數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

高英 張棟

摘要： 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中一種常用的思想方法，數(shù)與形二者相結(jié)合往往能使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.本文主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想在集合，解不等式，直線(xiàn)方程，以及求函數(shù)極限之中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)解題應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法，所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考慮，或者是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)、把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，數(shù)精確但比較抽象，形直觀但不夠精確，數(shù)與形二者相結(jié)合便能優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.因此，數(shù)形結(jié)合的思想，就是將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補(bǔ)充、轉(zhuǎn)化的思想.本文就教學(xué)中所出現(xiàn)的問(wèn)題談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

一、關(guān)于集合中求差集的運(yùn)算

集合的運(yùn)算包括交集、并集、補(bǔ)集和差集，在這幾類(lèi)運(yùn)算當(dāng)中，差集是學(xué)生比較難掌握的.我們?cè)诮庥嘘P(guān)差集的題目時(shí)可以用文氏圖來(lái)分析題目，從圖形上進(jìn)行觀察，就可以很容易地解題.例如：設(shè)A={x|x+2=x}，B={x|=x}，求A-B，B-A.要解這樣的題，首先來(lái)回顧一下差集的定義：設(shè)A和B是兩個(gè)集合，把屬于A而不屬于B的所有元素組成的集合稱(chēng)為A和B的差集，記為A-B，讀作“A減B”，即A-B={x|x∈A，x?埸B}，如圖（1）所示.也就是說(shuō)我們要先分別求出兩個(gè)集合中所含的元素，并且在A集合中除去B集合中的元素，就可以得到A-B，在B集合中除去A集合中的元素，就可以得到B-A，由此可以得出A-B=A-（A∩B），B-A=B-（A∩B），因此我們先求出A={-1，2}，B={2}，再求出A∩B={2}，因此由圖（2）可以看出A-B=A-（A∩B）={-1}，B-A=B-（A∩B）=?覫.

二、用數(shù)軸解不等式組

解不等式組一直是學(xué)生比較頭疼的問(wèn)題，其實(shí)在解不等式組的時(shí)候，利用數(shù)軸來(lái)分析，思路會(huì)更加明確，直觀清晰，而且充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.例如：

解不等式組2x-1＞-xx＜3，我們首先要分別解出2x-1＞-x和x＜3的解集，然后求它們的交集，下面我們用數(shù)軸來(lái)分析一下.解不等式2x-1＞-x，得x|x＞.解不等式x＜3，得{x|x＜6}.在同一數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解，如圖（3），可知所求不等式組的解集是{x|＜x＜6}.

三、根據(jù)直線(xiàn)方程的圖像研究直線(xiàn)方程的系數(shù)

在我們研究直線(xiàn)方程的過(guò)程當(dāng)中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題：已知直線(xiàn)方程的圖像，要求從方程的圖像上判斷出直線(xiàn)方程的系數(shù)，如圖（4）所示.從圖像上我們可以看出直線(xiàn)的方程穿過(guò)了第一，二，四象限且與x軸相交與A點(diǎn)，與y軸相交于B點(diǎn)，而A點(diǎn)位于x軸的負(fù)半軸，B點(diǎn)位于y軸的正半軸，由直線(xiàn)的一般方程ax+by+c=0（c≠0）可以得出A點(diǎn)的坐標(biāo)為-，0，B點(diǎn)的坐標(biāo)為0，-，因此可以得出-＜0-＞0，解得ab＜0，即a與b異號(hào).

四、求函數(shù)的極限

在我們學(xué)習(xí)函數(shù)的極限時(shí)會(huì)把自變量x的變化趨勢(shì)分成兩種情況來(lái)研究，一種情況是當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)的極限，一種情況是x→x時(shí)函數(shù)的極限，為了讓學(xué)生更加深刻地理解函數(shù)極限的概念，通常會(huì)通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)講解函數(shù)值隨自變量的變化情況.例如有這樣一個(gè)題目：考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)y=的變化趨勢(shì)，其實(shí)就是求.要解決這樣的問(wèn)題，在只理解函數(shù)極限的概念的情況下，我們只能從函數(shù)圖像上進(jìn)行觀察，如圖（5）所示.圖上虛線(xiàn)分別表示自變量x的變化趨勢(shì)，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，以及函數(shù)值y的變化趨勢(shì).從圖像上可以清楚地看出當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)圖像成一個(gè)上升的趨勢(shì)，無(wú)限的向y=1這條直線(xiàn)靠近，函數(shù)值y也在無(wú)限地向1靠近，因此=1，同樣當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)圖像成一個(gè)下降的趨勢(shì)，無(wú)限地向y=1這條直線(xiàn)靠近，函數(shù)值y也在無(wú)限地向1靠近，因此=1，因此，根據(jù)函數(shù)極限的定義，我們可以得出=1.

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)世事休.”這句話(huà)深刻地說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合的思想來(lái)啟發(fā)學(xué)生，使學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想帶來(lái)的便利，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

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