欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的非線性滑模軌跡跟蹤控制

孟威，郭晨，孫富春，2，劉楊

(1.大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116026;2.清華大學(xué) 智能技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084; 3.大連交通大學(xué) 電氣學(xué)院，遼寧 大連 116028)

由于欠驅(qū)動(dòng)水面船舶控制問(wèn)題的理論價(jià)值和工程意義已成為相關(guān)學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)［1］;欠驅(qū)動(dòng)水面船舶軌跡跟蹤中給定的參考軌跡一般可以表示為時(shí)間的函數(shù)，即在指定時(shí)間到達(dá)指定位置［2］;欠驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤控制對(duì)參考模型要求很高，控制器的設(shè)計(jì)也很復(fù)雜，具有一定的挑戰(zhàn)性;文獻(xiàn)［3］基于Lyapunov直接法和無(wú)源方法，為欠驅(qū)動(dòng)船舶跟蹤控制提出了2種建設(shè)性的解決方法;Ghommam等［4］提出了一種統(tǒng)一的反步設(shè)計(jì)方法，能夠解決鎮(zhèn)定和跟蹤控制問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器對(duì)環(huán)境干擾具有一定的魯棒性;文獻(xiàn)［5］基于backtepping技術(shù)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)了常值干擾下的欠驅(qū)動(dòng)船舶位置的動(dòng)態(tài)跟蹤.Do和他的團(tuán)隊(duì)在欠驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤方面也做了很多工作［6］.以上文獻(xiàn)沒(méi)有考慮欠驅(qū)動(dòng)船舶的模型參數(shù)不確定性問(wèn)題，而這又是實(shí)際應(yīng)用中必然存在的問(wèn)題.劉楊在文獻(xiàn)［7］中針對(duì)存在模型不確定的欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制器.文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了一種滑?？刂破?，并且通過(guò)船模試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，針對(duì)模型中存在參數(shù)不確定和風(fēng)、浪、流環(huán)境干擾的欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤控制，提出了一種新型的非線性滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)方法.為解決船舶的欠驅(qū)動(dòng)特性，分別引入了關(guān)于縱向跟蹤誤差的一階滑動(dòng)平面和關(guān)于橫向跟蹤誤差的二階滑動(dòng)平面來(lái)設(shè)計(jì)控制律.

1 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的數(shù)學(xué)模型

忽略水面船舶垂直方向的運(yùn)動(dòng)和沿縱向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型［9］為

式中:x、y和ψ分別為船舶在地坐標(biāo)下的縱向位置坐標(biāo)、橫向位置坐標(biāo)和航向角;u、v和r分別表示船舶的縱向速度、橫向速度和艏搖角速度;m11、m22和m33表示船舶固有質(zhì)量和附加質(zhì)量，為模型中不確定項(xiàng);du、dv、dr、dui、dvi和dri(i=2，3)表示在前進(jìn)、橫向和轉(zhuǎn)偏航角方向上的水動(dòng)力阻尼，是不確定項(xiàng)，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，忽略了高階非線性阻尼項(xiàng).τu和τr表示螺旋槳的縱向推進(jìn)力和轉(zhuǎn)船力矩;τwu(t)、τwu(t)和τwr(t)為外界風(fēng)、浪和流引起的環(huán)境干擾，為有界時(shí)變項(xiàng)，并且滿足τwvmax＜∞和

如下是一條虛擬欠驅(qū)動(dòng)船舶［10］:

引入軌跡跟蹤誤差變量:

則軌跡跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)方程如下:

式中:

2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的固有特性，船舶在橫向上是沒(méi)有驅(qū)動(dòng)的，在控制器設(shè)計(jì)時(shí)，首先設(shè)計(jì)縱向控制律τu，然后通過(guò)設(shè)計(jì)控制律τr間接控制船舶在橫向上的運(yùn)動(dòng)，從而用2個(gè)控制輸入實(shí)現(xiàn)船舶3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng).

定義漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)平面S，使系統(tǒng)的軌跡在有限時(shí)間內(nèi)收斂到此平面，假設(shè)參考到達(dá)時(shí)間為treach，并且在平面上滑動(dòng)以達(dá)到期望的目的［11-12］，到達(dá)條件是定義Lyapunov方程:

使得:

式中:γi是一個(gè)恒定正值，決定了到達(dá)平面的快慢，到達(dá)時(shí)間為treach≤|Si|/γi.

2.1 縱向推進(jìn)力τu的設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)時(shí)選取縱向軌跡跟蹤誤差ue，定義滑模漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)平面為

對(duì)式(7)兩邊進(jìn)行微分可得:

則取

式中:“^”表示模型參數(shù)的估計(jì)值，并且定義模型參數(shù)的邊界為

采用飽和函數(shù)代替理想滑動(dòng)模態(tài)中的符號(hào)函數(shù)來(lái)減輕抖振的影響，即

式中:Δ1為大于零的常數(shù)，其定義了一個(gè)在S1平面周圍任意小的邊界層.

則縱向控制律τu為

定義Lyapunov候選函數(shù):

對(duì)上式兩邊進(jìn)行微分，并把式(12)代入得:

由飽和函數(shù)(11)特性可知，如果取

則到達(dá)條件為

2.2 轉(zhuǎn)船力矩的設(shè)計(jì)

選取橫向軌跡跟蹤誤差ve，定義滑模平面S2為

上式兩邊進(jìn)行微分得:

由軌跡跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)方程(5)可得:

令

則

令

則取

根據(jù)飽和函數(shù)(11)，則轉(zhuǎn)船力矩τr為

為了確定η2，定義Lyapunov函數(shù):

根據(jù)飽和函數(shù)(11)，為了能夠保證在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá){S2∈R，|S2/Δ2|≤1}，如果取則到達(dá)條件為

3 穩(wěn)定性分析

定理1 縱向推進(jìn)力和轉(zhuǎn)船力矩控制律如方程(12)、(25)所示，相對(duì)于由欠驅(qū)動(dòng)虛擬船(3)、(4)產(chǎn)生的期望軌跡而言是一種漸進(jìn)鎮(zhèn)定軌跡跟蹤控制器.

證明 欠驅(qū)動(dòng)船舶的縱向和轉(zhuǎn)船控制律是在到達(dá)條件(16)和(28)的基礎(chǔ)上得到的，因此能夠保證在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的軌跡能夠分別到達(dá)定義的滑模平面(7)和(17).滑模平面S1和S2是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的軌跡能夠漸進(jìn)滑動(dòng)到原點(diǎn)，即

并且欠驅(qū)動(dòng)船舶的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(1)能夠確保軌跡跟蹤在慣性坐標(biāo)系下.證畢.

定理2 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的轉(zhuǎn)船運(yùn)動(dòng)在轉(zhuǎn)船控制律(25)下是有界輸入有界輸出的(BIBO).

證明 定義Lyapunov候選函數(shù)

由式(2)，并對(duì)其兩邊進(jìn)行時(shí)間微分可得:

由式(32)可以看出，如果V3是減函數(shù)，則r也是減函數(shù)，又因?yàn)棣觬，u和v是有界的，所以r也是有界的［14］.證畢.

4 仿真驗(yàn)證

對(duì)上述所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真研究，從而驗(yàn)證其正確性和有效性.采用文獻(xiàn)［15］中的船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，此船長(zhǎng)為32 m，質(zhì)量為11 800 kg.參考軌跡由虛擬船產(chǎn)生，假設(shè)環(huán)境干擾為 τwu(t)= τwv(t)=τwr(t)=0.5+0.01sin(0.1t);取初始條件為:(x(0)，y(0)，ψ(0)，u(0)，v(0)，r(0))=(0，200，1，0，0，0);控制參數(shù)取λ1=λ2=1.5，Δ1=Δ2= 0.03，γ1=γ2=0.6.

仿真結(jié)果如圖1～3所示.圖1表示為欠驅(qū)動(dòng)船舶實(shí)際運(yùn)行軌跡曲線x－y和參考軌跡曲線xd－yd，可以看出，由于參數(shù)不確定的影響，在初始階段跟蹤較慢，一段時(shí)間后能夠很快跟上并且能夠穩(wěn)定地跟蹤虛擬船舶產(chǎn)生的參考軌跡.圖2表示欠驅(qū)動(dòng)船舶各狀態(tài)的跟蹤誤差曲線，初始階段跟蹤誤差較大，但產(chǎn)生的跟蹤誤差也能穩(wěn)定在一定的區(qū)域內(nèi)，跟蹤誤差是一致最終有界的.圖3表示控制輸入曲線，由于模型參數(shù)不確定和受到風(fēng)、浪、流時(shí)變干擾的影響，在開(kāi)始階段控制器的動(dòng)作較快，甚至出現(xiàn)動(dòng)蕩，但最終趨于穩(wěn)定.總之，從圖1～3可以看出，所設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)較好的跟蹤.

圖1 欠驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤曲線Fig.1 Trajectory tracking of the underactuated ship

圖2 欠驅(qū)動(dòng)船舶各狀態(tài)的跟蹤誤差曲線Fig.2 Stable tracking errors of the underactuated ship

圖3 船舶控制輸入曲線Fig.3 Control inputs of the vessel

5 結(jié)論

1)本文研究了帶模型參數(shù)不確定性的三自由度欠驅(qū)動(dòng)水面船舶軌跡跟蹤控制問(wèn)題.針對(duì)船舶的欠驅(qū)動(dòng)特性，設(shè)計(jì)時(shí)分別引入關(guān)于縱向跟蹤誤差的一階滑動(dòng)平面和關(guān)于橫向跟蹤誤差的二階滑動(dòng)平面，提出了一種新型非線性積分滑模軌跡跟蹤控制律.

2)所設(shè)計(jì)的控制器能夠克服模型參數(shù)不確定帶來(lái)的影響，對(duì)外界干擾具有魯棒性，保證了較好的跟蹤效果.有效抑制了滑?？刂浦挟a(chǎn)生的抖振，使控制輸入變化不會(huì)太過(guò)頻繁，保證了船舶航行的安全性和準(zhǔn)確性，節(jié)省了能耗.因此，該方法具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器的有效性.

3)設(shè)計(jì)上述控制器時(shí)，部分參數(shù)選擇主要是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到的，因此在以后的研究工作中需要考慮選擇合適的參數(shù)優(yōu)化方法以得到更加準(zhǔn)確的控制參數(shù).結(jié)合編隊(duì)控制策略，把本文設(shè)計(jì)方法推廣到多船舶的編隊(duì)控制問(wèn)題，也是作者下一步主要的研究工作.

［1］郭晨，汪洋，孫富春，等.欠驅(qū)動(dòng)水面船舶運(yùn)動(dòng)控制研究綜述［J］.控制與決策，2009，24(3):321-329.

GUO Chen，WANG Yang，SUN Fuchun，et al.Survey for motion control of underactuated surface vessels［J］.Control and Decision，2009，24(3):321-329.

［2］LEFEBER E，PETTERSEN K Y，NIJMEIJER H.Tracking control of underactuated ship［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2003，11(1):52-61.

［3］JIANG Z P.Global tracking control of underactuated ships by Lyapunov’s direct method［J］.Automatica，2002，38 (2):301-309.

［4］GHOMMAM J，MNIF F，DERBEL N.Global stabilization and tracking control of underactuated surface vessels［J］.IET Control Theory Application，2010，4(1):71-88.

［5］程金.水面船舶的非線性控制研究［D］.北京:中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所，2007:1-95.

CHENG Jin.Nonlinear control of surface vessels［D］.Beijing:Institute of Automation，Chinese Academy of Sciences，2007:1-95.

［6］DO K D，PAN J.Control of ships and underwater vehicles［M］.Springer，2009.

［7］劉楊.欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的非線性自適應(yīng)控制研究［D］.大連:大連海事大學(xué)，2010:1-132.

LIU Yang.The nonlinear adaptive control for underactuated surface vessels［D］.Dalian:Dalian Maritime University，2010:1-132.

［8］ASHRAFIUON H，MUSKE K R，MCNINCH L，et al.Sliding model tracking control of surface vessels［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2008，55(11): 4004-4012.

［9］FOSSEN T I.Marine control systems［C］//Marine Cybernetics.Trondheim，Norway，2002.

［10］PETTERSEN K Y.Exponential stabilization of underactuated vehicles［D］.Norwegian University of Science and Technology，1996:31-56.

［11］UTKIN V I.Variable structure systems with sliding-modes［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1977，22 (2):212-222.

［12］劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MALAB仿真［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005:22-64.

［13］KHALIL H K.Nonlinear systems［M］.3rd ed.New Jersey:Prentice Hall，2002:409-426.

［14］YANG J M，KIM J H.Sliding mode control for trajectory tracking of nonholonomic wheeled mobile robots［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，1999，15(3): 578-587.

［15］DO K D，PAN J.Underactuated ships follow smooth paths with integral actions and without velocity measurements for feedback:theory and experiments［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2006，14(2):308-322.