關(guān)于方差分析的一種直覺推導(dǎo)和一個現(xiàn)實(shí)應(yīng)用

黃海燕

摘 要：方差分析是一種重要的用于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計方法，常用于分析和判斷某一因素的不同水平對事物的影響是否有顯著差異。雖然方差分析有非常廣泛的應(yīng)用，但不少統(tǒng)計方法應(yīng)用者對方差分析中采用F檢驗(yàn)的原因并不清楚。而且，也很難發(fā)現(xiàn)有中外文獻(xiàn)或資料對此原因做出解釋。長期以來，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計量似乎已成為方差分析約定俗成的既定工具。文章從較為直觀的視角，結(jié)合統(tǒng)計常識和基礎(chǔ)知識，對方差分析中的F檢驗(yàn)統(tǒng)計量進(jìn)行了較為充分的推導(dǎo)和證明。這種包含直覺成分的推導(dǎo)思路和過程很有可能與原有的推導(dǎo)有很大不同，但其一樣有效地詮釋了方差分析F檢驗(yàn)的機(jī)理和實(shí)質(zhì)。

關(guān)鍵詞：方差分析 F檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn) 理論推導(dǎo) 合并總體

中圖分類號:F222文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-4914（2012）09-038-03

一、引言

方差分析是檢驗(yàn)多個總體均值是否相等的統(tǒng)計方法。當(dāng)要判斷分類型自變量是否對數(shù)值型因變量有顯著影響時，可以采用方差分析的方法。例如，要判斷不同種化肥對農(nóng)作物的產(chǎn)量是否有顯著影響、不同生產(chǎn)工藝對產(chǎn)品的質(zhì)量是否有顯著影響、不同的培訓(xùn)項目對員工技能提高是否有顯著影響等，都可以考慮通過方差分析對問題進(jìn)行研究。

作為一種非常重要的檢驗(yàn)方法，方差分析采用F檢驗(yàn)統(tǒng)計量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。雖然方差分析有非常廣泛的應(yīng)用，但不少的使用者并不十分清楚為什么采用F檢驗(yàn)進(jìn)行方差分析。所見到的文獻(xiàn)幾乎都把方差分析中的F檢驗(yàn)僅作為一種統(tǒng)計工具予以介紹，而并不對方差分析中之所以采用F檢驗(yàn)的原因進(jìn)行解釋。筆者目前還沒見到關(guān)于方差分析F檢驗(yàn)推導(dǎo)過程的中外相關(guān)文獻(xiàn)或資料。

作為一種科學(xué)的統(tǒng)計檢驗(yàn)方法，方差分析中采用F檢驗(yàn)統(tǒng)計量肯定有其非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過程，這是勿容置疑的。但或許正是由于其推導(dǎo)過程過于嚴(yán)格和復(fù)雜，從而鮮有文獻(xiàn)資料對其給以說明和推證，只是把F檢驗(yàn)作為一種約定俗成的做法施加于方差分析過程。

本文筆者通過思考，嘗試找到一種關(guān)于方差分析F檢驗(yàn)的推導(dǎo)方法。在整個推導(dǎo)過程中，所采用的都是一些基礎(chǔ)性的統(tǒng)計知識，并摻插著對統(tǒng)計學(xué)問題的直覺認(rèn)識。所以，筆者所采用的推導(dǎo)方法并不復(fù)雜，很容易讓方差分析方法的使用者明白使用F檢驗(yàn)統(tǒng)計量的個中緣由。本文第二部分再現(xiàn)了這種推導(dǎo)過程。但有別于原本的方差分析推導(dǎo)過程所應(yīng)具有的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性，本推導(dǎo)過程中的個別環(huán)節(jié)可能還值得進(jìn)一步推敲。希望能與讀者進(jìn)行相關(guān)交流和探討。本文的第三部分提供了一個用方差分析進(jìn)行產(chǎn)品改良的商業(yè)案例，用以展現(xiàn)方差分析的具體過程和應(yīng)用價值。

二、對方差分析F檢驗(yàn)統(tǒng)計量的直覺推導(dǎo)

（一）方差分析基本內(nèi)容

方差分析是要判斷分類型自變量是否對數(shù)值型因變量有顯著影響。分類型自變量代表著某種影響因素或稱為因子。影響因素以某一水平作用于若干個體對象上。所有可能被因素施以某一（水平）影響的個體構(gòu)成一個相應(yīng)的總體，而所觀察到的受到因素某一（水平）具體影響的所有個體構(gòu)成一個觀測樣本。這樣，如果某一影響因素具有k個水平，意味著分類型自變量可以取k個不同的數(shù)值，因素k個水平下的觀測值共構(gòu)成k個對應(yīng)樣本。

若考察單一因素不同水平的影響，樣本觀測值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下表1所示。影響因素第i水平下有ni個觀測值，即第i個樣本包含ni個個體。個體總數(shù)n=n1+n2+…nk。來自第i個總體（水平）的第j個觀測值為xij。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以計算出如下統(tǒng)計量：因素各水平下觀測值的均值ｘˉi、全部觀測值的總均值ｘ＝、總誤差平方和SST、組間誤差平方和SSA、組內(nèi)誤差平方和SSE。在此基礎(chǔ)上，還可以通過SSA和SSE分別除以各自的自由度，進(jìn)一步計算出組間均方MSA以及組內(nèi)均方MSE。

方差分析要根據(jù)k個樣本提供的信息判斷k個總體的均值是否相等。若k個因素水平所對應(yīng)總體的均值分別為μ1,μ2,…，μk，則方差分析的原假設(shè)和備擇假設(shè)可陳述為：

H0∶μ1=μ2…=μkH1∶μ1，μ2…，μk不全相等

對假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的統(tǒng)計量為：

F=■～F（k-1,n-k）

此為F統(tǒng)計量。其中，k-1和n-k分別為F分布的第一和第二自由度，并分別與SSA和SSE（或者說，與組間均方MSA、組內(nèi)均方MSE的計算）相對應(yīng)。

（二）F檢驗(yàn)統(tǒng)計量推導(dǎo)過程

方差分析有三個基本假定：（1）每個總體都服從正態(tài)分布；（2）各個總體的方差相同；（3）觀測值獨(dú)立。在這些假定下，k個總體的分布如圖1所示。

如果原假設(shè)“H0∶μ1=μ2…=μk”成立，則k個總體的分布完全相同，如圖2所示。由k個總體合并一起構(gòu)成的“合并總體”的分布等同于任一水平所對應(yīng)總體的分布。用σ2E表示任一水平所對應(yīng)總體的方差，σ2P表示k個總體構(gòu)成的“合并總體”的方差，μP表示“合并總體”的均值，則由“μ1=μ2…=μk”可知：μP=μk，σ2P=σ2E。所以，“μ1=μ2…=μk”等價于“σ2P=σ2E”。

如果原假設(shè)不成立，即備擇假設(shè)“H1∶μ1，μ2…，μk不全相等”成立，則由k個總體合并一起構(gòu)成的“合并總體”的分布將不同于任一水平所對應(yīng)的總體的分布?！昂喜⒖傮w”相對于與每一水平所對應(yīng)總體來說，其個體之間的差異將變大，分布將更離散，從而其概率密度曲線將更扁平，如圖3所示。類似方差分析中給出的“每個總體都服從正態(tài)分布”的基本假定，這里同樣假定“合并總體”服從正態(tài)分布。

依然用σ2E表示任一水平所對應(yīng)總體的方差，σ2P表示k個總體構(gòu)成的“合并總體”的方差，則由“μ1,μ2…，μk不全相等”可知：σ2P＞σ2E。所以，“μ1,μ2…，μk不全相等”等價于“σ2P＞σ2E”。

從以上的分析能夠看出，方差分析中原假設(shè)和備擇假設(shè)關(guān)于均值的陳述

H0∶μ1=μ2…=μkH1∶μ1，μ2，…，μk不全相等

可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于方差的陳述

H0∶σ2P=σ2EH1∶σ2P＞σ2E

在上述的假設(shè)陳述轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上，下面分析檢驗(yàn)統(tǒng)計量的構(gòu)建。對于k個總體中的第i個總體，根據(jù)χ2分布的定義等知識或者直接根據(jù)樣本方差的抽樣分布，可得

■～χ2(ni-1)

再根據(jù)χ2分布的可加性，將k個總體的上述統(tǒng)計量相加，得

■～χ2(n-k)

即■～χ2(n-k)（式子1）

從k個總體構(gòu)成的“合并總體”的角度，原本對應(yīng)于第i個水平的ni個觀測值構(gòu)成一個容量為ni的隨機(jī)樣本。還用σ2P表示“合并總體”的方差，μp表示“合并總體”的均值。在前述的“合并總體服從正態(tài)分布”的假定下，有

ｘ－i～N(μp，■)（式子2）

需要說明的是，如果第i個水平的ni個觀測值足夠多，亦即隨機(jī)樣本的容量ni足夠大，完全可以放松前述的“合并總體服從正態(tài)分布”的假定。

根據(jù)χ2分布的定義，由式子2得

■～χ2（1）

即■～χ2（1）

對于k個隨機(jī)樣本，根據(jù)χ2分布的可加性，得

■■～χ2(k)

上式中μp未知，用總均值ｘ＝來估計和替換。由于ｘ＝是k個ｘ－i的加權(quán)平均數(shù)，意味著對上式中所涉及到的k個ｘ－i施加了一個約束條件，所以ｘ－i，從而χ2分布的自由度下降1，即

■■～χ2(k-1)

于是■～χ2(k-1)（式子3）

根據(jù)F分布的定義（兩個χ2分布除以各自的自由度，服從F分布），將式子1和式子3左側(cè)除以各自對應(yīng)的自由度，然后再進(jìn)行對比，得

■■～F(k-1,n-k)

因?yàn)镸SA=■，MSE=■，所以

■～F（k-1，n-k）（式子4）

對于原假設(shè)和備擇假設(shè)

H0∶σ2P=σ2EH1∶σ2P＞σ2E

檢驗(yàn)統(tǒng)計量為式子4當(dāng)原假設(shè)成立時的情形，所以檢驗(yàn)統(tǒng)計量為

F=■～F（k-1,n-k）（式子5）

此假設(shè)檢驗(yàn)為右側(cè)檢驗(yàn)。對于給定的顯著性水平α，根據(jù)式子5中F檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值是否大于臨界值Fα(k-1,n-k)判斷是否拒絕H0∶σ2P=σ2E，亦即據(jù)此判斷是否拒絕H0∶μ1=μ2…=μk。

三、方差分析方法的一個具體運(yùn)用案例

一家飲料生產(chǎn)廠商某種飲料的銷售情況一直不好，其準(zhǔn)備從口感和營養(yǎng)概念方面對此種飲料進(jìn)行改良。針對口感方面，飲料廠商設(shè)計了三種不同的口味配方（配方A、B和C），并分別在三個大型商場同時對消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查。消費(fèi)者品嘗飲料某一口味配方樣品后，對口感情況進(jìn)行評分。評分分值介于0到100分之間。接受三種口味配方A、B和C品嘗調(diào)查的消費(fèi)者分別為50人、60人和55人。調(diào)查數(shù)據(jù)在這里省略。此飲料廠商希望通過調(diào)查和分析，判斷飲料的三種口味配方是否顯著影響消費(fèi)者的口感評價，并確定是否從中選擇一種較優(yōu)的配方方案。

要判斷飲料的三種口味配方是否顯著影響消費(fèi)者的口感評價，等同于判斷消費(fèi)者對飲料的三種口味配方的口感評價是否有顯著差異，因此要判斷消費(fèi)者（包括現(xiàn)實(shí)的和潛在的消費(fèi)者）對三種口味配方的口感評價的均值是否相等。針對此問題，可以采用方差分析（單因素方差分析）等統(tǒng)計分析方法。

方差分析作為一種假設(shè)檢驗(yàn)方法，首先要提（下轉(zhuǎn)第41頁）（上接第39頁）出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

H0∶μA=μB=μCH1∶μA，μB，μC不全相等

而進(jìn)行方差分析，數(shù)據(jù)應(yīng)滿足前述的方差分析的三個假設(shè)條件。在此問題中，正態(tài)性檢驗(yàn)從略。由于消費(fèi)者調(diào)查是分開進(jìn)行，可認(rèn)為數(shù)據(jù)的獨(dú)立性不存在問題。對于方差相等性，使用Minitab軟件進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖4的結(jié)果容易看出，Bartlett檢驗(yàn)的P值為0.861，Levene檢驗(yàn)的P值為0.752，可以認(rèn)為飲料不同口味配方所對應(yīng)的3個消費(fèi)者總體的方差是相等的。

繼續(xù)使用Minitab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行單因素方差分析，分析的主要結(jié)果如表2所示。

從表2所示的分析結(jié)果可以看出，F(xiàn)檢驗(yàn)的P值為0，檢驗(yàn)結(jié)果顯著，說明飲料的三種不同口味配方顯著影響消費(fèi)者的口感評價，其效果有很大差異。另外，從口感評價的95%置信區(qū)間估計來看，口味配方B應(yīng)該是三者之中較優(yōu)的配方方案。

四、結(jié)論

方差分析是一種非常重要的假設(shè)檢驗(yàn)方法，常用于判斷某一因素的不同水平對事物的影響是否有顯著差異。方差分析在各個領(lǐng)域都有非?，F(xiàn)實(shí)的應(yīng)用，廣泛用于產(chǎn)品改良和流程設(shè)計。本文運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)知識，結(jié)合對相關(guān)問題的直覺認(rèn)識，對方差分析檢驗(yàn)統(tǒng)計量進(jìn)行了推導(dǎo)和解釋。除了對方差分析的推導(dǎo)，本文還給出了一個企業(yè)通過方差分析進(jìn)行產(chǎn)品改良的商業(yè)案例。此案例雖然只是方差分析的一個具體應(yīng)用，但其真實(shí)再現(xiàn)了方差分析的應(yīng)用過程和現(xiàn)實(shí)意義。本文所進(jìn)行的關(guān)于方差分析的理論推導(dǎo)和案例演示，將有助于廣大方差分析使用者充分理解方差分析的機(jī)理和實(shí)質(zhì)，而不僅僅局限于把方差分析中的檢驗(yàn)作為一種慣常做法或者約定俗成的工具。

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Mason，OH：South-Western Cengage Learning，2011

（作者單位:鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院 河南新鄭 451150）

（責(zé)編:賈偉）