基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的鋰離子電池壽命預(yù)測方法

(青海民族大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院，西寧 810007)

0 引言

鋰離子電池具有工作電壓高、自放電率低、比能量高、壽命長、質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于對貯能電源電性能和可靠性要求較高的場合如地球同步軌道衛(wèi)星、空間站等宇航設(shè)備中。預(yù)測是鋰離子電池故障預(yù)測與健康管理的研究內(nèi)容，是掌握電源性能衰退趨勢的重要手段，鋰離子電池預(yù)測問題已成為電子系統(tǒng)故障預(yù)測與健康管理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。鋰離子電池的預(yù)測技術(shù)大致體現(xiàn)在三類狀態(tài)參量的預(yù)測上，即荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)預(yù)測，健康狀態(tài)(state of health，SOH)預(yù)測和壽命狀態(tài)(state of life，SOL)預(yù)測。

1)SOC預(yù)測。SOC定義為在一定的放電速率下，電池剩余電量與相同條件下電池額定容量的比值，目前國內(nèi)外都采用SOC來描述電池的剩余電量。

2)SOH預(yù)測。SOH定義為當(dāng)前電池最大容量和標(biāo)稱容量的比值，反應(yīng)了電池的容量能力。

3)SOL預(yù)測。鋰離子電池的壽命狀態(tài)(SOL)主要指的是剩余使用壽命(remaining useful life，RUL)。RUL直接影響著蓄電池的安全性和可靠性。通過對RUL的準(zhǔn)確預(yù)測和估計(jì)，可以更加深入地了解蓄電池當(dāng)前和未來的健康狀況，更好地實(shí)現(xiàn)成本效益維護(hù)策略和最短停機(jī)時間，從而有助于延長蓄電池的壽命。

對于不同的對象系統(tǒng)、子系統(tǒng)、設(shè)備或部件，由于對象特點(diǎn)的多樣性和功能的不同，所采用的預(yù)測方法也有所不同。差異性較大。一般來說，根據(jù)預(yù)測方法的應(yīng)用程度、預(yù)測精度及成本等要素，可以將預(yù)測分為基于可靠性理論、基于模型和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法[1]。

基于可靠性的預(yù)測方法使用范圍較廣，特別適用于批次多、數(shù)量大的產(chǎn)品，不足是預(yù)測的精度不高。該方法中用于預(yù)測的可靠性指標(biāo)通常包括可靠度、故障密度函數(shù)和故障率等。

基于模型的預(yù)測方法由于故障機(jī)理明確，具有較高的預(yù)測精度，包括失效物理模型、隨機(jī)模型、專家經(jīng)驗(yàn)等。由于實(shí)際系統(tǒng)的物理和失效特性具有較強(qiáng)的隨機(jī)性、復(fù)雜性等特點(diǎn)(以鋰離子電池為例，主要體現(xiàn)為其內(nèi)部的復(fù)雜電化學(xué)特性)，其物理和失效模型可能很難充分建立，因此在實(shí)際應(yīng)用過程中受到一定的限制。

近年來基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法由于方法模型實(shí)現(xiàn)相對簡單，可以實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)資源的充分利用，不需要建立精確的物理或失效模型，只需要獲取數(shù)據(jù)輸出關(guān)系和相關(guān)參數(shù)即可進(jìn)行預(yù)測，因此已成為在鋰離子電池等復(fù)雜系統(tǒng)壽命預(yù)測研究和應(yīng)用的熱點(diǎn)。該方法需要進(jìn)行狀態(tài)參數(shù)和輸入輸出之間的關(guān)系分析，在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型(如時間序列、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等模型)，通過從對象大量的歷史數(shù)據(jù)中的輸入輸出之間映射關(guān)系的學(xué)習(xí)，構(gòu)建相關(guān)模型，預(yù)測未來可能發(fā)生的故障和壽命?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法的不足是對方法模型依賴性較大，如果模型較為準(zhǔn)確，預(yù)測精度就可以有效提高。常用的數(shù)據(jù)驅(qū)動預(yù)測方法除上述方法外，還包括卡爾曼濾波、灰色系統(tǒng)等預(yù)測方法。

卡爾曼濾波作為一種典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法，特點(diǎn)是利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)輸入輸出觀測數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。可以將最優(yōu)估計(jì)視為濾波過程。擴(kuò)展卡爾曼濾波方法是卡爾曼濾波方法對非線性系統(tǒng)的應(yīng)用擴(kuò)展?？柭鼮V波和擴(kuò)展卡爾曼濾波方法的優(yōu)點(diǎn)包括：具有良好的誤差糾正能力、能夠?qū)顟B(tài)進(jìn)行估計(jì)、基于觀測值的更新等等。從而逐漸成為鋰離子電池壽命預(yù)測方法研究的重要方向[2]。文獻(xiàn)[3]將統(tǒng)計(jì)模型方法和隨機(jī)濾波方法分別用于鋰離子電池的壽命預(yù)測并對其效果進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[4-5]分析了采用隨機(jī)濾波方法進(jìn)行鋰離子電池壽命預(yù)測效果，闡述了在特定應(yīng)用情況下如何使用濾波器方法進(jìn)行壽命預(yù)測。文獻(xiàn)[6]提出了基于等效模型和多時間尺度的擴(kuò)展卡爾曼濾波鋰離子電池SOC預(yù)測方法，提高了計(jì)算效率。本文主要研究了在鋰離子電池壽命預(yù)測過程中應(yīng)用基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)的方法，并針對預(yù)測過程中存在的問題，采用最優(yōu)Loess平滑原理進(jìn)行改進(jìn)，以提高壽命預(yù)測的穩(wěn)定性和精確性。

1 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)的蓄電池壽命預(yù)測

鋰離子電池等系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中往往具有復(fù)雜多變且受噪聲干擾的特點(diǎn)，內(nèi)部狀態(tài)表現(xiàn)出非線性關(guān)聯(lián)特征，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可如圖1和式(1)所示。此時，原有的卡爾曼濾波無法使用。為了能在鋰離子電池這樣的非線性系統(tǒng)中繼續(xù)應(yīng)用卡爾曼濾波算法，需要對非線性狀態(tài)模型進(jìn)行線性化處理，目的是得到近似的線性模型。一般采用Taylor展開的方法，先得到系統(tǒng)模型的展開式，然后利用截取的一階線性部分來近似代替系統(tǒng)特征，獲得可以進(jìn)行卡爾曼濾波算法的線性模型，這種方法就是擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter，EKF)方法。

(1)

上式中，wk和vk是獨(dú)立的零均值高斯白噪聲，且協(xié)方差矩陣為Q和R；f(.)為非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，h(.)為非線性量測矩陣。EKF算法的基本思想是將非線性系統(tǒng)模型進(jìn)行線性化，即將系統(tǒng)的非線性函數(shù)圍繞其濾波估計(jì)值和預(yù)測值做泰勒展開，拋棄二次以上的高階項(xiàng)，從而得到局部線性化的系統(tǒng)，再應(yīng)用卡爾曼濾波方法實(shí)現(xiàn)遞推估計(jì)。

圖1 非線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型框圖

對式(1)的離散系統(tǒng)進(jìn)行泰勒展開，其中f(xk-1)和h(xk)可以由泰勒一階展開式近似線性化為：

f(xk-1)≈

(2)

(3)

(4)

(5)

所以，可得到線性化系統(tǒng)模型為：

(6)

(7)

在使用EKF算法進(jìn)行預(yù)測之前，必須要根據(jù)電池的退化過程建立一個容量衰減模型。通過分析發(fā)現(xiàn)，指數(shù)容量衰減模型能很好的擬合鋰離子電池的容量衰減，由此得到針對式(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和量測方程：

xk=(ak,bk,ck,dk)

(8)

(9)

Qk=akexp(bkk)+ckexp(dkk)+vv～N(0,σv)

(10)

其中：k=1,2,...代表鋰離子電池充放電的循環(huán)周期(Cycle)。ak,bk,ck,dk是狀態(tài)變量中的未知參數(shù)。在使用EKF算法預(yù)測電池壽命之前，必須得到模型參數(shù)的初始值a0,b0,c0,d0的分布，然后利用EKF算法和已知容量衰減數(shù)據(jù)不斷的更新模型參數(shù)，從而電池壽命終止點(diǎn)的預(yù)測值。在電池的模型參數(shù)初始化完成以后，接下來進(jìn)行基于EKF算法的模型參數(shù)估計(jì)和循環(huán)壽命的預(yù)測(見圖2)。具體步驟如下所示：

1)從試驗(yàn)數(shù)據(jù)集中提取某電池(如6號電池)的容量數(shù)據(jù)Q06，對模型參數(shù)初始化。

2)設(shè)置預(yù)測起始點(diǎn)，T循環(huán)周期之前的數(shù)據(jù)為已知的歷史數(shù)據(jù)，從T循環(huán)周期之后的數(shù)據(jù)為未知數(shù)據(jù)。

3)利用EKF算法對T之前的電池容量數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)跟蹤，更新模型的參數(shù)，確定所用的容量衰退模型中的未知參數(shù)ak,bk,ck和dk。

4)設(shè)置壽命結(jié)束的閾值為電池額定容量的70%，即U=UE*70%=1.40Ah，然后利用式(10)繪出預(yù)測的曲線，容量的預(yù)測曲線到達(dá)閾值時的循環(huán)次數(shù)即為壽命終止點(diǎn)。

5)分析容量預(yù)測曲線的平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)和預(yù)測誤差。

圖2 基于EKF算法的模型參數(shù)估計(jì)和壽命預(yù)測流程

研究中發(fā)現(xiàn)，有時在部分點(diǎn)的預(yù)測會出現(xiàn)異常，如在某時刻會出現(xiàn)一個突變的峰值，發(fā)生原因可能是系統(tǒng)的過程噪聲影響，也可能是在實(shí)驗(yàn)過程中誤操作引起的。這種情況對于預(yù)測是不能接受的，因此下面將采用最優(yōu)Loess平滑對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行處理再利用EKF算法進(jìn)行預(yù)測。

2 基于最優(yōu)Loess平滑改進(jìn)EKF方法

Loess(locally weighted scatterplot smoothing)即局部加權(quán)回歸法。在數(shù)據(jù)的每一個點(diǎn)上，一個低水平的多項(xiàng)式(既非線性也非二次)用來模擬數(shù)據(jù)，隨著預(yù)測變量x的值逐漸接近被估計(jì)的點(diǎn)，模型就通過加權(quán)最小平方這一技術(shù)完成了。加權(quán)最小平方這種方法給接近估計(jì)值的點(diǎn)比較多的權(quán)重，遠(yuǎn)離估計(jì)值的點(diǎn)較少的權(quán)重。然后該點(diǎn)回歸函數(shù)的值可以通過利用改點(diǎn)的預(yù)測變量值所估計(jì)出來的二項(xiàng)式求得。Loess擬合就在利用回歸函數(shù)計(jì)算完n個數(shù)據(jù)點(diǎn)的值后完成。這種方法的許多細(xì)節(jié)是很靈活的。特別地，可以控制下列3個屬性：

1)多項(xiàng)式模型的階數(shù)。通常它是線性的(直線)或者是二次的(二階多項(xiàng)式)。

2)平滑參數(shù)。對一個特定x值的“臨近值”進(jìn)行了定義，平滑參數(shù)控制了Loess回歸函數(shù)的靈活性。平滑參數(shù)大的值會對應(yīng)最光滑的函數(shù)，隨著數(shù)據(jù)的波動它擺動的最小。平滑參數(shù)越小，回歸函數(shù)與數(shù)據(jù)貼合的越緊密。太小的回歸參數(shù)值是不可取的，因?yàn)榛貧w函數(shù)最終會獲得數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差。

3)權(quán)函數(shù)。權(quán)函數(shù)決定了在擬合Loess曲線時在一個鄰近的區(qū)間上的每一個數(shù)據(jù)在一個特定點(diǎn)所起到的作用。該函數(shù)賦予估計(jì)值的臨近點(diǎn)最大的權(quán)重，賦予估計(jì)值最遠(yuǎn)的點(diǎn)最小的權(quán)重。權(quán)重的使用基于預(yù)測變量空間上臨近的點(diǎn)較離得較遠(yuǎn)的點(diǎn)更有可能以簡單的方式聯(lián)系起來這一思想。按照這種邏輯，遵循局部模型最緊密的點(diǎn)會對局部模型參數(shù)產(chǎn)生最大的影響。反之，不太貼合局部模型的點(diǎn)則對局部模型參數(shù)估計(jì)影響不大。數(shù)學(xué)上Loess使用的傳統(tǒng)權(quán)函數(shù)是下面的三次方權(quán)函數(shù)：

(11)

Loess將線性回歸的簡易性與非線性回歸的靈活性結(jié)合起來。它是通過擬合簡單的模型來集中數(shù)據(jù)的子集進(jìn)而建立一個逐點(diǎn)描述數(shù)據(jù)間的關(guān)系的函數(shù)將這兩種性質(zhì)結(jié)合起來。該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是不需列舉數(shù)據(jù)的全部形式的函數(shù)來擬合模型，只需擬合部分?jǐn)?shù)據(jù)。

如圖3所示為當(dāng)預(yù)測起始點(diǎn)為T=100Cycle時，經(jīng)過最優(yōu)Loess平滑處理前后的預(yù)測曲線對比圖，從圖中可以看出，經(jīng)過最優(yōu)平滑處理后，不再出現(xiàn)異常跳變的峰值。

圖3 經(jīng)過最優(yōu)Loess平滑處理的數(shù)據(jù)

3 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

3.1 NASA的電池壽命預(yù)測仿真實(shí)驗(yàn)說明

美國NASA埃姆斯研究中心針對鋰離子電池搭建了試驗(yàn)環(huán)境，開展了加速壽命實(shí)驗(yàn)[7]，時間長達(dá)70周，試驗(yàn)對象為18 650鋰離子電池，額定容量為2 Ah。加速壽命實(shí)驗(yàn)是指在加大產(chǎn)品應(yīng)力水平的同時保持其失效機(jī)理不變的實(shí)驗(yàn)。壽命實(shí)驗(yàn)通常是產(chǎn)品可靠性評價的重要途徑，通過對產(chǎn)品樣本的壽命測試實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)樣本的失效時間進(jìn)而獲得產(chǎn)品平均壽命、失效分布、可靠度等實(shí)驗(yàn)結(jié)果。埃姆斯中心共采集了9組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)集參數(shù)包括溫度、時間、充放電電流、截止電壓和EIS頻率等。每組實(shí)驗(yàn)條件都不相同，同組實(shí)驗(yàn)的不同電池放電截止電壓也不盡相同，只有第一組實(shí)驗(yàn)是在室溫條件下進(jìn)行的常規(guī)退化性能測試結(jié)果，而其他組電池進(jìn)行的是加速壽命老化實(shí)驗(yàn)。本文只選用其中的第一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即包含4個鋰離子電池(B05，B06，B07，B18)，它們均在室溫下進(jìn)行了3組不同的實(shí)驗(yàn)(即充電、放電和阻抗測量實(shí)驗(yàn))，并同時記錄監(jiān)測數(shù)據(jù)。

NASA埃姆斯中心主要開展了充放電循環(huán)試驗(yàn)，并記錄相關(guān)數(shù)據(jù)用于后續(xù)的預(yù)測方法研究。試驗(yàn)數(shù)據(jù)類型主要有電壓類參數(shù)，包括終端電壓、充電電壓、負(fù)載電壓等；電流類參數(shù)，包括輸出電流、充電電流、負(fù)載電流等。其他還包括電池溫度、電池內(nèi)部阻抗、數(shù)據(jù)采集時間等。鋰離子電池充放電循環(huán)試驗(yàn)連續(xù)進(jìn)行，直到所有參試電池容量下降并最終失效。NASA將鋰離子電池的失效主要規(guī)定為電池的實(shí)際容量下降到某一失效閾值(即額定容量的百分之七十)，此時就可以認(rèn)為該電池已經(jīng)失效，無法再進(jìn)行有效的供電。如圖4所示。

圖4 NASA充放電循環(huán)試驗(yàn)中電池數(shù)據(jù)的容量退化曲線

3.2 基于EKF的壽命預(yù)測結(jié)果分析

將B05、B07和B18號電池的擬合曲線參數(shù)的均值作為電池B06容量退化模型的初始值，參數(shù)ak,bk,ck,dk的初始狀態(tài)分別為：為a0～N(1.926,1)，b0～N(-0.002563,1e-3)，c0～N(-0.0565,0.01)，d0～N(-0.1906,0.1)；過程噪聲分別為：wa～N(0,1e-4)，wb～N(0,1e-7)，wc～N(0,1e-6)，wd～N(0,1e-5)；量測噪聲為v～N(0,1e-4)。在B06號電池的模型參數(shù)初始化完成以后，接下來進(jìn)行基于EKF算法的模型參數(shù)估計(jì)和循環(huán)壽命的預(yù)測，包括：從NASA電池數(shù)據(jù)集中提取B06號電池的容量數(shù)據(jù)，對模型參數(shù)初始化；設(shè)置預(yù)測起始點(diǎn)T=(50，60，70，80，90，100)Cycle，T循環(huán)周期之前的數(shù)據(jù)為已知的歷史數(shù)據(jù)，從T循環(huán)周期之后的數(shù)據(jù)為未知數(shù)據(jù)；利用EKF算法對T之前的電池容量數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)跟蹤，更新模型的參數(shù)，從而確定所用的容量衰退模型中的未知參數(shù)ak,bk,ck和dk；利用(10)式繪出預(yù)測的曲線，分析容量預(yù)測曲線的平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)和壽命預(yù)測誤差等。利用上述的過程對NASA的B06號電池進(jìn)行預(yù)測，得到壽命預(yù)測的結(jié)果如圖5所示。

圖5 基于EKF的B06號電池在不同預(yù)測起始點(diǎn)T的壽命預(yù)測結(jié)果圖

從圖5可看出，NASA的B06號電池的真實(shí)壽命終止點(diǎn)為109Cycle，當(dāng)選定不同的預(yù)測起始點(diǎn)時，壽命預(yù)測的結(jié)果也不相同，如表1所示。

表1 基于EKF算法的B06號電池壽命預(yù)測結(jié)果

從表的預(yù)測結(jié)果中可以看出，隨著預(yù)測起始點(diǎn)T的向后推移，初始建模的數(shù)據(jù)量的增加，總體的建模結(jié)果更好，電池的壽命預(yù)測結(jié)果越來越接近電池壽命終止的真實(shí)值，但與此同時也發(fā)現(xiàn)，在部分點(diǎn)的預(yù)測出現(xiàn)異常如T=90時，此時的壽命預(yù)測的誤差比T=50時更大，這是因?yàn)锽06號電池的原始壽命退化曲線在T=90時出現(xiàn)一個突變的峰值，引起這種異常的原因可能是系統(tǒng)的過程噪聲影響，也有可能是在實(shí)驗(yàn)過程中存在誤操作所引起的。因此下面將用前述的最優(yōu)Loess平滑對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行處理再利用EKF算法進(jìn)行預(yù)測。

3.3 基于最優(yōu)Loess平滑改進(jìn)EKF的壽命預(yù)測結(jié)果分析

將最優(yōu)Loess平滑理論應(yīng)用于基本的EKF算法中，得到基于改進(jìn)的EKF算法電池壽命預(yù)測結(jié)果如圖6所示。

圖6 基于最優(yōu)Loess優(yōu)化和EKF的B06號電池在不同預(yù)測起始點(diǎn)T的壽命預(yù)測結(jié)果圖

從圖5中可以看出，B06號電池的真實(shí)壽命終止點(diǎn)為109Cycle，當(dāng)選定不同的預(yù)測起始點(diǎn)時，壽命預(yù)測的結(jié)果也不相同，具體如表2所示。

從上表的預(yù)測結(jié)果中可以看出，隨著預(yù)測起始點(diǎn)T的向后推移，初始建模數(shù)據(jù)量增加，總體的建模結(jié)果更好，電池的壽命預(yù)測結(jié)果越來越接近電池壽命終止的真實(shí)值，基本消除了原始數(shù)據(jù)中突變峰值點(diǎn)對預(yù)測結(jié)果的影響。

表2 基于最優(yōu)Loess平滑改進(jìn)EKF算法的B06號電池壽命預(yù)測結(jié)果

4 結(jié)論

鋰離子電池壽命預(yù)測是掌握電源性能衰退趨勢的重要手段。本文將擴(kuò)展卡爾曼濾波算法應(yīng)用于鋰離子電池的壽命預(yù)測，針對電池數(shù)據(jù)突變的峰值導(dǎo)致濾波效果不穩(wěn)定的問題，引入最優(yōu)Loess平滑原理對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間平滑處理，從而提高了壽命預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)定性和精確度。