面向建筑物重建的相機(jī)標(biāo)定方法研究

余 燁， 劉曉平， 徐 偉， 韓江洪

（合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院可視化與協(xié)同計(jì)算（VCC）研究室，安徽 合肥 230009）

面向建筑物重建的相機(jī)標(biāo)定方法研究

余 燁， 劉曉平， 徐 偉， 韓江洪

（合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院可視化與協(xié)同計(jì)算（VCC）研究室，安徽 合肥 230009）

由于滅點(diǎn)具有很多獨(dú)特的幾何屬性且大量地存在于建筑物場景中，因此針對建筑物重建，提出了一種基于滅點(diǎn)的相機(jī)標(biāo)定方法。首先通過構(gòu)造各種幾何約束關(guān)系，如滅點(diǎn)與相機(jī)矩陣間的關(guān)系、世界坐標(biāo)原點(diǎn)和相機(jī)矩陣間的關(guān)系，逐步實(shí)現(xiàn)相機(jī)矩陣的度量重建和歐氏重建，獲得相機(jī)矩陣的值，然后通過分解相機(jī)矩陣得到相機(jī)的內(nèi)外部參數(shù)。該方法在標(biāo)定過程中無須借助任何標(biāo)定物，求解過程簡單，標(biāo)定速度快。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以滿足虛擬現(xiàn)實(shí)中建筑物場景重建的需要。

基于圖像的建模；計(jì)算機(jī)視覺；滅點(diǎn)；相機(jī)矩陣；針孔相機(jī)模型

三維重建技術(shù)是計(jì)算機(jī)視覺、人工智能、虛擬現(xiàn)實(shí)等前沿領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)，是人類在基礎(chǔ)研究和應(yīng)用研究中面臨的重大挑戰(zhàn)之一。城市場景中的建筑物重建在城市規(guī)劃、災(zāi)害仿真及評估、地圖繪制、無線網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、虛擬導(dǎo)游等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，是一項(xiàng)十分具有挑戰(zhàn)性的工作。根據(jù)數(shù)據(jù)源的不同，建筑物重建可以分為基于圖像的重建[1]和基于點(diǎn)云的重建兩大類。

由于圖像是普遍存在且最容易獲取的一種數(shù)據(jù)源，因此基于圖像的建筑物重建受到了廣大研究者的青睞。對于大多數(shù)基于圖像重建的任務(wù)而言，首先應(yīng)對圖像進(jìn)行標(biāo)定，以便確定在每一幅圖像的拍攝過程中照相機(jī)相對于三維場景的方位和取景參數(shù)，即確定相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)[2]。相機(jī)標(biāo)定是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域研究的一個重要課題，也是基于圖像重建中重要的一步。

空間上的一組平行線經(jīng)過透視投影成像后，在成像平面上交于一點(diǎn)，稱為滅點(diǎn)。由于滅點(diǎn)具有很多可以利用的屬性[3]，且大量地存在于建筑物場景中，因此，本文利用滅點(diǎn)來進(jìn)行相機(jī)的標(biāo)定，提出了一種面向三維重建的相機(jī)標(biāo)定方法。該方法利用滅點(diǎn)的幾何屬性，推導(dǎo)出滅點(diǎn)和世界坐標(biāo)系原點(diǎn)在圖像中的投影與相機(jī)矩陣之間的約束關(guān)系。利用這些約束關(guān)系，對相機(jī)矩陣的自由度進(jìn)行約束，結(jié)合滅點(diǎn)的在三維空間中的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)相機(jī)矩陣在度量重建和歐氏重建上的標(biāo)定。由于本文所提出的相機(jī)標(biāo)定方法無需加入任何其它的限制條件，采用的是線性方法，因而具有計(jì)算過程簡單、標(biāo)定速度快等優(yōu)點(diǎn)，滿足虛擬現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中對建筑物重建的需要。

1 相關(guān)研究

在相機(jī)標(biāo)定方面的研究有很多，根據(jù)其標(biāo)定方法的不同大體可以歸結(jié)為兩類：傳統(tǒng)的標(biāo)定方法和自標(biāo)定方法[4]。傳統(tǒng)的相機(jī)標(biāo)定方法需要借助于標(biāo)準(zhǔn)參照物，利用參照物與圖像間的對應(yīng)關(guān)系來確定相機(jī)模型的參數(shù)。這類方法的優(yōu)點(diǎn)是對相機(jī)模型沒有限制，具于很高的標(biāo)定精度；其缺點(diǎn)是標(biāo)定過程復(fù)雜，需要高精度的已知結(jié)構(gòu)信息。由于在建筑物重建的實(shí)際應(yīng)用中，無法使用標(biāo)定塊，因而不能使用這類方法。

不同于傳統(tǒng)的標(biāo)定方法，自標(biāo)定方法不需要利用標(biāo)準(zhǔn)參照物，即不需要知道準(zhǔn)確的三維度量信息，而是試圖利用多視圖的幾何關(guān)系，求解基本矩陣，進(jìn)而計(jì)算相機(jī)模型的參數(shù)。這使得在線、實(shí)時地計(jì)算相機(jī)參數(shù)成為可能，同時也帶來了一系列問題，如：得到的解不唯一；在圖像中含有噪聲時，解的值與實(shí)際值偏差較大，即解不穩(wěn)定。如果不借助標(biāo)準(zhǔn)參考物，基于滅點(diǎn)的相機(jī)標(biāo)定方法屬于自標(biāo)定的范疇，這種方法被廣泛地應(yīng)用于三維重建領(lǐng)域。

20世紀(jì) 90年代初，B.CAPRILE 和 V.TORRE 首次提出了基于滅點(diǎn)進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定的思想，并總結(jié)、證明了滅點(diǎn)的若干幾何屬性。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于兩個滅點(diǎn)估算相機(jī)內(nèi)、外部參數(shù)的方法，該方法的前提是滅點(diǎn)存在、主點(diǎn)位于圖像的中心、像素長寬比固定。由于在對相機(jī)內(nèi)參數(shù)進(jìn)行估算時沒有充分利用滅點(diǎn)的屬性，因而計(jì)算過程稍顯復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]在對滅點(diǎn)幾何屬性進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，借助于正方形像素標(biāo)定物，對相機(jī)模型進(jìn)行了標(biāo)定，同時利用非線性優(yōu)化方法對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了優(yōu)化。由于借助了標(biāo)定物，因此該方法在場景重建中的應(yīng)用受到了限制。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于滅點(diǎn)的物體長度測量方法，該方法利用滅點(diǎn)來計(jì)算相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，通過得出與參考平面垂直的兩物體長度之間的比率與相機(jī)內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系，計(jì)算物體的實(shí)際長度。該方法能在給定兩幅未標(biāo)定圖像，且圖像平面上只有極少的幾何信息的情況下，計(jì)算出物體在三維空間中的實(shí)際長度，但限定條件嚴(yán)格，要求已知參考面上一條已知直線的投影，以及與此直線正交的滅點(diǎn)。

在國內(nèi)，基于滅點(diǎn)進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定和建模方面的研究也很多。文獻(xiàn)[9]提出了一種利用單個空間平面矩形，結(jié)合透視圖像的幾何屬性，求解相機(jī)內(nèi)外部參數(shù)的方法。由于在實(shí)際使用時相機(jī)在圖像上的投影并不一定在圖像的中心位置，因此在實(shí)際使用中該方法會造成一定的誤差。文獻(xiàn)[10]基于假想的世界坐標(biāo)系，基于滅點(diǎn)的屬性進(jìn)行了相機(jī)的標(biāo)定，并基于兩幅圖像進(jìn)行了物體的重建，但由于忽略了比例參數(shù)，會造成計(jì)算結(jié)果的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[11]利用滅點(diǎn)屬性推導(dǎo)出相機(jī)中心在世界坐標(biāo)系下坐標(biāo)位置的解析表達(dá)式，結(jié)合兩幅圖像之間的空間幾何約束關(guān)系，從空間約束關(guān)系中反算出物體各點(diǎn)的空間位置，從而重建出物體幾何模型。此方法中，并沒有計(jì)算相機(jī)的外部參數(shù)，且對滅點(diǎn)的位置關(guān)系存在一些約束。

2 基于滅點(diǎn)的相機(jī)標(biāo)定方法

2.1 焦距和主點(diǎn)的計(jì)算

不妨假設(shè)圖像中 3個主方向的滅點(diǎn)分別為U、V、W，其齊次坐標(biāo)分別為(u1, u2, 1)T、(v1, v2, 1)T、 (w1, w2, 1)T，其對應(yīng)的空間齊次坐標(biāo)為(1, 0, 0, 0)T、(0, 1, 0, 0)T、(0, 0, 1, 0)T。根據(jù)文獻(xiàn)[5]中提出的滅點(diǎn)的屬性“空間3條兩兩正交直線形成的滅點(diǎn)組成的三角形，其垂心即為相機(jī)光軸與成像平面的交點(diǎn)”，則△UVW的垂心即為主點(diǎn)，記為K，其在圖像上的像素坐標(biāo)為 (k1, k2, 1)。記相機(jī)的焦距為 f，則根據(jù)滅點(diǎn)的屬性“與空間3條兩兩正交直線形成的滅點(diǎn)相關(guān)的單位向量也兩兩正交”[4]，得到

通過上式可以計(jì)算出焦距f。

2.2 幾何約束關(guān)系的推導(dǎo)

點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在圖像上坐標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系可以用下式來表示

其中(x, y, z, 1)T為點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)，(s, t, 1)T為點(diǎn)在圖像上的齊次坐標(biāo)。由上式可以看出，相機(jī)矩陣Pc一共有11個自由度。根據(jù)線性代數(shù)的知識，求解含有 11個未知量的方程，需要 11個相互獨(dú)立約束條件才可以得到線性解。因此，本節(jié)將討論如何確定這 11個相互獨(dú)立的約束關(guān)系。

1） 滅點(diǎn)和相機(jī)矩陣間的約束關(guān)系

將 U點(diǎn)的世界齊次坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)代入式(1)，得到

同理，將滅點(diǎn)V和W的世界齊次坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)分別代入式(2)，可以得到

式(2)～(4)表示了主方向滅點(diǎn)的圖像坐標(biāo)和相機(jī)矩陣之間的約束關(guān)系。從中可以發(fā)現(xiàn)，相機(jī)矩陣隱含著3個主方向滅點(diǎn)的像素位置，即給出用式(1)所表示的相機(jī)矩陣后，就可以利用本節(jié)推導(dǎo)的約束關(guān)系，得到該圖像上3個主方向滅點(diǎn)在的像素齊次坐標(biāo)，分別為

2） 世界坐標(biāo)原點(diǎn)和相機(jī)矩陣間的約束關(guān)系

設(shè)世界坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像上的投影點(diǎn)為P，圖像坐標(biāo)為(p1, p2)T，由于該點(diǎn)為世界坐標(biāo)原點(diǎn)，所以其對應(yīng)的空間齊次坐標(biāo)為(0,0,0,1)T，代入式(1)得

同樣可以發(fā)現(xiàn)相機(jī)矩陣隱含著世界坐標(biāo)原點(diǎn)的像素位置，即給出用式(1)所表示的相機(jī)矩陣后，就可以利用本節(jié)推導(dǎo)的約束關(guān)系，得到該圖像上世界坐標(biāo)原點(diǎn)的像素位置為(p14, p24, 1)T。將式(2)～(5)代入式(1)，可以得到相機(jī)矩陣的改寫形式

上述的3個滅點(diǎn)和世界坐標(biāo)一共可以列出如式(2)～(5)所示的8個方程，即新增了8項(xiàng)約束條件，因此，相機(jī)矩陣的自由度由原來的 11個減少到了3個，即式(6)中所示的p31、p32和p33。

3） 作輔助線引入新的約束

如圖1所示，在圖像上做輔助線PU、PV和PW。則世界坐標(biāo)X、Y、Z軸上的空間點(diǎn)在圖像上的像素位置分別在直線PU、PV和PW上。在PU、PV和PW上各選一點(diǎn)，記為A、B、C，設(shè)其圖像齊次坐標(biāo)分別為(a1, a2, 1)T、(b1, b2, 1)T、(c1, c2, 1)T；并設(shè)A、B、C對應(yīng)的世界坐標(biāo)分別為X、Y、Z軸上的A'、B'、C'三點(diǎn)，則可以認(rèn)為A'、B'、C'三點(diǎn)的世界齊次坐標(biāo)為 (α,0,0,1)T,(0,β,0,1)T, (0,0,ε, 1)T。

圖1 相機(jī)空間幾何約束關(guān)系

將A點(diǎn)的空間齊次坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)代入式(1)，得

從式(7)中可以解出 p31α，記

同理，將B點(diǎn)和C點(diǎn)的空間齊次坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)代入式（1），可以解出 p32β、p33ε，記

4） 平行于世界坐標(biāo)軸方向的線段之間的比例

本小節(jié)用來計(jì)算平行于主滅點(diǎn)方向，且含有公共頂點(diǎn)的線段之間比例。如圖1所示，P '為世界坐標(biāo)原點(diǎn)，P為世界坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像上的所成的像，在圖1上過P點(diǎn)作平行于X、Y、Z軸的輔助線，分別交OA、OB、OC于A1、 B1、 C1點(diǎn)。則由△ OPA1～△ OP 'A'、△ OPB1～△ OP'B'、△OPC1～△ OP 'C'可以得到

則

由余弦定理得

圖2 PA1與 P 'A'的長度比例示意圖

由于 U是 X方向的滅點(diǎn)，所以O(shè)U // P'A'/PA1，進(jìn)而得到

由正弦定理，可以求出

同理可以求出

將式(12)～(14)代入式(11)，可以得出平行主滅點(diǎn)方向含有公共頂點(diǎn) P'的線段 P 'A'、 P 'B'、P 'C'之間的比例關(guān)系

5） 相機(jī)矩陣的度量重建

設(shè)上步中計(jì)算得出

P'A':P'B':P'C'= α: β:ε=1:r1:r2則可以在相差一個相似變換的基礎(chǔ)上重建出該矩陣。將α、β、ε的值等比例記為1、 r1、 r2，代入式(8)～(10)得

則相機(jī)矩陣的形式可以確定為

得到了3條空間線的比例關(guān)系，等價于又增加了兩項(xiàng)約束，經(jīng)此步后相機(jī)矩陣只剩下一個自由度，即在相差一個比例約束條件下，已經(jīng)完成了標(biāo)定。此步得出的相機(jī)矩陣是在度量空間上的重建，如果直接將此機(jī)矩陣用于三維重建，則求出的坐標(biāo)和現(xiàn)實(shí)坐標(biāo)相差一個固定的比例變換。

6） 相機(jī)矩陣的歐氏重建

由于在虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的建模，只需要模型尺寸的比例關(guān)系正確即可，不需要得到具體的尺寸信息，因此，可以假設(shè) P 'A'的長度為 lpa，這樣最后一個自由度也被確定了下來。則可以得到P 'B'、 P 'C'的長度為r1?lpa、 r2?lpa。代入式（8）～（10）得到相機(jī)矩陣中

p33= t3r2?lpa，則相機(jī)矩陣的形式可以確定為

通過最后一個比例約束，相機(jī)矩陣的 11個自由度都被確定了下來，從而得到了我們所需要的解。此相機(jī)矩陣可以直接用于基于圖像的重建中，如果需要進(jìn)一步求解相機(jī)參數(shù)，可以采用對此矩陣進(jìn)行分解的方法獲得。

7） 相機(jī)內(nèi)外部參數(shù)的確定

在此步驟中，對相機(jī)矩陣進(jìn)行分解，以確定相機(jī)的內(nèi)外部參數(shù)，實(shí)現(xiàn)相機(jī)的標(biāo)定。首先，對相機(jī)矩陣進(jìn)行變化如下

其中M為相機(jī)矩陣Pc的左三列所組成的矩陣，p4為相機(jī)矩陣Pc的第4列數(shù)值的列矩陣，K為相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣，T為相機(jī)平移矩陣，R為相機(jī)旋轉(zhuǎn)矩陣

λ為非零的比例因子。

所以由式(18)可以得到 M =λ?KR，由于 R是正交矩陣、K為上三角矩陣，所以對于上式可以利用QR分解法得出內(nèi)參數(shù)矩陣K、旋轉(zhuǎn)矩陣R及比例因子λ。由 p4= λ?KT，可以求出旋轉(zhuǎn)矩陣T。由此，可以確定相機(jī)的內(nèi)外部參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

首先，對該方法的有效性進(jìn)行分析。

利用本文中提出的相機(jī)標(biāo)定算法來求解相機(jī)矩陣，結(jié)合針孔相機(jī)模型[12]，對圖像上建筑物的三維空間信息進(jìn)行還原，從而實(shí)現(xiàn)建筑物的重建。由于本算法是基于滅點(diǎn)理論的，且需要保證圖像中有3個兩兩垂直方向的滅點(diǎn)存在，因此，在拍攝圖像時，需要保證建筑物的面不能和投影平面平行。以合肥工業(yè)大學(xué)圖書館為例，對其進(jìn)行重建，如圖3所示：(a)、(b)為源圖像，(c)、(d)為重建后的效果。用A、B、C、D等對建筑物各頂點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注（如圖3(a)所示），可以看出，目標(biāo)圖像和源圖像上各點(diǎn)的位置關(guān)系相同。因此，該算法能恢復(fù)物體上各點(diǎn)之間的位置關(guān)系。

以AD的長度為基準(zhǔn)，記為1，計(jì)算實(shí)際建筑物上各邊的比例長度l1及重建后建筑物各邊的比例長度 l2，并進(jìn)行比較，計(jì)算其誤差率從表1中可以看出，重建后物體上各邊的比例長度和實(shí)際物體的基本相同。因此，此算法可以恢復(fù)場景中物體的長度比 例關(guān)系。

圖3 合肥工業(yè)大學(xué)圖書館的重建

表1 建筑物中各邊的長度比值

其次，對該方法的魯棒性進(jìn)行分析。

采用分辨率為1024×768的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，首先計(jì)算出相機(jī)矩陣，然后對該相機(jī)矩陣分解得出相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。通過3組實(shí)驗(yàn)，得到3組不同的相機(jī)內(nèi)參數(shù)( fx、fy、s、u0、v0)和外參數(shù)(θx、θy、θz、tx、ty、tz)的值，如表2所示。然后對象素點(diǎn)加入零均值高斯噪聲，進(jìn)行擾動，噪聲級從0.0像素開始，以0.2像素的步長均勻增加到2.0像素，在每個噪聲級上進(jìn)行 1000次試驗(yàn)，計(jì)算出相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（其中，內(nèi)參數(shù)焦距的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況如圖4所示）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的相機(jī)標(biāo)定方法在噪聲增大時，也可以得到比較好的結(jié)果，即該方法對圖像上的噪聲具有一定的魯棒性。

表2 相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié) 束 語

基于滅點(diǎn)的相機(jī)標(biāo)定方法克服了傳統(tǒng)標(biāo)定方法中需要借助于定標(biāo)參照物來進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定的限制，在虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中具有很大的實(shí)用價值。本文利用滅點(diǎn)的屬性，推導(dǎo)出一系列幾何約束關(guān)系，如：滅點(diǎn)、世界坐標(biāo)原點(diǎn)的像素位置和相機(jī)矩陣之間的約束關(guān)系等，在此基礎(chǔ)上，提出了一種在單幅圖像上利用滅點(diǎn)進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定的方法。在標(biāo)定過程中，通過引入新的約束，不斷限制相機(jī)矩陣的自由度，從而完成了相機(jī)矩陣的在度量空間和歐氏空間下的重建，最后通過分解相機(jī)矩陣得到相機(jī)的內(nèi)外部參數(shù)。由于采用的是線性的方法，因?yàn)榫哂杏?jì)算過程簡單、標(biāo)定速度快等優(yōu)點(diǎn)，可以滿足虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中建筑物重建的需要。

為了實(shí)現(xiàn)三維復(fù)雜建筑物場景的重建，本文的進(jìn)一步研究方向是研究具有球形、柱形或一些不規(guī)則形狀的復(fù)雜建筑物存在時，其場景的恢復(fù)和真實(shí)感重建。

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Research on camera calibration used for building reconstruction

Yu Ye, Liu Xiaoping, Xu Wei, Han Jianghong
( VCC Division, School of Computer & Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

Vanishing point has many geometry attributes and exists abundantly in building scenes, based on this, a camera calibration method is proposed using vanishing points, which is especially used for building reconstruction. Lots of geometry constraints are discovered, such as the constraint relationship between vanishing points and camera matrix, the origin of world coordinate system and camera matrix. Then through matrix reconstruction and Euclid reconstruction, the camera matrix is calculated. Through decomposition of this matrix, the inner and outer parameters of the camera are achieved. In this method, no calibration object is needed; besides, it also has the advantage of simple calculation process, high calibration speed. Experiments show that it can meet the needs of building reconstruction in virtual reality system.

image based modeling; computer vision; vanishing point; camera matrix; pinhole camera model

TP 391.9

A

2095-302X (2012)04-0076-07

2010-11-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61070124）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11040606Q43）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目

余 燁（1982-），女，安徽安慶人，講師，博士，主要研究方向?yàn)榻?、虛擬現(xiàn)實(shí)與可視化。