談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維縝密性的培養(yǎng)

王守徐

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，思維縝密性也是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一.但是在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分析解決問題的時(shí)候，有的思路理不清，考慮欠佳，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤；有的敘述不嚴(yán)謹(jǐn)，丟三落四，顧此失彼，漏洞百出.為了克服這些不良傾向，逐步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)和縝密的思維習(xí)慣，筆者在教學(xué)中做了有益的嘗試.

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

如果對教材中的概念還有法則公式等理解不透徹，只注重結(jié)論的表面形式，而忽視其前提條件，勢必導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤.

譬如雙曲線的定義：“平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F■，F(xiàn)■的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a（2a<|F■F■|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.”教學(xué)中對“絕對值”“差”“常數(shù)”等這些重要的字眼要認(rèn)真地研讀，理解這些字眼的真正含義，忽視其中任何一點(diǎn)，軌跡都不表示雙曲線.

故在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)公式和法則的特點(diǎn)與成立的附加條件.只有從理論上武裝學(xué)生的思想，并且打牢基本知識(shí)，才能有效地在解題中避免出錯(cuò).還得經(jīng)常運(yùn)用學(xué)過的概念、法則等，反復(fù)地練習(xí)，加深對知識(shí)點(diǎn)的深刻理解.這樣做的好處有：可以減少學(xué)生單純記公式的煩惱與枯燥無味，并且全方位、多角度地加深學(xué)生對公式的理解，避免應(yīng)用時(shí)出錯(cuò).

2.敘述嚴(yán)之有理，推理步步有據(jù)

學(xué)生思維的過程和結(jié)果都要靠語言反映出來，也就是說語言是思維的結(jié)果.同時(shí)語言又反作用于思維.如果教學(xué)中處處注意培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的語言習(xí)慣，勢必能增強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性。這樣有助于學(xué)生對概念的透徹理解，準(zhǔn)確地理解教材中的結(jié)論和相關(guān)的解題過程，并且提高口頭表達(dá)和推理書寫的能力.

例1：已知a，b，c∈R■，求證：■≥abc.

錯(cuò)解：∵a，b，c∈R■

∴a■b■+b■c■+c■a■≥3abc■（1）

a+b+c≥3■（2）

■得■≥abc

剖析：上面的證明似乎天衣無縫，但細(xì)心者不難發(fā)現(xiàn)，在證明過程中用到的證據(jù)之一“若a>b>0，c>d>0，則■>■”是虛假的.事實(shí)上，舉一個(gè)反例就可以發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)假命題.例如：5>4>0，3>2>0，而■<■.因此，原題的真實(shí)性就無法判斷.

正解：∵a，b，c∈R■，∴a■b■+b■c■≥2abc■（1）.

同理，b■c■+c■a■≥2abc■（2），

a■b■+c■a■≥2bca■（3）.

將以上三式相加得：a■b■+b■c■+c■a■≥（a+b+c）abc.

∴■≥abc.

3.審視題設(shè)條件，挖掘隱含信息

很多學(xué)生在解題時(shí)，往往只著眼于題中給出的現(xiàn)成的已知的條件.缺乏揭示被掩蓋了的條件的能力，造成了思維受阻或思維偏向.在教學(xué)中，要盡量預(yù)見學(xué)生思維的易混點(diǎn)，讓學(xué)生思考、辨析，避免應(yīng)用時(shí)出錯(cuò)；或者故意設(shè)置思維障礙，引導(dǎo)學(xué)生上當(dāng)受騙，讓他們吃一塹長一智.從反面提醒學(xué)生，往往比教師單純地正面強(qiáng)調(diào)更有效，學(xué)生印象也更深刻.

例2：若0<α<π，且sinα+cosα=■，則tanα的值為？搖？搖？搖？搖.

錯(cuò)解：將sinα+cosα=■兩邊平方得sin2α=-■.

∵0<α<π，∴0<2α<2π.

∴cos2α=±■=±■.∴tanα=■=-3或-■.

剖析：關(guān)鍵是確定cos2α的符號，由0<α<π，且sinα+cosα=■可知■<α<■，∴π<2α<■，cos2α=-■，∴tanα=-3.

4.關(guān)注特殊情形，捕捉疏漏所在

在教學(xué)時(shí)，教師既要著眼于教材中的現(xiàn)成的結(jié)論進(jìn)行縝密的思維模仿教學(xué)與訓(xùn)練，更要針對學(xué)生的知識(shí)缺漏或者是思維盲區(qū)，讓學(xué)生通過思考逐步完善.

5.尋找適當(dāng)?shù)腻e(cuò)誤案例進(jìn)行逆向反駁

在解題教學(xué)中，我們要逐步培養(yǎng)學(xué)生一題多思，使學(xué)生養(yǎng)成從不同角度認(rèn)真檢查的習(xí)慣，通過尋找一些反例來審視題目或者結(jié)論的正確與否，引導(dǎo)學(xué)生分析辨別.

例2：函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對于定義域中的任一的值都有|f（x）|=|f（-x）|，則（？搖？搖？搖？搖）

（A）f（x）是奇函數(shù)

（B）f（x）不可能是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

（C）f（x）是偶函數(shù)

（D）f（x）可能是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

對于這道富有挑戰(zhàn)性的問題，有些學(xué)生輕易地選了（C），但許多學(xué)生不同意，憑直覺認(rèn)為應(yīng)選（D），但一時(shí)又舉不出具有說服力的反例.學(xué)生調(diào)動(dòng)智慧與知識(shí)貯存，通過嘗試探尋，終于找到令人叫絕的反例：

若函數(shù)f（x）=-x（-2≤x<-1）x（-1≤x<0或0

6.開展解題反思，增強(qiáng)監(jiān)控意識(shí)

要增強(qiáng)學(xué)生的自我反省、自我監(jiān)控意識(shí)，要求學(xué)生時(shí)時(shí)反?。哼@條路是否清晰？這種方法恰當(dāng)嗎？這樣對嗎？這樣的思路好嗎？等等。若能恰當(dāng)利用特殊化方法，揭示學(xué)生的問題所在，就會(huì)使學(xué)生有頓悟之感，從而達(dá)到培養(yǎng)思維縝密性的目的.

要提高學(xué)生思維的縝密性，教師的師范作用是必不可少的.一個(gè)口頭語言不夠標(biāo)準(zhǔn)，板書不夠條理，推理不夠嚴(yán)密，思維缺乏層次的教師，是不可能培養(yǎng)出具有較強(qiáng)的口頭表達(dá)能力和推理能力的學(xué)生的.除此之外，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維方法的橫向交流.因?yàn)閷W(xué)生之間、師生之間思維存在一定的差異，要讓學(xué)生之間相互取長補(bǔ)短.這樣做，毫無疑問，能不斷提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.