Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

左占飛

摘要： 本文通過(guò)一些具體的例子，介紹了Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。說(shuō)明在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入軟件的學(xué)習(xí)，不僅使得抽象概念變得形象生動(dòng)，而且能避免冗長(zhǎng)繁雜的計(jì)算，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵字： Mathematica軟件高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用

一、引言

極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念，可以說(shuō)是高等數(shù)學(xué)中最重要、最具有代表性的概念，它們體現(xiàn)了應(yīng)用微積分的思想和方法，其應(yīng)用幾乎涵蓋了所有的自然學(xué)科。但上述概念對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是最難理解的，因?yàn)閺谋举|(zhì)上來(lái)說(shuō)它們有三種表示形態(tài)：邏輯形態(tài)、算法形態(tài)和直觀形態(tài)。大學(xué)老師呈現(xiàn)最多的是前兩種形態(tài)，因此造成大部分學(xué)生覺(jué)得高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)抽象枯燥，運(yùn)算繁瑣冗長(zhǎng)。為了幫助學(xué)生解決認(rèn)知中的困難，首先通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的直觀演示，加深學(xué)生對(duì)一些重要概念的理解，然后再詳細(xì)地介紹它們的邏輯形態(tài)和算法形態(tài)，這樣使得抽象概念的學(xué)習(xí)更加形象生動(dòng)。下面就Mathematica軟件在教學(xué)中的具體應(yīng)用談?wù)勑牡皿w會(huì)。

二、Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.運(yùn)用軟件演繹極限的概念

在同濟(jì)版的高等數(shù)學(xué)教材中，數(shù)列極限的引入借用的是劉徽的割圓術(shù)，即利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的面積，具體過(guò)程如下：

設(shè)有半徑為r的圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A■；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積為A■；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般的把內(nèi)接正6×2■邊形的面積記為A■。當(dāng)n越大，內(nèi)接正n邊形與圓的差別就越小，從而用其內(nèi)接正n邊形的面積A■逼近圓面積S，由圖1經(jīng)過(guò)計(jì)算可知A■=nr■sin■cos■（n=3，4，5，…），當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，A■無(wú)限逼近S。上述的文字?jǐn)⑹鲞^(guò)程在課本中非常繁瑣，如果我們只用語(yǔ)言表達(dá)，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)比較吃力，因?yàn)樗麄兛床坏絥無(wú)限增大時(shí)，A■與S逼近的程度。如果用Mathematica軟件，在圖1中用動(dòng)畫(huà)的方式將上述過(guò)程演示出來(lái)，學(xué)生就會(huì)更加直觀地看到上述逼近的過(guò)程，從而對(duì)極限概念有一個(gè)更直接的感官認(rèn)識(shí)。用這樣的幾何直觀再配合理論推導(dǎo)，學(xué)生反映普遍較好，取得了比較明顯的教學(xué)效果。

圖1

2.運(yùn)用軟件演繹導(dǎo)數(shù)的定義

在高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)概念的引入主要是來(lái)源于兩個(gè)問(wèn)題：瞬時(shí)速度的計(jì)算和切線問(wèn)題。我們?cè)诮虒W(xué)中采用了第二個(gè)問(wèn)題，用Mathematica來(lái)演繹導(dǎo)數(shù)的定義。首先給出函數(shù)在點(diǎn)x■導(dǎo)數(shù)的定義：

■■=■■=f′（x■）

單從定義上去看，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限，學(xué)生理解起來(lái)還是有些困難.如果借助圖2，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義去講解就會(huì)比較容易，而且可以利用Mathematica選中上面的所有圖形，并從菜單中演示動(dòng)畫(huà)（如圖3），從中注意觀察割線逼近切線的過(guò)程及割線斜率逼近導(dǎo)數(shù)值的過(guò)程，讓學(xué)生直觀地了解切線為一系列的割線運(yùn)動(dòng)的極限位置。

圖2圖3

3.運(yùn)用軟件演繹定積分的定義

定積分的定義是高等數(shù)學(xué)里比較難理解的一個(gè)概念，因?yàn)樗颓吿菪蔚拿娣e求法密切相關(guān)，步驟比較復(fù)雜。估算函數(shù)的積分值，教材中一般采用的矩形法，所謂矩形法就是把函數(shù)曲線下方的區(qū)域分成許多小矩形，再根據(jù)這些矩形面積的總和估計(jì)出函數(shù)的積分值。雖然Mathematica沒(méi)有內(nèi)置與矩形法相關(guān)的命令，但是我們可以利用其強(qiáng)大的圖形功能，編制程序?qū)崿F(xiàn)矩形法，具體的程序可參閱文獻(xiàn)[1]。我們以函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間[0，π]上的定積分為例，通過(guò)直觀圖4發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n不斷增大時(shí)，黎曼和不斷接近積分真實(shí)值2，而且這種差距，即二者之差的絕對(duì)值（稱之為誤差——Error）隨著n的增大而越來(lái)越小。需要說(shuō)明的是，在實(shí)際教學(xué)中上述圖形陰影部分和曲線的顏色是不同色彩的，并且以動(dòng)畫(huà)的形式給出，學(xué)生反映效果極佳。

圖4

4.軟件在基本運(yùn)算方面的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)除了基本概念的學(xué)習(xí)，還有一項(xiàng)就是掌握基本的運(yùn)算，包括計(jì)算極限，導(dǎo)數(shù)和積分（定積分和不定積分）等。Mathematica強(qiáng)大的計(jì)算功能，可以幫助學(xué)生們輕松地解決一些難題，例如一些復(fù)雜函數(shù)的極限問(wèn)題。

例1：判斷函數(shù)■在0是否存在極限，如果存在求出極限值。

研究生入學(xué)考試中存在不少這樣的題型，如果用傳統(tǒng)的方法，計(jì)算起來(lái)是非常困難的，甚至有沒(méi)有極限我們都不敢保證。運(yùn)用Mathematica的基本命令limit[■，x→0]很容易得到極限的結(jié)果1/6。有了這個(gè)結(jié)果再去猜想解題的方法。這樣的逆向思維方式在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，而且一旦學(xué)生掌握了，就會(huì)產(chǎn)生去嘗試解決比較困難習(xí)題的沖動(dòng)，因而調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。當(dāng)然對(duì)于導(dǎo)數(shù)和積分，用Mathematica計(jì)算也很方便，特別是求一些復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)和積分問(wèn)題，軟件的運(yùn)算優(yōu)勢(shì)就表現(xiàn)得非常明顯。

例2：計(jì)算sinx■y對(duì)x的2階偏導(dǎo)數(shù)。

我們只需要輸入D[sin[x^100*y]，{x，2}]很快便得到結(jié)果：

9900x■ycosx■y-10000x■y■sinx■y

如果我們把偏導(dǎo)的階數(shù)提高到10階或者更高再來(lái)對(duì)比，軟件的運(yùn)算優(yōu)勢(shì)就會(huì)表現(xiàn)得非常明顯，限于篇幅的關(guān)系就不列舉了，有興趣的學(xué)生可以自己嘗試一下。

例3：計(jì)算定積分

此題中被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，用一元函數(shù)的積分方法無(wú)法求解，若是借助軟件運(yùn)行命令NIntegrate[Exp[-x^2]，{x，0，3}]，則很容易得到其數(shù)值解0.886207，并且我們還可以自己調(diào)節(jié)精度。

但我們也應(yīng)清醒地認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)運(yùn)算是教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，是提高學(xué)生素質(zhì)的重要手段。如果學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算機(jī)，而忽視數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)，反而不利于教學(xué)質(zhì)量的提高。在引進(jìn)Mathematica進(jìn)行計(jì)算的同時(shí)，我們不能忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，應(yīng)該在基本概念、基本運(yùn)算按大綱要求講解完成后，將Mathematica作為鞏固已學(xué)知識(shí)、提高學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力的有利工具。

三、結(jié)語(yǔ)

引入Mathematica軟件進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)，給傳統(tǒng)的教學(xué)注入了活力，使得抽象概念變得形象生動(dòng)，冗長(zhǎng)繁雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。今后還要對(duì)Mathematica軟件如何深入地與教學(xué)相結(jié)合的問(wèn)題做進(jìn)一步探討，提高信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的實(shí)效性，提高教學(xué)的質(zhì)量與效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭靖波.將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入微積分教學(xué)的實(shí)踐.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)[J].2003（1）：82-83.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.