Boussinesq方程在工程建成后波浪增水及近岸流變化研究中的應(yīng)用

杜冰茹 朱良生

摘要：本文從完全非線性的Boussinesq方程出發(fā)，首先，對Kirby等（1998）建立的基于高階非線性Boussinesq方程的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行測試驗證，驗證結(jié)果表明由Boussinesq方程建立的非線性波模型具有較高的精度，可有效模擬近岸波浪變形及破碎過程。然后將該模型應(yīng)用于實際工程，模擬工程前后的波浪變化過程，模型很好的反應(yīng)了波浪傳播過程中的反射、折射、繞射、破碎、波生流以及增減水現(xiàn)象，最后，對工程前后模型結(jié)果進(jìn)行對比分析，反應(yīng)出實際工程導(dǎo)致增水和沿岸流的顯著變化。而目前工程設(shè)計中設(shè)計水位沒有考慮工程建成后設(shè)計水位的變化，這會對海工建筑物及保護(hù)區(qū)造成致命性的破壞。因此工程設(shè)計水位需考慮工程建成后設(shè)計水位的變化。

關(guān)鍵詞：Boussinesq 方程；破碎波；增水；爬高；折射

Abstract: This article begins with the fully nonlinear Boussinesq equations. Firstly, several example calculations are used to validate the nonlinear wave model which is based on the higher order nonlinear Boussinesq equations. Comparisons show that numerical results agree with experimental data with a higher accuracy. So it indicated that the nonlinear model can effectively simulate the Coastal wave propagation. Secondly, the model is applied to a coastal engineering and simulates the different wave propagation in the process of reflection, refraction, diffraction, breaking and the set-up before and after the establishment of project. Finally, the results are compared and analyzed. The study shows that the coastal engineering makes the water level and current change significantly. However the changes of the design water level which will cause fatal damage to the coastal engineering and the conservation areas after the completion of the coastal engineering is not considered in the current design standards. So it is important to consider the influence of the coastal engineering on the water level.

Key words: Boussinesq equations;Breaking wave;Setup; Run-up;Refraction

基于Boussinesq 方程建立的非線性波模型，可用于模擬近岸各種波浪傳播現(xiàn)象，包括淺水變形、全部或部分反射、繞射、折射、底部摩擦、非線性波-波相互作用、波浪破碎與耗散，越浪和爬高、波流相互作用以及波浪引起的潮流現(xiàn)象。 自20世紀(jì)80年代以來，Boussinesq方程的研究取得了極大的進(jìn)展，Boussinesq類波浪模型的應(yīng)用也日益廣泛。很多學(xué)者提出各種各樣的改進(jìn)型Boussinesq方程，主要體現(xiàn)在改變方程的頻散性和非線性以及考慮復(fù)雜地形作用、波浪破碎、水流的影響等方面。目前Boussinesq方程在相對水深達(dá)1.0強色散波浪時仍保持較高的準(zhǔn)確性，并且方程的非線性和線性變淺率都得到了不同程度的改善。

盡管改進(jìn)型Boussinesq方程擴(kuò)大了方程的適用范圍，得到了越來越廣泛的應(yīng)用，但仍存在一些亟待改進(jìn)的問題：① Boussinesq模型目前僅適用于一個波長范圍內(nèi)的水深，這對實際工程應(yīng)用有一定局限性，在色散性上需進(jìn)一步探索。② 考慮到其適用范圍的局限性，需要與SWAN、STWAVE、Mike21等近海風(fēng)浪模型建立耦合模型，發(fā)揮各模型的優(yōu)勢，使其能更好地模擬近海大范圍的波浪演變過程。

在工程應(yīng)用方面，Abbott等[1]首先Boussinesq模型應(yīng)用于較大區(qū)域進(jìn)行數(shù)值計算并研究了港口內(nèi)不規(guī)則波的波浪運動。Yoon[2]研究了波流相互作用；Schaffer等[3]研究了規(guī)則波的破碎，還研究了不規(guī)則波的近岸環(huán)流現(xiàn)象；Rakha和Kampuis 利用Boussinesq模型研究了海岸演變；Fuhrman等研究了深水強非線性短峰波。Boussinesq模型與RANS方程耦合求解，可以處理復(fù)雜的波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的問題。

Boussinesq模型廣泛應(yīng)用于近海工程的設(shè)計研究中，但是研究近海工程對各種設(shè)計波要素、水位、水流的變化還是比較少。徐芳，楊勝發(fā)等人研究碼頭工程對山區(qū)河道水位的影響，得出了計算碼頭工程相對最大水位雍高值關(guān)系式，為山區(qū)河道碼頭工程建設(shè)管理和設(shè)計提供參考。郁微微等人研究深水航道工程對長江口流場的影響，表明工程對長江口水位的影響較小而對流速的影響較大。隨著水運建設(shè)的蓬勃發(fā)展，港口碼頭的建設(shè)也日益增長，碼頭、防波堤、深水航道等建筑物改變水深條件，必將導(dǎo)致水位和水流特性變化。不同的碼頭防波堤布置類型和布置形式直接影響工程海域的水位和水流特性，是港口碼頭工程能否修建的重要前提，對其進(jìn)行研究具有重要的理論和實際意義。目前國內(nèi)外在工程設(shè)計水位時沒有考慮工程建成后設(shè)計水位的變化，這會對建筑物及保護(hù)區(qū)造成致命性的破壞。考慮海工建筑物對設(shè)計水位的影響，對指導(dǎo)近海工程項目的建設(shè)有著實際需要。

本文將完全非線性的Boussinesq模型結(jié)合工程實際，模擬工程前后水位和水流的變化情況，并對海工建筑物的設(shè)計提出建議。

1理論模式

本文采用Nwogu(1996)[4]格式的完全非線性Boussinesq 方程。該方程既適用于過渡水深，又可用于波浪的強非線性相互作用。方程表達(dá)式如下：（1）

是時間的函數(shù) 。體積通量密度 表達(dá)式如下：

在求解完全非線性Boussinesq方程時，為了消除比非線性和色散項更高階的誤差，在時間步上采用Adams-Bashforth-Moulten 復(fù)合格式，即在預(yù)測階段采用三階 Adams-Bashforth 格式，而在校正階段采用四階Adams-Moulten 格式。一階空間導(dǎo)數(shù)項的離散采用五點差分公式 Standard Five-point Finite-differencing，截斷誤差為四階，這樣在解非線性淺水波方程中產(chǎn)生的誤差在空間和時間步長上就減小到四階。二階空間導(dǎo)數(shù)采用三點差分公式。高階色散項的空間和時間的差分取二階精度，這將再一次減小截斷誤差，使截斷誤差小于這些高階色散項本身的大小。

2模型驗證

為了研究不規(guī)則波的淺水作用和破碎等特性，本文采用Mase和Kirby（1992）[5]經(jīng)典實驗地形進(jìn)行驗證。圖1顯示該實驗地形和裝置。通過左邊的造波器產(chǎn)生一組峰頻率為1.0 Hz的不規(guī)則波，先通再沿斜坡傳播。從斜坡角端開始，沿斜坡面分別布置11個測波儀，各個位置對應(yīng)的水深為：h=47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5 cm。該組不規(guī)則波將傳播12分鐘，各個位置的測波儀將同時收集到隨時間變化的波面值η。

該一維模型用于模擬波浪傳播。在這里將給出模型結(jié)果并與實驗數(shù)據(jù)作比較。峰頻為1.0 Hz的不規(guī)則波，它的彌散系數(shù)kh為2，這將超出標(biāo)準(zhǔn)（經(jīng)典）Boussinesq方程的有效范圍。然而，以下可見，擴(kuò)展型Boussinesq方程可適用于這種情況，并且模擬結(jié)果和實驗結(jié)果比較吻合。

利用滲透海床的方法處理海岸的邊界問題。在計算域的兩端增加海綿層（消浪層）來吸收波能。初始波場η、u、v的初始值都被設(shè)為零。

圖2顯示在水深h=35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5 cm處10個測波儀測量得到的隨時間變化的波面數(shù)據(jù)η實驗結(jié)果（實線）與模型結(jié)果（虛線）比較圖。可看出，除了波相位和波高有一些小差別，該模型所模擬的波浪淺水作用和破碎過程和實驗結(jié)果十分吻合（大部分波在水深為15 cm處開始破碎。

3模型應(yīng)用

本文嘗試將基于完全非線性的Boussinesq方程模型應(yīng)用于實際工程地形，模擬自然條件下和加入防波堤工程后，不規(guī)則波在近岸地區(qū)的折射、繞射、破碎、波生流的情況。圖3為工程區(qū)域的地形和網(wǎng)格圖，位于揭陽市惠來縣附近的近岸地區(qū)。采用3 8 1 0 m×4 560 m的矩形區(qū)域作為計算域，計算網(wǎng)格步長 ，時間步長

，計算總時間1 500 s。圖3~4表示水深分布圖，如圖所示，在計算區(qū)域最右端開邊界上造波，入射波采用JONSWAP型波譜，有效波高為5 m，入射波向為112o，譜峰周期為15 s，最小周期為7.16 s，最大周期為25 s,水位取設(shè)計高潮位1.83 m。造波板的位置要基本于等深線平行，與造波板相連的上下開邊界上設(shè)置消波海綿層，阻尼系數(shù)取1.0，海綿層寬度為40 m，即波浪能量在這寬度內(nèi)消散為零。陸地邊界也設(shè)置海綿層，阻尼系數(shù)為0.1，海綿層寬度為20 m，反射系數(shù)為50%。圖5表示自然條件下，在整個計算域波面穩(wěn)定的情況下的波高分布情況，底部表示海底地形。

由圖5可見，波浪在向岸邊傳播過程中，隨著水深變淺，波向不斷地趨向與等深線垂直，波浪在岸邊發(fā)生部分反射和破碎現(xiàn)象，進(jìn)一步驗證了模型的可靠性。圖6表示有效波高和由波浪破碎產(chǎn)生的沿岸流和離岸流情況。表明波浪破碎主要發(fā)生在近岸區(qū)域，產(chǎn)生的沿岸流和離岸流對泥沙的搬運起主要作用。圖7表示計算時段內(nèi)，增減水的平均分布圖和破碎點位置圖。由圖可見，波浪向岸傳播的過程中，由于水深減小，發(fā)生淺水變形，引起波高增大，最終發(fā)生破碎，破碎點位置大致如圖7所示；波浪破碎后，波高衰減。由于淺水變形和波浪破碎引起波高的變化，進(jìn)而造成波浪輻射應(yīng)力的沿程變化，進(jìn)而引起時均水面的變化，即波浪增減水。波浪向岸傳播過程中，先發(fā)生減水，直到波浪破碎后，發(fā)生增水。圖中最大增水為0.21 m，可見波浪輻射應(yīng)力對水位的影響不容忽視。由于建立防波堤或其他工程后，將會改變波浪破碎位置，導(dǎo)致在水位的變化，變化的幅度可能對工程造成致命的影響，所以工程的建立必須考慮工程對增減水的影響，確保工程的安全性。

下面考慮在該地區(qū)建立一個漁港，漁港大小為1.2 km×1.2 km。防波堤和漁港平面布置如圖7所示。防波堤長度1 km，寬度50 m，反射系數(shù)為50%，采用同樣的入射波條件，模擬漁港內(nèi)的波高和增減水情況。圖8表示波況穩(wěn)定下的3維波高分布情況，由圖可見，波浪傳播到防波堤位置，繞過防波堤往里傳播，形成以防波堤堤趾為圓心的波峰線，港池內(nèi)波高基本減小到0.2 m左右，可見，防波堤起到了很好的掩護(hù)效果。在防波堤外側(cè)發(fā)生部分反射，與入射波疊加，波高變大，波浪發(fā)生破碎，波面比較紊亂。圖9表示建立防波堤后的有效波高和波生流分布圖?？梢姡诜啦ǖ掏鈧?cè)波高變大，并發(fā)生破碎，因此產(chǎn)生沿堤邊的沿岸流和離岸流。在平行于造波板的堤身段，波高明顯變大，達(dá)到8 m，這對防波堤有嚴(yán)重的破壞性。圖10表示建立防波堤后，計算時段內(nèi)的增減水平均分布。由圖可見，在防波堤與陸地相連的部位，增水達(dá)到0.48 m，這是由于防波堤導(dǎo)致波浪輻射應(yīng)力發(fā)生變化，從而引起增水，而目前工程設(shè)計中設(shè)計水位沒有考慮工程建成后設(shè)計水位的變化，該增水幅度對防波堤很可能帶來致命性的毀壞。所以建設(shè)各種海工建筑物，都應(yīng)該在原來的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)上考慮加入工程后，工程對水位和波高的影響，對水位和波高增加的部位需提高設(shè)計參數(shù)。

4結(jié)語

本文對基于完全非線性Boussinesq方程的波浪模型進(jìn)行驗證，并應(yīng)用于近海工程，可得到以下結(jié)論：

1）基于Boussinesq 方程建立的非線性波模型，可用于模擬近岸各種波浪傳播現(xiàn)象，包括淺水變形、全部或部分反射、繞射、折射、底部摩擦、非線性波-波相互作用、波浪破碎與耗散，增減水、越浪和爬高、波流相互作用以及波浪引起的潮流現(xiàn)象。

2）利用Mase和Kirby（1992）經(jīng)典實驗地形進(jìn)行驗證，計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合。

3）將該模型應(yīng)用于近海工程區(qū)域，從模擬結(jié)果看，模型很好地反應(yīng)波浪在向岸傳播的過程中，發(fā)生了淺水變形、折射、反射、破碎、波生流以及增減水的各種現(xiàn)象。

4）波浪在向岸傳播過程中，由于海工建筑物和地形影響，導(dǎo)致波浪輻射應(yīng)力變化，從而產(chǎn)生明顯的增水變化，而目前工程設(shè)計水位沒有考慮工程建成后設(shè)計水位的變化。波浪增水變化可對海工建筑物造成致命性的破壞。因此工程設(shè)計，需考慮建工程對增水的影響，對水位增大的地方要提高設(shè)計參數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1] Abbott M B，Petersen H M，Skovgaard O.On the numerical modeling of short waves in shallow water[J].Hydrali Res，1978，16(3)：173-203.

[2] Yoon S B，Liu P L.Interactions of currents and weakly nonlinear water waves in shallow water[J].Fluid Mech，1989，205：397-419.

[3] Schaffer H A，Madsen P A，Deigaard R.A Boussinesq model for waves breaking in shallow water[J].Coast Engrg，1993，20：185—202.

[4] Nwogu, O. and Demirbilek, Z. (2001). BOUSS-2D: A Boussinesq wave model for coastal regions and harbors, ERDC/CHL TR-01-25, U.S. Army Engineer Research and Development Center, Vicksburg, MS.

[5] Mase, H. and Kirby, J. T., 1992, Modified frequency domain KDV equation for random wave shoaling, Proc. 23d Intl. Conf. Coastal Engrg, Venice, 474-487, October