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    一種用于電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定分析的雅可比矩陣關(guān)鍵特征值算法

    2012-04-12 01:32:56周陶宏李宏仲
    電力與能源 2012年3期
    關(guān)鍵詞:實(shí)部控制參數(shù)特征值

    周陶宏,李宏仲,鄭 健

    (1.上海市電力公司,上海 200122;2.上海電力學(xué)院電力與自動(dòng)化工程學(xué)院,上海 200090)

    0 引言

    采用霍普夫(Hopf)分岔理論分析電力系統(tǒng)電壓的穩(wěn)定性,必須準(zhǔn)確求解霍普夫分岔點(diǎn)的位置,特別是確定最先發(fā)生穿越虛軸現(xiàn)象的共軛特征值,即關(guān)鍵特征值。

    George分別利用牛頓法、冪法、反冪法和Rayleigh商迭代法來計(jì)算占主導(dǎo)地位的關(guān)鍵特征值,并對(duì)這些計(jì)算方法的魯棒性和計(jì)算效率分別進(jìn)行了對(duì)比[1-2];文獻(xiàn)[3]利用改進(jìn)的矩陣變換法來求解大規(guī)模系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的關(guān)鍵特征值;文獻(xiàn)[4]則進(jìn)一步提出了利用基于多處理器的并行算法來提高計(jì)算效率;L.Wang等人提出了充分利用增廣矩陣稀疏特性的計(jì)算方法[5];文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別提出了一種對(duì)矩陣的特征值進(jìn)行連續(xù)追蹤的方法,Xiaoyu Wen等人將該方法引入了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定研究中,提出了一種追蹤關(guān)鍵特征值的連續(xù)法[8]。

    本文將在這些計(jì)算方法的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的分析與研究。首先,利用特征值實(shí)部、特征值關(guān)于分岔參數(shù)的一階和二階靈敏度系數(shù),構(gòu)造一個(gè)能夠判斷關(guān)鍵特征值的指標(biāo),然后直接利用連續(xù)性方法,對(duì)關(guān)鍵特征值進(jìn)行連續(xù)追蹤,直至霍普夫分岔點(diǎn)。

    1 特征值連續(xù)追蹤的基本步驟

    對(duì)于某一不對(duì)稱矩陣J(μ),以及該矩陣的某一特征值λ(μ),假設(shè)J(μ)和λ(μ)均為某一參數(shù)μ的連續(xù)函數(shù),令w和v分別為λ對(duì)應(yīng)的左特征向量和右特征向量,則:

    等式兩邊對(duì)參數(shù)μ求導(dǎo)并整理:

    由于:

    得到:

    寫成矩陣形式:

    將μ視為變化因子,結(jié)合龍格-庫塔法就可以對(duì)特征值λ進(jìn)行追蹤,并且可以得到λ關(guān)于μ的變化曲線。

    對(duì)于電力系統(tǒng)的DAE模型:

    經(jīng)過線性化處理后:

    式中:A=Dxf(x,y);B=Dyf(x,y);C=Dxg(x,y);D=Dyg(x,y)。

    由于矩陣A、B、C、D可以視為參數(shù)μ的函數(shù)(這里μ為分岔控制參數(shù),即負(fù)荷增長(zhǎng)控制參數(shù)),因此,系統(tǒng)雅可比矩陣則可寫為:

    顯然,矩陣J基本上失去了稀疏性,因此本文將給出直接利用稀疏矩陣A、B、C、D追蹤λ變化曲線的表達(dá)式。

    式中:wy和vy分別是對(duì)應(yīng)特征向量的拓展部分。

    對(duì)于某一特征值λ,對(duì)應(yīng)的左右特征向量分別表示為w、v:

    套用式(1)的形式得到:

    對(duì)兩邊求導(dǎo):

    整理并寫成矩陣形式:

    如果狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為m,代數(shù)變量個(gè)數(shù)為n,則有向量:

    定義:

    式中:

    可以拓展為:

    式中:

    式中:下標(biāo)ij表示該元素為矩陣的第i行、第j列元素。

    從理論上講,利用式(2)可以對(duì)感興趣的任意一個(gè)特征值從初始狀態(tài)開始進(jìn)行連續(xù)跟蹤,但是為了提高精確度,將利用連續(xù)性方法對(duì)系統(tǒng)平衡解流形進(jìn)行連續(xù)追蹤。當(dāng)平衡解流形比較靠近霍普夫分岔時(shí),再轉(zhuǎn)入對(duì)關(guān)鍵特征值的連續(xù)追蹤。

    2 關(guān)鍵特征值的選擇

    關(guān)鍵特征值指得是隨著分岔控制參數(shù)μ的變化,實(shí)部最先變?yōu)榱愕囊粚?duì)共軛特征值:

    當(dāng)關(guān)鍵特征值的實(shí)部穿越虛軸時(shí),意味著系統(tǒng)運(yùn)行到了霍普夫分岔點(diǎn),此時(shí)系統(tǒng)的平衡解不能保持穩(wěn)定,會(huì)出現(xiàn)振蕩性現(xiàn)象。而在利用連續(xù)法求解霍普夫分岔點(diǎn)的追蹤過程中,對(duì)于系統(tǒng)的每個(gè)平衡解都可以求解出系統(tǒng)雅可比矩陣的全部特征值中實(shí)部比較靠近虛軸的部分特征值。但在準(zhǔn)確追蹤到霍普夫分岔點(diǎn)之前,無法準(zhǔn)確地確定到底哪一個(gè)特征值是最終引發(fā)霍普夫分岔的關(guān)鍵特征值,因此需要在追蹤過程的每一步計(jì)算中根據(jù)一定的判斷標(biāo)準(zhǔn),從求得的實(shí)部絕對(duì)值較小(即比較靠近虛軸)的特征值λ(μ)中再選取一小部分,做為準(zhǔn)關(guān)鍵特征值進(jìn)行深入分析比較。

    特征值的實(shí)部η(μ)可以做為一種判斷標(biāo)準(zhǔn),實(shí)部越靠近虛軸說明其出現(xiàn)霍普夫分岔的可能性越大。但是隨著負(fù)荷的增長(zhǎng),在前一個(gè)平衡點(diǎn)相對(duì)離虛軸較遠(yuǎn)的特征值,可能在下一個(gè)平衡點(diǎn)距離虛軸就會(huì)變得比較近,也就是說隨著負(fù)荷的增長(zhǎng),特征值實(shí)部的變化率是各不相同的。由此,文獻(xiàn)[8]提出利用特征值實(shí)部對(duì)實(shí)部關(guān)于負(fù)荷增長(zhǎng)的一階靈敏度系數(shù)的比值η(μ)/(?η(μ)/?μ)做為判斷標(biāo)準(zhǔn)。即在判斷關(guān)鍵特征值時(shí)考慮特征值實(shí)部的變化情況,將特征值實(shí)部較小而且變化幅度又比較大的特征值視為關(guān)鍵特征值。而文獻(xiàn)[9]指出,在平衡點(diǎn)接近霍普夫分岔點(diǎn)的時(shí)候,隨著負(fù)荷的增長(zhǎng),關(guān)鍵特征值的實(shí)部大小可能會(huì)發(fā)生突變,此時(shí)僅通過判斷一階靈敏度系數(shù)難以準(zhǔn)確地確定關(guān)鍵特征值。為此,本文提出利用特征值實(shí)部大小η(μ)、特征值實(shí)部關(guān)于負(fù)荷增長(zhǎng)的一階靈敏度系數(shù)?η/?μ和二階靈敏度系數(shù)?2η/?μ2來綜合判斷關(guān)鍵特征值,同時(shí)參考速度、加速度與位移的關(guān)系表達(dá)式給出評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算表達(dá)式。一階和二階靈敏度系數(shù)的計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]。

    對(duì)于勻加速度運(yùn)動(dòng),假設(shè)物體的位移為S,初始速度為v0,加速度為a,物體完成位移S所需的時(shí)間為t,則有:

    得到時(shí)間:

    如果將特征值實(shí)部絕對(duì)值|η(μ)|視為“位移”,特征值實(shí)部關(guān)于負(fù)荷增長(zhǎng)的一階靈敏度系數(shù)?η/?μ視為“初始速度”,即隨著負(fù)荷做單位增長(zhǎng),特征值實(shí)部的相應(yīng)變化量。如果?η/?μ大于0,說明隨著負(fù)荷的增長(zhǎng),特征值實(shí)部η(μ)逐漸增大,假設(shè)系統(tǒng)未達(dá)到霍普夫分岔點(diǎn)之前,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的平衡點(diǎn),此時(shí)所有特征值實(shí)部應(yīng)該小于零。那么?η/?μ大于0就意味著隨著分岔控制參數(shù)μ的增大,該特征值實(shí)部是趨近于虛軸的,反之則該特征值遠(yuǎn)離虛軸。

    進(jìn)一步的將特征值實(shí)部關(guān)于負(fù)荷增長(zhǎng)的二階靈敏度系數(shù)?2η/?μ2視為“加速度”,那么如果?2η/?μ2大于0就意味著隨著分岔控制參數(shù)μ的增大,?η/?μ是逐步增大的,也就是說隨著分岔控制參數(shù)μ的增大,該特征值實(shí)部靠近虛軸的趨勢(shì)在逐步加大;換言之,當(dāng)負(fù)荷增長(zhǎng)時(shí)該特征值的實(shí)部接近虛軸的“速度”在逐步增大。由此,可以構(gòu)造判斷關(guān)鍵特征值的指標(biāo)如下:

    很顯然,當(dāng)特征值實(shí)部η(μ)絕對(duì)值較小、特征值實(shí)部關(guān)于負(fù)荷增長(zhǎng)的一階靈敏度系數(shù)?η/?μ和二階靈敏度系數(shù)?2η/?μ2都比較大的情況下,Icrt的值比較小。這就意味著該特征值由于本身就比較接近虛軸,而且隨著負(fù)荷的增長(zhǎng)實(shí)部絕對(duì)值減小的趨勢(shì)比較快,因此該特征值最有可能發(fā)生穿越虛軸的情況。利用該指標(biāo)可以判斷哪一個(gè)特征值是關(guān)鍵特征值,在每一步計(jì)算中所得的特征值中,Icrt值最小的即視為關(guān)鍵特征值(對(duì)應(yīng)的指標(biāo)即Icrtmin)。由于Icrt的計(jì)算過程中用到了特征值實(shí)部η(μ)、一階靈敏度系數(shù)?η/?μ和二階靈敏度系數(shù)?2η/?μ2的大小,從而充分的計(jì)及了特征值當(dāng)前狀態(tài)和特征值隨著負(fù)荷增長(zhǎng)的變化趨勢(shì),因此其指示性較好,能夠?qū)μ卣髦当平撦S的態(tài)勢(shì)給出定量的分析。

    為了提高計(jì)算的可靠性,根據(jù)追蹤平衡解流形的最后一步計(jì)算結(jié)果,對(duì)特征值按照Icrt值由小到大的順序進(jìn)行排序,選擇排在前面的幾個(gè)特征值分別進(jìn)行連續(xù)追蹤。

    3 算法步驟

    為了求解結(jié)果必須先確定追蹤步長(zhǎng)。在計(jì)算過程中假設(shè)初始步長(zhǎng)為h0,首先計(jì)算初始狀態(tài)下系統(tǒng)的雅可比矩陣的關(guān)鍵特征值及一階靈敏度系數(shù)?η/?μ和二階靈敏度系數(shù)?2η/?μ2,并計(jì)算Icrt,min,0,即關(guān)鍵特征值對(duì)應(yīng)的指標(biāo)Icrt值;然后執(zhí)行龍格庫塔法完成一步計(jì)算;在第二步計(jì)算過程中,首先求出關(guān)鍵特征值一階和二階靈敏度系數(shù),最后計(jì)算出Icrt,min,1。步長(zhǎng)h1采用下式確定:

    追蹤關(guān)鍵特征值的混合方法的計(jì)算步驟:

    (1)利用常規(guī)連續(xù)性方法追蹤系統(tǒng)的平衡解流形,直至平衡解流形比較靠近霍普夫分岔時(shí)(Icrt,min的值小于某一預(yù)先設(shè)定的值);

    (2)根據(jù)研究的需要利用Icrt的大小確定進(jìn)行連續(xù)跟蹤的特征值;

    (3)設(shè)定一個(gè)極小值ε用于判定是否出現(xiàn)特征值實(shí)部穿越虛軸的現(xiàn)象;

    (4)形成計(jì)算式(3)所需的矩陣;

    (5)完成一步龍格-庫塔計(jì)算;

    (6)判斷所追蹤特征值的實(shí)部是否小于ε,如果小于則停止計(jì)算,否則轉(zhuǎn)到步驟(7);

    (7)求出?η/?μ和?2η/?μ2,并進(jìn)一步求出I crt,min,1;

    (8)確定步長(zhǎng)hi;

    (9)完成一步龍格-庫塔計(jì)算;

    (10)修正計(jì)算所需的矩陣,轉(zhuǎn)到步驟(6)。

    4 算例分析

    以New-England 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例,驗(yàn)證所提方法的有效性。先從初始狀態(tài)開始利用常規(guī)連續(xù)性算法追蹤平衡解流形,當(dāng)Icrt,min小于0.15時(shí),轉(zhuǎn)入對(duì)關(guān)鍵特征值的連續(xù)追蹤。表1給出了追蹤特征值的初始狀態(tài)。選表中Icrt值最小的一對(duì)共軛特征值進(jìn)行連續(xù)追蹤,h0選0.018。

    表1 部分特征值靈敏度系數(shù)

    圖1給出了所追蹤的共軛特征值實(shí)部的變化,隨著負(fù)荷控制參數(shù)變化,特征值λ1,2在總負(fù)荷增量為791 MW左右時(shí)出現(xiàn)穿越虛軸的情況,從而出現(xiàn)霍普夫分岔,此時(shí)系統(tǒng)將可能出現(xiàn)振蕩性失穩(wěn)現(xiàn)象。

    從理論上講,利用本文方法可以對(duì)任何感興趣的特征值進(jìn)行追蹤,但是只有通過追蹤關(guān)鍵特征值才能確定霍普夫分岔點(diǎn)的位置。為了進(jìn)一步說明這一問題,同樣對(duì)特征值λ3,4和特征值λ5,6進(jìn)行追蹤,圖2和圖3給出了這兩對(duì)共軛特征值實(shí)部的變化曲線。

    圖1 特征值λ1,2的η(μ)變化曲線圖

    圖2 特征值λ3,4的η(μ)變化曲線圖

    圖3 特征值λ5,6的η(μ)變化曲線圖

    結(jié)果表明,當(dāng)這兩對(duì)共軛特征值實(shí)部為零時(shí),系統(tǒng)的負(fù)荷增量大于791 MW。即這兩對(duì)共軛特征值不是最先穿越虛軸的關(guān)鍵特征值。同時(shí)也說明了指標(biāo)Icrt具有較高的指示性,能夠比較準(zhǔn)確的確定出關(guān)鍵特征值。通過追蹤該特征值得到的霍普夫分岔點(diǎn)是準(zhǔn)確的。

    5 結(jié)語

    提出了一種追蹤關(guān)鍵特征值的混合方法。該方法將追蹤平衡解流形的連續(xù)方法同關(guān)鍵特征值連續(xù)追蹤方法結(jié)合起來,先從初始狀態(tài)開始追蹤平衡解流形,當(dāng)平衡解靠近霍普夫分岔點(diǎn)時(shí),利用判斷關(guān)鍵特征值的指標(biāo)Icrt來確定最有可能發(fā)生穿越虛軸現(xiàn)象的關(guān)鍵特征值并對(duì)其進(jìn)行連續(xù)跟蹤,由于Icrt的計(jì)算過程中計(jì)及了特征值當(dāng)前狀態(tài)和特征值隨著負(fù)荷增長(zhǎng)的變化趨勢(shì),能夠較為準(zhǔn)確的判定關(guān)鍵特征值,并可利用Icrt來輔助確定跟蹤步長(zhǎng)的大小。利用該方法對(duì)New England 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算,得到了引起霍普夫分岔現(xiàn)象的關(guān)鍵特征值的具體變化曲線。

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