基于龐得里亞金極大值原理的我國城鄉(xiāng)固定資產(chǎn)投資最優(yōu)分配比例

陳妙莉

[摘要]改革開放以來我國城鎮(zhèn)和農(nóng)村固定資產(chǎn)投資額的差距呈現(xiàn)逐年遞增的趨勢。本文利用經(jīng)濟(jì)控制論的方法，從城鎮(zhèn)和農(nóng)村地區(qū)固定資本投資差異的角度入手，建立宏觀經(jīng)濟(jì)總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解最優(yōu)解，并利用參數(shù)估計(jì)的結(jié)果計(jì)算了我國經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展時城鎮(zhèn)和農(nóng)村固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)分配比例。

[關(guān)鍵詞]城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展極大值原理最優(yōu)比例

一、引言

改革開放以來，我國農(nóng)村地區(qū)發(fā)生了翻天覆地的變化，農(nóng)民生活水平也得到了顯著的提高。但由于歷史因素、國家政策偏向等因素的影響，城鄉(xiāng)差距卻在不斷拉大。城鄉(xiāng)差距并沒有伴隨著中國經(jīng)濟(jì)總體的快速發(fā)展而縮小，反而出現(xiàn)持續(xù)擴(kuò)大的趨勢。其中，城鎮(zhèn)和農(nóng)村固定資產(chǎn)投資額之間的差距是很大的，且呈現(xiàn)逐年增大的趨勢。1991年以前，城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)投資額是農(nóng)村固定資產(chǎn)投資額2.6-2.9倍左右，2008年以來這一數(shù)據(jù)上升到6倍多，2011年更是高達(dá)6.9倍。

本文利用經(jīng)濟(jì)控制論的方法，從城鎮(zhèn)和農(nóng)村地區(qū)固定資本投資差異的角度入手，建立宏觀經(jīng)濟(jì)總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解最優(yōu)解，并利用參數(shù)估計(jì)的結(jié)果計(jì)算了我國經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展時城鎮(zhèn)和農(nóng)村固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)分配比例。

二、文獻(xiàn)回顧

控制論較為廣泛的運(yùn)用是基于龐得里亞金極大值原理的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，既有宏觀經(jīng)濟(jì)總量的最優(yōu)政策設(shè)計(jì)，也有微觀的如企業(yè)生產(chǎn)、投資等方面的最優(yōu)化問題。如李煌雁（2011）基于柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)和效用函數(shù)求解了宏觀經(jīng)濟(jì)最優(yōu)稅收政策；周朝民，李壽德等（2010）則以廠商價值最大化為目標(biāo)函數(shù)分析了廠商污染治理投資的最優(yōu)控制策略，結(jié)果表明，廠商污染治理投資和生產(chǎn)投資的最優(yōu)比例是1:1；路榮武，付政慶（2006）建立環(huán)境經(jīng)濟(jì)最優(yōu)控制模型分析了二氧化硫的最優(yōu)排放量問題。

對于最優(yōu)控制問題不止龐得里亞金極大值原理這一方法。趙果慶（2007）利用經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型和模型仿真的方法分析了我國“十一五”GDP能源單耗目標(biāo)最優(yōu)控制；成定平，劉光中（1997）利用極小值原理和廣義經(jīng)濟(jì)控制論的知識分析了貨幣供給動態(tài)模型和貨幣供應(yīng)量的最優(yōu)控制問題。

三、基于龐得里亞金極大值原理的經(jīng)濟(jì)模型求解

1.經(jīng)濟(jì)模型的建立

為簡化起見，構(gòu)造一個封閉的離散時間的宏觀經(jīng)濟(jì)動態(tài)系統(tǒng)模型：

生產(chǎn)函數(shù)：Y=F(K1，K2，L)

其中，Y為國民生產(chǎn)總值，即GDP；

K1為城鎮(zhèn)資本存量；K2為農(nóng)村資本存量；

L為勞動人口數(shù)。

為便于推導(dǎo)，本文的生產(chǎn)函數(shù)采用柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（即CD型生產(chǎn)函數(shù)）來近似描述：

Y=AK1αK1βL1-α-β

這里假設(shè)宏觀經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展時生產(chǎn)規(guī)模報酬不變。

在封閉經(jīng)濟(jì)條件下，產(chǎn)出的一部分用于消費(fèi)，一部分用于投資積累，投資率記為，本文假設(shè)投資積累率是給定的?？偼顿Y按區(qū)域分為城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)投資和農(nóng)村固定資本投資，分別記為I1和I2，于是有：

總投資I(t)=ρY(t)=I1(t)+I2(t)

總投資一部分分配給城鎮(zhèn)，另一部分部分分配給農(nóng)村。其中城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)投資的比例為σ，即：

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

其中，σ為比例系數(shù)，為本文經(jīng)濟(jì)模型的外生政策變量，也是本文所求變量。

城鎮(zhèn)固定資本存量K1(t)的變化遵循下式：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

其中，δ為固定資本折舊率。上式表示：第t+1年的固定資本存量等于第t年的固定資本存量減去固定資本折舊，再加上第t年新增固定資本投資額。

同理：K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

這里，假定城鎮(zhèn)和農(nóng)村的固定資本折舊率是一樣的。

利用經(jīng)濟(jì)控制論討論宏觀經(jīng)濟(jì)問題的首要步驟是構(gòu)造系統(tǒng)的目標(biāo)。本文設(shè)定的宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的目標(biāo)是：人均國民生產(chǎn)總值的累積量達(dá)到最大。

綜上，構(gòu)造如下的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

I1(t)+I2(t)=ρY(t)

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

y(t)=Y(t)/L(t)

其中，資本存量K1(t)、K2(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量；σ為外生政策變量，即系統(tǒng)控制輸入變量，為本文待求變量。

其中，各參數(shù)的取值范圍為：0＜α＜1，0＜β＜1，0＜δ＜1，0＜ρ＜1，0＜σ＜1。

該經(jīng)濟(jì)模型的幾個假設(shè)：

（1）生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變型。

（2）城鎮(zhèn)和農(nóng)村的固定資本折舊率一樣。

（3）投資累積率給定。

2.利用龐得里亞金極大值原理求解最優(yōu)比例

首先對上述模型構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)，得：

根據(jù)離散時間動態(tài)系統(tǒng)龐得里亞金極大值原理，模型必須滿足如下條件：

(1)控制輸入應(yīng)滿足：

(2）拉格朗日算子應(yīng)滿足：

(3）系統(tǒng)滿足狀態(tài)方程：K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

具體推導(dǎo)過程如下： K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

將狀態(tài)方程及相關(guān)計(jì)算公式帶入H函數(shù)中，得：

上式表明，宏觀經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展時，城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)的邊際產(chǎn)出等于農(nóng)村固定資產(chǎn)的邊際產(chǎn)出。這與經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展時各部門要素投入邊際產(chǎn)出相等的理論一致。

將生產(chǎn)函數(shù)Y=AK1αK1βL1-α-β帶入上式對求導(dǎo)可得。

由此可知，只要估計(jì)出生產(chǎn)函數(shù)中城鎮(zhèn)和農(nóng)村資本的生產(chǎn)彈性系數(shù)，就可得到所建立的經(jīng)濟(jì)模型的最優(yōu)解，即分配給城鎮(zhèn)的固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)比例。

四、數(shù)據(jù)處理及模型估計(jì)

1.數(shù)據(jù)處理。本文參數(shù)估計(jì)模型的數(shù)據(jù)均來自中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫，基于數(shù)據(jù)的可得性，采用1981年～2011年的年度數(shù)據(jù)。根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)的形式，本文選取產(chǎn)出水平Y(jié)、城鎮(zhèn)資本存量K1、農(nóng)村資本存量K2、勞動投入L四個變量進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。各變量對應(yīng)的數(shù)據(jù)指標(biāo)選取如下：

(1)產(chǎn)出水平Y(jié)。采用全國國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP作為衡量產(chǎn)出水平的指標(biāo)。為反映真實(shí)的產(chǎn)生水平，各年的GDP均剔除了價格因素的影響：即各年現(xiàn)價GDP除以以1978年為基期的定基居民消費(fèi)價格指數(shù)，得到各年真實(shí)GDP。

(2)資本存量K1、K2。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫中通常只給出各年的固定資產(chǎn)投資額或資本形成總額。而經(jīng)濟(jì)模型中生產(chǎn)函數(shù)里的K是一個存量的概念，以每年固定資產(chǎn)投資額或資本形成總額這一流量指標(biāo)作為K的衡量指標(biāo)顯然是違背理論的。因此，本文基于永續(xù)盤存法，參考資本存量估算的相關(guān)文獻(xiàn)粗劣估算了我國城鎮(zhèn)和農(nóng)村的資本存量水平，以此作為K1、K2的衡量指標(biāo)。

永續(xù)盤存法的基本公式：Kt=It+(1-δt)Kt-1

其中，Kt為t年資本存量，It為t年的投資，δt為折舊率，Kt-1為t-1年資本存量。

①在資本存量的估算中，It的選取主要有全社會固定資產(chǎn)投資總額、資本形成總額或固定資本形成總額幾種。本文采用固定資產(chǎn)投資總額。采用永續(xù)盤存法時，以當(dāng)年價格計(jì)算的投資必須用一定的價格指數(shù)進(jìn)行平減。為簡化起見，本文采用居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行平減，得到實(shí)際的城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)投資總額和農(nóng)村固定資產(chǎn)投資總額。②折舊率δt的估計(jì)由于折舊率在不同年份和不同行業(yè)中是不一致的，為了簡化，本文采用孫輝等（2010）選取的6%的折舊率。③基年資本存量K0的估計(jì)。資本存量初始值的估計(jì)方法主要有資本產(chǎn)出比和折舊-貼現(xiàn)法，也有筆者為簡化起見用初始年份固定資本形成總額除以10%直接得到初始資本存量水平。本文參考資本產(chǎn)出比為3、以1981年為基期估算初始資本存量。

（3）勞動投入L。為配合其他變量在平穩(wěn)性方面的要求，本文選取年末經(jīng)濟(jì)活動人口作為L的替代變量。由于2011年的數(shù)據(jù)缺失，本文用2010年的同比增長率進(jìn)行估計(jì)得到2011年的經(jīng)濟(jì)活動人口數(shù)。

2.模型估計(jì)及結(jié)果分析

將生產(chǎn)函數(shù)兩邊同時取對數(shù)得變量之間的線性關(guān)系：

利用Eviews6.0進(jìn)行OLS估計(jì)，得到：α=0.5445，β=0.2034。由此可得城鎮(zhèn)獲得的固定資產(chǎn)投資額的最優(yōu)比例：σ=0.7280。相應(yīng)可得到城鎮(zhèn)和農(nóng)村的固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)比例：I1:I2=2.61:1。

五、小結(jié)

本文通過建立簡化的宏觀經(jīng)濟(jì)總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解了城鎮(zhèn)與農(nóng)村固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)比例，并基于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型估計(jì)的參數(shù)計(jì)算了這一最優(yōu)比例。而實(shí)際數(shù)據(jù)則顯示我國城鎮(zhèn)和農(nóng)村的固定資產(chǎn)投資差距日益擴(kuò)大。當(dāng)前，我國總體經(jīng)濟(jì)水平呈平穩(wěn)增長趨勢，但經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的同時城鄉(xiāng)收入差距也日益擴(kuò)大。利用經(jīng)濟(jì)計(jì)量工具對城鄉(xiāng)固定資產(chǎn)投資與城鄉(xiāng)收入差距的相互關(guān)系進(jìn)行分析是本文今后進(jìn)一步研究的方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]張金水.經(jīng)濟(jì)控制論——動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析方法與運(yùn)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[2]李煌雁.宏觀經(jīng)濟(jì)最優(yōu)稅收政策淺談——柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)和效用函數(shù)[J].金融管理，2011（2）.

[3] 周朝民，李壽德等.廠商污染治理的最優(yōu)控制策略[J].系統(tǒng)管理學(xué)報，2010-12（6）.

[4] 路榮武，付政慶.二氧化硫排放總量——環(huán)境經(jīng)濟(jì)最優(yōu)控制模型及其應(yīng)用[J].青島大學(xué)報，2006-3（1）.

[5]趙果慶.我國“十一五”GDP能源單耗目標(biāo)最優(yōu)控制[J].中國軟科學(xué)，2007（12）.

[6]成定平，劉光中.貨幣供給動態(tài)模型和貨幣供應(yīng)量的最優(yōu)控制[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1997-12.

[7] 賀菊煌.我國資產(chǎn)的估算[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，1992（8）.

[8] 孫輝，李宏瑾.對中國各省資本存量的估計(jì)及典型性事實(shí)：1978—2008[J].廣東金融學(xué)院學(xué)報，2010-5.

[9] 張軍，吳桂英，張吉鵬.中國省際物質(zhì)資本存量估算：1952—2000[J].經(jīng)濟(jì)研究，2004（10）.

[10]高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模：Eviews應(yīng)用及實(shí)例（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009-5.