淺析數(shù)學(xué)開放題的解題策略

吳治國(guó)

開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計(jì)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)中缺乏主動(dòng)參與的過程。那么在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來？我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開放”。

一、開放問題的構(gòu)建

有了開放的意識(shí)，加上方法指導(dǎo)，開放才會(huì)成為可能。開放問題的構(gòu)建主要從兩個(gè)方面進(jìn)行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式：

[例1]已知a，b，c∈R+，并且，a

除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問題的角度，或同時(shí)對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合，可獲得如下思路：兩點(diǎn)（b，a）、（—m，—m）的連線的斜率大于兩點(diǎn)（b，a）、（0，0）的連線的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。

[例2]用實(shí)際例子說明

所表示的意義

給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度出發(fā)給出實(shí)例。

（1）X表示時(shí)間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10/s的初速度作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為2m/s2，5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以—2m/s2的加速度作勻減速運(yùn)動(dòng)，直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。

（2）季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來之時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服飾開始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過去，平均每周削價(jià)2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實(shí)例開始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往較少考慮實(shí)際意義，本題旨在通過學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問題理解上的開放。

三、開放問題的探索

開放的行為給上面三個(gè)簡(jiǎn)單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識(shí)的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以《解析幾何》教材上的一道例題為例來看開放問題的探索。

[例3]由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。

問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點(diǎn)”等。然后對(duì)這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。

對(duì)A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問題向三個(gè)方向延伸。

如改變位置，將A寫成“（x—a）2+（y—b）2=4”，即可得所求的軌跡方程為（x—a）2+（2y—b）2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問題：圓x2+（y—b）2=4與橢圓x2+（2y—b）2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由。

簡(jiǎn)解：解方程組

得 y=0 或y=2b/3

當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4，

（1）若b<—2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)；

（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）若 —2

當(dāng)y=2b/3時(shí)，x2+b2/9=4，

（1）若b<—6或b>6，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)；

（2）若b=±6，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）若—6

綜上所述，圓x2+（y—b）2=4與橢圓x2+（2y—b）2=4，當(dāng)b<—6或b>6時(shí)沒有公共點(diǎn)；當(dāng)b=±6時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)—6

上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。

再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時(shí)，圓x2+（y—b）2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+（2y—b）2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這個(gè)問題的解決是對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。

對(duì)B而言，它是一條特殊的直線，通過對(duì)其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其推廣到一般，具備對(duì)“封閉”題“開放”的意識(shí)的學(xué)生，事實(shí)上就有了創(chuàng)造意識(shí)，這種意識(shí)驅(qū)動(dòng)下的實(shí)踐自然會(huì)使創(chuàng)造力得以發(fā)展；同時(shí)，隨著高考命題改革的進(jìn)一步深入，我想這樣的“開放”會(huì)在高考中更顯示其生命力。