給出公式，證明公式，然后套用公式來進(jìn)行應(yīng)用，這樣就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生感到公式不易理解，記憶困難，應(yīng)用時(shí)就更感覺無從下手。鑒于此，我在教學(xué)中從實(shí)例入手，引導(dǎo)并幫助學(xué)生完成由已知的加法公式和乘法公式到建立全概率公式的思維過程，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的思維，而且能加深學(xué)生對(duì)全概率公式的理解和記憶。

引例：某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：第1、2、3三家工廠提供元件的份額分別是0.15、0.80、0.05，它們的次品率分別是0.02、0.01、0.03，設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志，在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率。

解：設(shè)Ａ表示“取到的是一只次品”，Ｂ（i=1，2，3）表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”，由于導(dǎo)致Ａ發(fā)生的原因B，B，B不能唯一確定，因此求P（A）用條件概率難以解決。由題意，Ａ能且只能與B，B，B之一同時(shí)發(fā)生，即AB、AB、AB互不相容，這樣Ａ可表示為AB、AB、AB三事件之和，再利用加法公式，通過求P（AB）、P（AB）、P（AB）來求P（A）。由于B+B+B=Ω（必然事件），則有A=AΩ=A（B+B+B）=AB+AB+AB。

∴P（A）=P（AB+AB+AB）P（AB）+P（AB）+P（AB）

這樣，可把求P（A）經(jīng)過轉(zhuǎn)化，分解為簡(jiǎn)單事件的概率和，又由已知條件，P（AB）不能直接求出，但易知P（B）=0.15，P（B）=0.80，P（B）=0.05，P（A|B）=0.02，P（A|B）=0.01，P（A|B）=0.03，這樣利用乘法公式即可求出P（AB），從而求得P（A）。

P（A）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（B）P（A|B）+P（B） P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125

求P（A）事實(shí)上運(yùn)用的就是全概率公式。由于次品的概率P（A）直接求不出來，按照題意把Ａ分成三部分，A的發(fā)生受這三部分的影響且這三部分是互不相容的。把這三部分的概率分別求出，最后加起來，就得到Ａ的全部概率。

全概率公式：設(shè)試驗(yàn)Ｅ的樣本空間為Ｓ，B，B，…，B為E的一組事件，若滿足

（1）BB=?覫，（i≠j，i，j=1，2，…，n）

（2）B∪B∪…∪B=S且P（B）＞0（i=1，2，…，n）。則對(duì)任一事件A有

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+…+P（B）P（A|B）。

在全概率公式中，通常把滿足條件（1）（2）的事件組B，B，…，B稱為完備事件組，運(yùn)用全概率公式的關(guān)鍵在于找出這個(gè)完備事件組。完備事件組B，B，…，B可以看成是引起事件Ａ發(fā)生的一系列原因或Ａ的發(fā)生要受因素B，B，…，B的影響，一個(gè)事件Ａ往往可能在若干個(gè)不同原因B，B，…，B下發(fā)生，因而可將Ａ分解成若干個(gè)互不相容的事件，只要知道了各種原因B，B，…，B發(fā)生的概率以及各種原因B，B，…，B發(fā)生的條件下Ａ發(fā)生的概率，利用全概率公式就可求得事件Ａ發(fā)生的概率。

全概率公式是使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的很有價(jià)值的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用公式。當(dāng)一個(gè)事件的發(fā)生是由幾個(gè)不相關(guān)過程導(dǎo)致的時(shí)候，運(yùn)用全概率公式則可簡(jiǎn)化思考過程，起到化整為零，化難為易的作用，下面舉例說明。

例１：某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手8人；一、二、三級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別為0.9、0.7、0.4。求任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率。

解：?jiǎn)栴}實(shí)質(zhì)上涉及兩個(gè)部分：第一，選出的射手不知道是哪個(gè)級(jí)別的，由全概率公式知，都應(yīng)該考慮到才全面。第二，某個(gè)級(jí)別的射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率是已知道的，記A表示“選出的是i級(jí)射手”，i=1，2，3，記B表示“選出的射手能通過選拔進(jìn)入比賽”則A，A，A構(gòu)成一個(gè)完備事件組，有：

A∪A∪A=S且AA=?覫，i≠j，i，j=1，2，3

由題意：P（A）=4/20，P（A）=8/20，P（A）=8/20，因此

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/20×0.9+8/20×0.7+8/20×0.4=0.62

這個(gè)數(shù)比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因?yàn)槿N可能性都考慮到了。

例2：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批。在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的。假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過4個(gè)，并且其中恰好有i（i=0，1，2，3，4）個(gè)次品的概率如下：

求各批產(chǎn)品通過檢查的概率。

解：設(shè)事件B是一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品（i=0，1，2，3，4），則

P（B）=0.1，P（B）=0.2，P（B）=0.4，P（B）=0.2，P（B）=0.1

顯然有B=S且BB=?覫（i≠j，i，j=0，1，2，3，4），故B，B，B，B，B構(gòu)成一個(gè)完備事件組。設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品，則有

P（A|B）=1，P（A|B）==0.900，P（A|B）=≈0.809，

P（A|B）=≈0.727，P（A|B）=≈0.652

所以，由全概率公式，即得所求的概率：

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）≈0.1×1+0.2×0.900+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.8142

對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的事件Ａ，如果能找到一影響著Ａ發(fā)生的完備事件組B，B，…，B，而計(jì)算各B（i=1，2，…，n）的概率P（B）與條件概率P（A|B）又較容易，這時(shí)為了計(jì)算Ａ的概率，就可以考慮使用全概率公式。

參考文獻(xiàn)：

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