無約束連續(xù)全局優(yōu)化的一個無參數(shù)變換函數(shù)算法

尚有林，黃志勇，徐翠霞

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽471003)

0 前言

填充函數(shù)算法［1－8］、打洞函數(shù)算法［9－11］、積分水平集法［12－13］等確定性算法都是解決全局優(yōu)化問題的有效方法。但是，填充函數(shù)算法和打洞函數(shù)算法都遇到了一個很難解決的問題:如何判定當(dāng)前局部極小點的全局性和類別，而且，利用填充函數(shù)算法和打洞函數(shù)算法求得的全局極小點是一個近似的全局極小點。雖然積分水平集法是為解決上述問題而提出的，但從已有的文獻(xiàn)中可以看出:積分水平集方法解決上述問題還存在著諸多的問題，有待于完善和改進(jìn)。

本文致力于解決這個問題，提出了一個變換函數(shù)算法。利用該變換函數(shù)的性質(zhì)判定當(dāng)前局部極小點的全局性及類別，即判定當(dāng)前局部極小點是唯一的全局極小點還是其中一個相對全局極小點，并利用得到的相對全局極小點列找到原問題的絕對全局極小點。

1 假設(shè)和定義

考慮以下無約束連續(xù)全局優(yōu)化問題

這里f:RnR連續(xù)可微的。

下面給出關(guān)于問題(1)如下假設(shè)及相關(guān)定義。

假設(shè)1 f(x)在X上Lipschitzian連續(xù)，即對于所有x，y∈X，有

式中，L稱為Lipschitzian常數(shù)。

由假設(shè)2知，在Rn上一定存在一個有界閉箱X，使得f(x)的任意極小點都在X的內(nèi)部。則問題(1)等價于一個箱子約束連續(xù)全局優(yōu)化問題

式中，X={x∈Rnai≤xi≤bi，i=1，2，…，n }，其中，ai，bi∈R。

假設(shè)3 f(x)在X上僅有有限個極小值。

給出有別于水平集［14］的一些新的定義:

定義1 設(shè)x*是f(x)在X上的一個當(dāng)前局部極小點，若集合L0(x*)滿足

則稱集合L0(x*)是f(x)在x*處的去心水平集。

定義2 設(shè)x*是f(x)在X上的一個當(dāng)前局部極小點，若集合L'(x*)滿足

則稱集合L'(x*)是f(x)在x*處的嚴(yán)格水平集。

定義3 在執(zhí)行某個全局優(yōu)化算法時，隨著容許誤差εi的選取不同的值，得到極小點列{x}和極小值列{f(x)}，若=x*且f(x)=f(x*)，其中x*∈X(X是可行域)，則稱該全局優(yōu)化算法是收斂的。x稱為相對于容許誤差εi的全局極小點，簡稱為相對全局極小點，f(x)稱為相對于容許誤差εi的全局極小值，簡稱為相對全局極小值，x*稱為絕對全局極小點，f(x*)稱為絕對全局極小值。

既然X在Rn上是有界閉箱，故X是緊集。水平集L(x*)={x∈Rnf(x)≤f(x*)，x∈X }包含在緊集X中。顯然，L(x*)是有界閉集。所以f(x)在L(x*)存在全局極小點。

2 無參數(shù)變換函數(shù)

本文提出關(guān)于問題(2)的一個無參數(shù)變換函數(shù)為

式中，x*是f(x)在X上的一個當(dāng)前局部極小點，且x∈L0(x*)。

下面將研究該變換函數(shù)具有的一些性質(zhì)。

定理1 P(x，x*)在非空去心水平集L0(x*)上是連續(xù)可微的。

證明 設(shè)x∈L0(x*)，有

因此，P(x，x*)在L0(x*)上是連續(xù)可微的。

由于L'(x*)?L0(x*)，因此，P(x，x*)也在L'(x*)上是連續(xù)可微的。

定理2 P(x，x*)在非空去心水平集L0(x*)上是有界的。

證明 設(shè)L0(x*)是非空的，根據(jù)假設(shè)1可知，有

因此，P(x，x*)在非空L0(x*)上是有界的。

定理3 設(shè)嚴(yán)格水平集L'(x*)非空，則P(x，x*)存在且不為零。

證明 設(shè)L'(x*)是非空的，因此，至少存在一點∈L'(x*)使得f()＜f(x*)，故∈L0(x*)，有

定理4 設(shè)P(x，x*)是由式(3)定義的，則L0(x*)是空集當(dāng)且僅當(dāng)P(x，x*)不存在。此時，) x*是f(x)在X上的一個唯一全局極小點。

以上兩種情形均說明L0(x*)非空，這與題設(shè)矛盾。

必要性:設(shè)L0(x*)是空集，即在L0(x*)不存在任何點，從而P(x，x*)是不存在的。

定理5 設(shè)P(x，x*)是由式(3)定義的，且L0(x*)非空，若P(x，x*)=0，則x*是f(x)在 X上的其中一個全局極小點。

假若x*不是f(x)在X上的一個全局極小點，則至少存在一點*∈L0(x*)使得f*)＜f(x*)，即*∈L'(x*)。由定理3知P(x，x*)＜0。這與題設(shè)相矛盾。

定理6 設(shè)P(x，x*)是由式(3)定義的，則L0(x*)非空，若P(x，x*)=l＜0，則變換函數(shù)P(x，x*)在L0(x*)上存在一個極小點，有f()＜f(x*)。

定理6說明:只要變換函數(shù)P(x，x*)在原目標(biāo)函數(shù)f(x)的當(dāng)前極小點對應(yīng)的嚴(yán)格水平集L'(x*)上取得非零的極小值，這時，變換函數(shù)的極小點就可以作為下一次原目標(biāo)函數(shù)f(x)極小化過程的初始點。

3 無參數(shù)變換函數(shù)算法

基于以上對變換函數(shù)性質(zhì)的討論，給出無約束連續(xù)優(yōu)化問題的一個無參數(shù)變換函數(shù)P(x，x*)的算法如下。

初始步:

(Ⅰ)選擇δ=3，ε=10－8。

②心理干預(yù):語言開導(dǎo)法,將患者所患的疾病向其作詳細(xì)介紹,通過語言交談,評估患者的心理情緒,并給予語言上的安慰、鼓勵以及勸導(dǎo)等,糾正其錯誤的觀念和思想,增強(qiáng)治療信心。暗示法,根據(jù)患者的具體心理情緒,給予針對性的疏導(dǎo)和調(diào)適?？山柚g接、含蓄法使得患者下意識接受治療意見。勸導(dǎo)養(yǎng)生法,可采用傳統(tǒng)中醫(yī)養(yǎng)生法,例如寧神靜志法、移情易性法以及情趣易性法等鼓勵患者進(jìn)行人際交往,多參加體育鍛煉和機(jī)體活動。每天治療20min,每周至少1次,共治療4周。

(Ⅲ)令k:=0，表示迭代次數(shù)。

主步:

4 數(shù)值試驗及分析

為了驗證本文中提出的算法是可行和有效的，在計算機(jī)上用Matlab 7.0.1進(jìn)行編程計算，將以下兩個算例作為初步測試對象。

(Ⅰ)三駝峰函數(shù)

該問題的全局最小解和全局最小值分別是:x*=(0，0)和f*=0。

(Ⅱ)二維函數(shù)

其中c=0.20，0.50，0.05。對于所有的c，全局最小值都是f*=0。特別地，當(dāng)c=0.20時，該問題的全局最小解是x*=(1.878 5，－0.345 8)。

現(xiàn)將計算結(jié)果列于表1和表2，表中的符號代表的意義分述如下:

k:迭代次數(shù);

表1 算例(1)的計算結(jié)果

表2 算例(2)(c=0.20)的計算結(jié)果

由表1和表2可知:該算法是下降的，即能從當(dāng)前局部極小點跳到下一個更好的局部極小點。因此，算法(Ⅰ)是可行和有效的。

5 結(jié)論

該算法充分利用了變換函數(shù)極小值的信息，即可以通過本文給出的算法的終止條件判定當(dāng)前局部極小點是否是唯一全局極小點或其中一個相對全局極小點。并且隨著容許誤差εi的減小，通過執(zhí)行算法得到的相對全局極小點列{x}和相對全局極小值列{f(x)}，進(jìn)而判斷出問題的絕對全局極小點x*和絕對極小值f(x*)。

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