GM(1,1)模型在遙測緩變參數(shù)預測中的應用

金球星

摘 要:飛行器飛行試驗中,遙測數(shù)據(jù)難免丟失。為了試驗結(jié)果分析需要,有必要根據(jù)已獲取的數(shù)據(jù)預測丟失數(shù)據(jù)。一些變化趨勢穩(wěn)定的緩變參數(shù)滿足GM(1,1)模型的適用要求,實例計算表明預測效果良好。

關鍵詞:灰色系統(tǒng)預測模型遙測數(shù)據(jù)

中圖分類號:TP7 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)06(a)-0002-02

1 引言

飛行器飛行試驗過程中,各類參數(shù)的數(shù)據(jù)通過遙測系統(tǒng)發(fā)回地面。遙測信號不可避免受到各種干擾而導致失鎖、丟幀、誤碼等現(xiàn)象,最終造成數(shù)據(jù)丟失。為了試驗結(jié)果分析需要,有必要根據(jù)已獲取的數(shù)據(jù)預測丟失數(shù)據(jù)。

由鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的“灰色系統(tǒng)理論”是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息的不確定性問題的新方法。其研究對象是“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng),并通過對部分已知信息的生成、開發(fā),幫助人們了解、認識現(xiàn)實世界,實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述。數(shù)列預測是灰色系統(tǒng)理論的一個重要應用方面,其中最常用的預測模型是,該模型在諸多領域得到使用。[1,2]

飛行器在飛行過程中受到眾多難以準確描述的因素的影響,可以認為是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系統(tǒng)”。一些變化趨勢穩(wěn)定的緩變類參數(shù)的數(shù)據(jù)滿足GM(1,1)模型的適用要求范圍[3]。

2 GM(1,1)模型介紹

2.1 預測值計算

GM(1,1)是最常用、最簡單的一種灰色模型,它是由一個只包含單變量的微分方程構(gòu)成的模型。

設已知某參數(shù)的歷史原始數(shù)據(jù)序列為,且序列總體呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢,各因子數(shù)值同極性,通過1次累加運算后生成的數(shù)據(jù)序列為 ,式中 。則定義的灰導數(shù)為 (即原始數(shù)據(jù))。令為數(shù)列的均值數(shù)列,即 ,則 。于是定義GM(1,1)的灰微分方程模型為,即

(1)

其中稱為灰導數(shù),稱為發(fā)展系統(tǒng),稱為白化背景值,稱為灰作用量,將時刻代入上式中有

(2)

令

稱為數(shù)據(jù)向量,為數(shù)據(jù)矩陣,為參數(shù)向量,則GM(1,1)可以表示為矩陣方程。如果存在,由最小二乘法則有

(3)

對式(1)進行“白化默認”,得到GM(1,1)的灰微分方程對應的白化微分方程為

(4)

代入數(shù)據(jù)求解該方程(最小二乘法)得

(5)

對上式進行一階累減還原計算,可得到原始數(shù)列的灰色GM(1,1)預測模型為

(6)

從上述灰微分方程與白化微分方程的建立過程可以看出,數(shù)列對應著某個狀態(tài)變量,數(shù)列對應著該狀態(tài)變量的變化速率。例如,已獲取某個時段飛行器滾動角參數(shù)的數(shù)據(jù)序列 ,需要去預測該參數(shù)的未來數(shù)據(jù),則在建立模型時,取

2.2 預測值檢驗

令殘差為,計算

(7)

如果,則可認為達到一般要求;如果,則認為達到較高的要求。

3 數(shù)據(jù)預測計算步驟

①若獲取某參數(shù)x的數(shù)據(jù)點個 ,若描述狀態(tài)變化量,則若描述狀態(tài)變量,則 ,通過建立預測模型計算出 的預測值 。

②計算殘差,殘差均值,若,則認為原始數(shù)據(jù)滿足使用模型的前提,能較準確預測未來數(shù)據(jù);否則認為原始數(shù)據(jù)不滿足使用模型的前提。

4 預測實例

為了說明GM(1,1)模型在飛行器緩變參數(shù)預測中的合理有效,選取某次飛行器試驗中滾動角參數(shù)的10個采樣點進行計算說明,10個采樣點數(shù)據(jù)為x={1.7580,1.9800, 2.2020,2.4180,2.6340,2.8440,3.0360,3.2160,3.3780,3.5160}(單位:度)。以1～8個數(shù)據(jù)作為計算數(shù)據(jù),后兩個數(shù)據(jù)作為檢驗。

傳統(tǒng)預測方法通常觀察散點圖發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性增長趨勢,作線性回歸可得,可得預測值 ,預測值的誤差為 。

使用GM(1,1)模型預測計算過程與結(jié)果如下:

根據(jù)式(6)計算出滾動角的GM(1,1)模型預測值為

根據(jù)式(7)計算殘差

,都遠小于0.1。預測值的誤差為

,遠低于線性回歸預測的誤差。

從實例計算可以看出,使用GM(1,1)模型預測變化趨勢穩(wěn)定的參數(shù)能獲得良好的效果。

5 結(jié)語

飛行器在飛行過程中受到眾多難以準確描述的因素的影響,可以認為是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系統(tǒng)”,飛行器飛行過程中一些變化趨勢穩(wěn)定的運動參數(shù)滿足GM(1,1)模型的適用范圍,實例計算說明預測效果良好。較準確預測某些參數(shù)的丟失數(shù)據(jù),為充分挖掘試驗數(shù)據(jù)的信息含量具有重要意義。

參考文獻

[1] 鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.

[2] 劉思峰.走向世界的灰色系統(tǒng)理論[C].第十屆全國灰色系統(tǒng)學術(shù)討論會.北京:中國教育報刊社,2002.

[3] 劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2005,5.