基于t-范數(shù)的模糊邏輯

樊東紅 曾彥 何永玲

欽州學(xué)院物理與材料科學(xué)學(xué)院，廣西欽州535000

摘要 模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統(tǒng)的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具。本文就模糊推理的模糊邏輯在國內(nèi)外研究歷史、現(xiàn)狀和最新研究成果進(jìn)行了綜述，簡要分析了基本邏輯系統(tǒng)BL與t-范數(shù)、模糊推理的全蘊(yùn)涵三I、基于左連續(xù)t-范數(shù)的模糊邏輯系統(tǒng)MTL和關(guān)于模糊蘊(yùn)涵算子與合參t-范數(shù)的研究情況。

關(guān)鍵詞 t-范數(shù)；模糊推理；模糊邏輯

中圖分類號O142 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A 文章編號 1674-6708（2012）61-0077-02

0 引言

模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統(tǒng)的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具。近年來模糊推理的邏輯基礎(chǔ)得到活躍而深入的研究，本文就國內(nèi)外研究歷史、現(xiàn)狀和最新研究成果教學(xué)論述。

1 模糊集合論的發(fā)展與爭論

Zadeh 于1965年創(chuàng)立了模糊集合論[1]，并在1973年提出模糊推理的CRI方法，從而為描述和處理事物的模糊性和系統(tǒng)的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具模糊推理被應(yīng)用于工業(yè)控制與家電產(chǎn)品的制造中，取得了極大成功。然而，與應(yīng)用相比，模糊推理的理論基礎(chǔ)并非無懈可擊，如1993年7月Elkan博士(現(xiàn)為加利福尼亞大學(xué)教授)在美國第11屆人工智能年會上作了題為“模糊邏輯的似是而非的成功” 的報告[2]， 引起了一場軒然大波。 模糊界和人工智能界的15位專家、學(xué)者對Elkan的文章進(jìn)行評論。關(guān)于這場爭論，吳望名教授在文獻(xiàn)[3]中進(jìn)行了介紹和討論，應(yīng)明生教授在文獻(xiàn)[4]中說: “雖然Elkan 的許多觀點是錯誤的，吳望名己經(jīng)給予一定的澄清，但是，我們也一定看到模糊邏輯缺乏系統(tǒng)深入的理論研究卻是不爭的事實”。當(dāng)然這場爭論并未取得一致的意見事實上，這場爭論始終沒有平息。同時，也正因為如此，近年來模糊推理的邏輯基礎(chǔ)得到活躍而深入的研究，我國學(xué)者在這一領(lǐng)域取得了眾多重要成果。

2 基本邏輯系統(tǒng)BL與t-范數(shù)

模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統(tǒng)的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具，近年來模糊推理的邏輯基礎(chǔ)得到活躍而深入的研究。在模糊邏輯理論中，長期占主導(dǎo)地位的是基于t-范數(shù)（也稱為t-模或三角模）的邏輯系統(tǒng)（也稱為t-范數(shù)邏輯） 在這類邏輯中，使用t-范數(shù)作為合取聯(lián)結(jié)詞的解釋，并由此解釋其他命題聯(lián)結(jié)詞，如蘊(yùn)涵、析取聯(lián)結(jié)詞分別解釋為由t-范數(shù)誘導(dǎo)的剩余型蘊(yùn)涵、與t-范數(shù)關(guān)于否定算子對偶的t-余范數(shù)，而否定聯(lián)結(jié)詞通常經(jīng)由蘊(yùn)涵解釋為A→O。這樣定義的邏輯理論具有許多優(yōu)良的邏輯性質(zhì)，反映了人類日常思維與推理中的許多邏輯特征，這類邏輯理論在模糊推理和人工智能研究中已經(jīng)獲得廣泛的應(yīng)用。

1996年以來，捷克邏輯學(xué)專家Hajek發(fā)表了一系列富有意義的研究成果，其中基本邏輯系統(tǒng)BL的提出對模糊邏輯的基礎(chǔ)研究影響較大，幾個重要的模糊邏輯系統(tǒng)都是BL系統(tǒng)的語義擴(kuò)張(即公理模式擴(kuò)張，關(guān)于語義擴(kuò)張的嚴(yán)格定義，如Lukasiewicz連續(xù)值系統(tǒng)、Godel系統(tǒng)、積邏輯系統(tǒng)等關(guān)于邏輯系統(tǒng)BL的相關(guān)理論，集中反映在文獻(xiàn)[5] 中Hajek還基于剩余格理論提出了與基本邏輯BL對應(yīng)的BL-代數(shù)理論，它包括MV-代數(shù)[6]、Godel代數(shù)和積代數(shù)作為特例。每個連續(xù)t-范數(shù)唯一地確定單位區(qū)間[0,1]上一個BL-代數(shù)，文獻(xiàn)[5]提出了這樣的公開問題：如果公式A是[0,1] 上每個BL-代數(shù)中的重言式，那么A在系統(tǒng)BL中是否必定可證? 換言之，形式系統(tǒng)BL是否是所有連續(xù)t-?；壿嫷墓驳耐陚涔砘?？2000年，這個問題給出了肯定的回答[7]。

3 模糊推理的全蘊(yùn)涵三I

同樣是1996年，為了尋求模糊推理的可靠邏輯基礎(chǔ)，王國俊教授基于對模糊邏輯與模糊推理方面存在問題的分析，在全國第七屆多值邏輯與模糊邏輯年會上，提出了一個新的形式演繹系統(tǒng)L*此后，該系統(tǒng)經(jīng)多次修改完善，并發(fā)展成一整套理論 [8-11]。 系統(tǒng)L* 是基于Ro t-范數(shù)及其剩余蘊(yùn)涵Ro蘊(yùn)涵算子(也稱為修正的Kleene蘊(yùn)涵算子)的，具有許多優(yōu)良的邏輯性質(zhì)。與系統(tǒng)L*相配套的代數(shù)結(jié)構(gòu)是Ro-代數(shù)，它的一種推廣形式被稱為弱Ro -代數(shù)。它們與BL-代數(shù)互不包含[12]。同時，王國俊教授倡導(dǎo)模糊邏輯與模糊推理的結(jié)合研究，并于1999年提出了模糊推理的全蘊(yùn)涵三I算法(簡稱為三I算法 [13]) ，有效地改進(jìn)了Zadeh在1973年提出的求解FMP問題的合成推理規(guī)則(RI) 。 關(guān)于三I 算法，還有一系列文獻(xiàn)對其進(jìn)行更深入的研究[14] 。

4 基于左連續(xù)t-范數(shù)的模糊邏輯系統(tǒng)MTL

2001年，西班牙學(xué)者Esteva 和GodO建立了并得到幾個語義擴(kuò)張系統(tǒng)[15]，即弱冪零極小邏輯WNM，對合Monoidal t-范數(shù)邏輯IMTL 及冪零極小邏輯NM。同時，提出了與這些邏輯系統(tǒng)相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)MTL-代數(shù)，WNM-代數(shù)，IMTL-代數(shù)和NM-代數(shù)，構(gòu)建了這些形式系統(tǒng)的語義。 MTL邏輯系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)完備性的證明由Jenei與Montagna完成[16]。有趣的是，2003年裴道武證明了系統(tǒng)L*與NM 是等價的，Ro-代數(shù)和NM-代數(shù)實際上是相同的代數(shù)系統(tǒng)，弱Ro代數(shù)和IMTL-代數(shù)也是相同的代數(shù)系統(tǒng)[17]。

5 關(guān)于模糊蘊(yùn)涵算子與合參t-范數(shù)

在模糊邏輯中，選擇怎樣的蘊(yùn)涵算子對模糊推理的效果有直接影響。如上所述，在現(xiàn)已建立的各種模糊邏輯系統(tǒng)中，所選擇的蘊(yùn)涵算子基本上都與某種t模相伴，即均為剩余蘊(yùn)涵，此外還有一些其他類型的模糊蘊(yùn)涵算子。一個值得注意的研究思路是帶參數(shù)的模糊蘊(yùn)涵算子， 如Klement 與Navara 在1999 年研究了基于帶參數(shù)的Frank t- 模的模糊邏輯系統(tǒng)[18]；吳望名教授、王國俊教授等分別在2000年、2003年研究了帶參數(shù)的Kleene系統(tǒng)[19]；而美國學(xué)者Whalen 也于2003 年在Fuzzy Sets & Systems上發(fā)表了長達(dá)50頁的論文[20]，專門論述帶參數(shù)的Schweizer- Sklar R-蘊(yùn)涵，并將其中的參數(shù)p與模糊規(guī)則之間交互作用的強(qiáng)度聯(lián)系起來。為了刻畫邏輯柔性，何華燦教授在建立新邏輯體系時選擇了帶參數(shù)的t-范數(shù)，并用廣義相關(guān)性和廣義自相關(guān)性來描述代表柔性的參數(shù)的意義。同時從不同側(cè)面深入論述了含參聯(lián)結(jié)詞在模糊邏輯、模糊控制、決策支持、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等中的重要意義等。因此，在模糊邏輯體系中加入適當(dāng)參數(shù)，己成為一個重要而有意義的研究方向，這可能是模糊邏輯與模糊推理相結(jié)合的新途徑。

參考文獻(xiàn)

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets.Information Control[J]，1965，8：338-353.

[2]Elkan C.The paradoxical success of fuzzy logic. IEEE Expert[J]，1994，9(4)：3-8.

[3]吳望名.關(guān)于模糊邏輯的一場爭論.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)[J]，1995，9(2)：1-10.

[4]應(yīng)明生.模糊邏輯的緊致性.科學(xué)通報[J]，1998，43(4)：379-383.

[5]Hajek P.Met mathematics of Fuzzy Logic.Kluwer Academic Publishers[J].1998.

[6]Chang C C.Algebraic analysis of many-valued logics.Transactions of the American Methodical Society[J]，1958，88：467-490.

[7]Cignoli R, Esteva F, Godo L, et al, Basic fuzzy logic is the logic of continuous t-norms and their residua.Soft Computing[J]，2000，4：106-112.

[8]王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[9]王國俊.數(shù)理邏輯引論與歸結(jié)原理[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2006.

[10]裴道武，王國俊.形式系統(tǒng)L* 的完備性及其應(yīng)用[J].中國科學(xué)( E輯)，2002，32(1)：56-64.

[11]王國俊，錢桂生，黨創(chuàng)寅.命題演算系統(tǒng)L*與謂詞演算系統(tǒng)K*中統(tǒng)一的近似推理理論.中國科學(xué)(E輯)[J]，2004，34(10) ：1110-1122.

[12]王國俊.MV-代數(shù)、BL-代數(shù)、Ro-代數(shù)與多值邏輯[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16(2)：1-15.

[13]王國俊.模糊推理的全蘊(yùn)涵三I算法[J].中國科學(xué)(E 輯)，1999，29(1)：43-53.

[14]王國俊，宋慶燕.一種新型的三I算法及其邏輯基礎(chǔ)[J].自然科學(xué)進(jìn)展，2003，13(6)：575-581.

[15]Esteva F, Godo L.Monoidal t-norm based logic : towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，124: 271-288.

[16]Jenei S, Montagna F.A proof of standard completeness for Esteva and Godo's logic MTL.[J]Studia Logica，2002，70：183-192.

[17]Pei D W.Simplification and independence of axioms of fuzzy logic systems IMTL and NM[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，152: 303-320.

[18]Klement E P, Navara M.Propositional Fuzzy Logics based on Frank t-norms:A comparison.in Fuzzy Sets, Logics and Reasoning about Knowledge, D.Dubois et al.Kluwer Academic Publishers[M], 1999.

[19]吳望名.參數(shù)Kleene系統(tǒng)中的廣義重言式[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14(1)：1-7.

[20]Whalen T.Parameterized R-implications[J].Fuzzy Sets and Systems，2003，134：231-281.