基于廣義功率譜密度的分布?jí)嚎s寬帶頻譜感知

趙春暉，騰志軍，馬 爽

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

頻譜感知（Spectrum sensing）技術(shù)包括匹配濾波器檢測(cè)［1］、能量檢測(cè)［2］和循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)［3］，也有基于以上技術(shù)的合作檢測(cè)技術(shù)［4－5］。以上的頻譜感知都是針對(duì)單個(gè)頻帶的感知，也就是通常所說的主用戶信號(hào)檢測(cè)，與之相應(yīng)的還有寬帶頻譜感知［6］。頻譜感知中的寬帶頻譜感知實(shí)質(zhì)上是寬帶頻譜的估計(jì)，寬帶感知為主用戶信號(hào)檢測(cè)提供了先驗(yàn)的頻段知識(shí)，通過寬帶頻譜感知的結(jié)果，主用戶信號(hào)檢測(cè)能夠有的放矢地進(jìn)行。目前，寬帶頻譜感知的研究主要有以下兩種：①借助硬件實(shí)現(xiàn)，具體就是在射頻前端設(shè)置一組可調(diào)的窄帶帶通濾波器，寬帶信號(hào)并行或者逐個(gè)通過濾波器組，進(jìn)而完成寬帶頻譜的掃描。這種方法雖然能夠?qū)崿F(xiàn)寬帶頻譜感知，但是它需要增加大量的射頻元件，大大增加了系統(tǒng)的硬件開銷；②借助高速的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)，實(shí)現(xiàn)掃描較寬的頻帶。

目前廣泛研究的寬帶頻譜感知都集中在高斯背景下，由于實(shí)際通信信道會(huì)存在非高斯噪聲，如脈沖噪聲，本文將研究在脈沖噪聲背景下的寬帶頻譜感知。噪聲的數(shù)學(xué)模型是Alpha穩(wěn)定分布（即為高斯噪聲的推廣），既能描述不同特征指數(shù)的脈沖噪聲又能描述高斯噪聲。由于Alpha穩(wěn)定噪聲（特征值不為2時(shí)）不具有有限的二階矩，因此通常的頻譜估計(jì)都會(huì)受到Alpha穩(wěn)定分布噪聲的影響。本文根據(jù)Alpha穩(wěn)定分布噪聲的特點(diǎn)擴(kuò)展了傳統(tǒng)的功率譜密度的概念，提出基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的廣義功率譜密度。另外，由于寬帶頻譜感知的接收信號(hào)帶寬較寬，對(duì)于信號(hào)處理的硬件開銷較大，本文借鑒文獻(xiàn)［7-8］提出的壓縮頻譜感知方法，提出基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的分布?jí)嚎s寬帶頻譜感知方法。

1 Alpha穩(wěn)定分布噪聲

Alpha穩(wěn)定分布是高斯分布的推廣，即高斯分布僅是它的一個(gè)特例。事實(shí)上，很多不滿足經(jīng)典的中心極限定理的數(shù)據(jù)都可以用穩(wěn)定分布來描述，因此具有更普遍的應(yīng)用范圍。Alpha穩(wěn)定分布與高斯分布的一個(gè)重要區(qū)別在于前者不具有α（α為特征指數(shù)）階及以上各階統(tǒng)計(jì)量［9］。

Alpha穩(wěn)定分布Sα（γ，β，a）沒有統(tǒng)一閉式的概率密度函數(shù)。通常用特征函數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述［10］：

式中：sgn（·）為符號(hào)函數(shù)，且

式中：0＜α≤2；－1≤β≤1；γ＞0；－∞＜a＜∞，穩(wěn)定分布完全由4個(gè)參數(shù)α、β、γ、a來決定。其中，α為特征指數(shù)，用來度量分布函數(shù)拖尾的厚度，對(duì)于觀測(cè)到的一個(gè)穩(wěn)定隨機(jī)變量，α值越小，表明其拖尾越厚，則偏離其中心值的樣本越多。α＝2與高斯分布一致（對(duì)任意的β）。γ是比例參數(shù)，也稱為分散系數(shù)，它與高斯分布的方差類似，在高斯分布情況下等于方差的一半。β是對(duì)稱參數(shù)，β＝0時(shí)，穩(wěn)定分布是關(guān)于a對(duì)稱的。在這種情況下的分布稱為對(duì)稱α穩(wěn)定分布或稱為SαS。a是位置參數(shù)。

對(duì)于SαS分布噪聲來說，由于不存在有限的二階矩，致使噪聲的方差變得沒有意義，因此采用混合信噪比（MSNR），混合信噪比定義為

2 基于廣義功率譜密度的分布?jí)嚎s寬帶頻譜感知

2.1 基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的廣義功率譜密度

當(dāng)接收信號(hào)受到Alpha穩(wěn)定噪聲的影響時(shí)，一般的功率譜密度（PSD）將很難實(shí)現(xiàn)寬帶頻譜感知。由于Alpha穩(wěn)定分布噪聲不存在有限二階矩，存在小于α的分?jǐn)?shù)低階矩，本文借鑒分?jǐn)?shù)低階矩的概念提出分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)及廣義功率譜密度（GPSD）的概念。本文假設(shè)接收信號(hào)為實(shí)信號(hào)。首先，分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)實(shí)際上是將信號(hào)的幅度進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階壓縮，目的是抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲較大的幅度值。乘以符號(hào)函數(shù)是為了保證信號(hào)相位信息不變。進(jìn)一步，根據(jù)功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系類推，廣義功率譜密度可定義為

由于α≤2，2p＜α，即2p＜α≤2，所以，p≤1。當(dāng)α＝2，p＝1時(shí)，

由以上兩式可知，當(dāng)α＝2，p＝1時(shí)，廣義功率譜密度演變?yōu)閭鹘y(tǒng)的功率譜密度。因此，本文提出的廣義功率譜密度的概念同樣適用于高斯噪聲。由于分?jǐn)?shù)低階矩充分抑制了Alpha穩(wěn)定噪聲的脈沖，因而，這種廣義功率譜密度可以體現(xiàn)信號(hào)的頻譜特性。

為了驗(yàn)證廣義功率譜定義的有效性，圖1給出了在Alpha穩(wěn)定噪聲背景下廣義功率譜密度（GPSD）和傳統(tǒng)功率譜密度（PSO）的試驗(yàn)比較結(jié)果。此時(shí)，混合信噪比MSNR＝0.8 d B。特征指數(shù)α＝1.5。由圖1可知，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲的影響下，傳統(tǒng)的功率譜密度無法體現(xiàn)信號(hào)的頻譜特性，而廣義功率譜密度卻能有效地抑制脈沖特性，能較好地體現(xiàn)信號(hào)的頻譜特性。

圖1 SαS噪聲下GPSD與傳統(tǒng)PSD的比較Fig.1 Comparison between GPSD and PSD in SαS noise

2.2 分布?jí)嚎s寬帶頻譜感知

當(dāng)認(rèn)知用戶接收寬帶信號(hào)時(shí)，由于受到無線環(huán)境、地理位置等的影響，單個(gè)認(rèn)知用戶估計(jì)的寬帶信號(hào)的功率譜密度有可能達(dá)不到滿意的效果。為了更好地估計(jì)寬帶頻譜，引入合作機(jī)制，幾個(gè)認(rèn)知用戶同時(shí)測(cè)量一段寬頻信號(hào)，對(duì)所有合作用戶的觀測(cè)信息進(jìn)行融合，最終得到寬帶頻譜的估計(jì)。由于寬帶頻譜感知的信號(hào)頻帶較寬，采樣值個(gè)數(shù)將較多，因而多個(gè)認(rèn)知用戶聯(lián)合估計(jì)PSD時(shí)將有大量的數(shù)據(jù)傳輸給融合中心才能實(shí)現(xiàn)最終的估計(jì)。本文借鑒壓縮感知（Compressed sensing）理論，提出在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的分布?jí)嚎s寬帶頻譜感知。原理框圖如圖2所示。

圖2 基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的分布式壓縮寬帶頻譜感知框圖Fig.2 Distributed compressive wideband spectrum sensing based on fractional lower order autocorrelation

圖2描述了Alpha穩(wěn)定噪聲下，基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的寬帶頻譜感知方案。J個(gè)認(rèn)知用戶接收同一頻段內(nèi)的信號(hào)，分別為x1（n），…，xJ（n）。由于頻譜寬，采樣值個(gè)數(shù)較多，接收信號(hào)分別進(jìn)行分塊處理［8］，每塊數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N×1。第j個(gè)認(rèn)知用戶的第k塊數(shù)據(jù)可以表示為

每塊數(shù)據(jù)根據(jù)式（4）進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階處理，即

每個(gè)認(rèn)知用戶通過分?jǐn)?shù)低階處理過的數(shù)據(jù)分別計(jì)算2 N×1的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)向量：

其中，分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)向量的估計(jì)是由每段信號(hào)自相關(guān)的平均得到［8］。

根據(jù)壓縮感知理論，分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)向量具有可壓縮性，并且，不同認(rèn)知用戶測(cè)量的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)之間具有聯(lián)合稀疏特性。因此，可以借助分布式壓縮重構(gòu)原理壓縮分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量，再通過所有合作認(rèn)知用戶壓縮后的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量聯(lián)合重構(gòu)分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量，進(jìn)而得到聯(lián)合估計(jì)的廣義功率譜密度。

壓縮采樣通過2 M×2 N的壓縮矩陣ΦI實(shí)現(xiàn)，壓縮測(cè)量后的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量＝ΦI，j∈｛1，2，…，J｝。壓縮后的向量大小為2 M× 1，此時(shí)壓縮比為M／N。根據(jù)壓縮感知重構(gòu)理論，分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量的估計(jì)可以用式（11）描述。

一般可以通過線性規(guī)劃技術(shù)（如追蹤算法或迭代貪婪等算法）解決式（11）。通過J個(gè)壓縮重構(gòu)的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量平均即可得到聯(lián)合估計(jì)的分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)向量：

分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的估計(jì)向量再經(jīng)過傅里葉變換即可得到估計(jì)的廣義功率譜密度：

3 仿真性能分析

本節(jié)將討論在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的寬帶頻譜感知性能。待測(cè)信號(hào)為DVB信號(hào)，頻譜覆蓋范圍為0～4 MHz，三路信號(hào)寬帶均為0.8 M，載頻分別為1、2、3 MHz。背景噪聲為Alpha穩(wěn)定分布噪聲?；诜植际綁嚎s重構(gòu)的廣義PSD估計(jì)的評(píng)價(jià)性能指標(biāo)為均方誤差MSE，其定義為［8］

第一，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲干擾下，其特征指數(shù)α＝1.5，單個(gè)認(rèn)知用戶處理寬帶信號(hào)，先比較受到Alpha穩(wěn)定分布噪聲干擾信號(hào)的廣義功率譜密度和傳統(tǒng)功率譜密度，再比較不受干擾的純信號(hào)的廣義功率譜密度和傳統(tǒng)功率譜密度。圖3描述了在Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下，混合信噪比MSNR為0.8 d B時(shí)，受噪聲干擾信號(hào)的廣義功率譜密度與傳統(tǒng)功率譜密度的仿真結(jié)果。圖例中的“S”和“N”分別代表信號(hào)和噪聲，為了驗(yàn)證廣義功率譜密度是否能夠描述原始無噪聲信號(hào)的頻譜特性，圖3還特別描述了在無噪聲干擾情況下的傳統(tǒng)功率譜密度和廣義功率譜密度。由圖3可知，估計(jì)的GPSD能較好地體現(xiàn)信號(hào)的頻譜特性。

第二，為了驗(yàn)證本文提出的廣義功率譜密度適用于高斯噪聲，設(shè)α＝2，比較加噪信號(hào)和原始信號(hào)的廣義功率譜密度和傳統(tǒng)功率譜密度。圖4給出了仿真結(jié)果。由圖4可知，對(duì)于受高斯噪聲干擾的信號(hào)，使用廣義功率譜密度和傳統(tǒng)功率譜密度描述信號(hào)的頻譜特性是一樣的。因此，本文提出的廣義功率譜密度的概念不但適合Alpha穩(wěn)定分布噪聲，而且同樣適合高斯噪聲。

圖3 PSD和GPSD的比較（α＝1.5）Fig.3 Comparison between GPSD and PSD（α＝1.5）

圖4 PSD與GPSD的比較（α＝2）Fig.4 Comparison between GPSD and PSD（α＝2）

第三，為更好地描述寬帶信號(hào)的頻譜特性，本文提出了基于多用戶合作的分別壓縮寬帶頻譜感知。為了證明算法的有效性，設(shè)3個(gè)認(rèn)知用戶都接收到受Alpha穩(wěn)定分布噪聲干擾的寬帶信號(hào)，但是它們接收信號(hào)的混合信噪比各不相同，將分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)函數(shù)向量進(jìn)行壓縮融合后得到廣義功率譜密度。圖5描述了在Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下（α＝1.5），混合信噪比MSNR為0.8 dB，壓縮率M／N＝0.3時(shí)估計(jì)的廣義功率譜密度。為了證明估計(jì)的有效性，圖5特別描述了原始寬帶信號(hào)在無噪聲干擾情況下的GPSD。由圖5可知，估計(jì)的GPSD能較好地體現(xiàn)原始信號(hào)的頻譜特性。

第四，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下（α＝1.5），比較廣義功率譜密度的估計(jì)均方誤差。圖6描述了在混合信噪比（MSNR）為0.8 dB時(shí)，單個(gè)認(rèn)知用戶單獨(dú)估計(jì)和3個(gè)認(rèn)知用戶合作估計(jì)的廣義功率譜密度均方誤差（MSE）與壓縮率的關(guān)系曲線。由圖6可知，合作估計(jì)的均方誤差小于單獨(dú)用戶估計(jì)的均方誤差，壓縮比越大，估計(jì)均方誤差越小。圖7描述了M／N＝0.3時(shí)，均方誤差MSE與混合信噪比MSNR的關(guān)系曲線。由圖7可知，合作估計(jì)的均方誤差小于單獨(dú)估計(jì)的均方誤差，但是在MSNR較小時(shí)，合作估計(jì)的優(yōu)勢(shì)不太明顯。這是由于無論采用什么樣的功率譜密度估計(jì)算法，功率譜密度估計(jì)的均方誤差MSE都將存在，而且，信噪比越小，均方誤差MSE將越大，功率譜密度估計(jì)性能受到信噪比的限制。對(duì)于本文提出的廣義功率譜密度同樣受到混合信噪比MSNR的限制，因此，在混合信噪比較低時(shí)，無論采用哪種估計(jì)算法都不能達(dá)到完全準(zhǔn)確估計(jì)。以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可以證明合作的廣義功率譜密度估計(jì)優(yōu)于非合作廣義功率譜密度估計(jì)。

圖5 MSNR＝0.8 dB，M／N＝0.3時(shí)估計(jì)GPSD與原始信號(hào)GPSD的比較Fig.5 Comparison of GPSD between estimated signal and original signal with MSNR＝0.8 dB，M／N＝0.3

圖6 MSE與壓縮率的關(guān)系（平均MSNR＝0.8 dB）Fig.6 Relationship between MSE and compressed ratio

圖7 MSE與MSNR的關(guān)系（M／N＝0.3）Fig.7 Relationship between MSE and MSNR

第五，為了研究基于合作的廣義功率譜密度估計(jì)在不同壓縮率及MSNR情況下性能的比較（α＝1.5），同時(shí)改變壓縮率及MSNR時(shí)的均方誤差性能如圖8所示。由圖8可知，MSNR越大，估計(jì)均方誤差越小；壓縮率越大，估計(jì)均方誤差越小。當(dāng)壓縮率大于0.5以后，估計(jì)均方誤差性能將很難提高，這是由于功率譜密度估計(jì)算法自身估計(jì)頻譜的能力受到混合信噪比MSNR的限制所致。

圖8 合作估計(jì)MSE與MSNR的關(guān)系Fig.8 Relationship between MSE and MSNR under cooperation condition

第六，為了證明該算法適用于不同的噪聲特征指數(shù)，圖9描述了當(dāng)α取不同值時(shí)，廣義功率譜密度的均方誤差與壓縮率的關(guān)系。當(dāng)α取不同值時(shí)，相應(yīng)地，分?jǐn)?shù)低階指數(shù)P也要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，依據(jù)Alpha穩(wěn)定分布的特性及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，本文取P≤α／4。由圖9可知，α越小，估計(jì)的均方誤差也越小，當(dāng)α＝2時(shí)，噪聲為高斯噪聲，說明該方法在高斯背景下依然適用。

圖9 不同α?xí)rMSE與壓縮率的關(guān)系（平均MSNR＝0.8 dB）Fig.9 MSE vs compressed ratio with varyingα

4 結(jié)束語

由于在Alpha穩(wěn)定分布噪聲的影響下，傳統(tǒng)的寬帶頻譜感知方法不再適用。本文提出基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的廣義功率譜密度，又結(jié)合壓縮感知理論，提出在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下基于廣義功率譜密度的分布式壓縮寬帶頻譜感知方法。仿真結(jié)果表明，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，基于分?jǐn)?shù)低階自相關(guān)的廣義功率譜密度能有效地表達(dá)信號(hào)的頻譜特性，能夠完成寬帶頻譜感知。該方法對(duì)于高斯背景同樣適用。另外，基于合作的寬帶頻譜感知優(yōu)于非合作的寬帶頻譜感知。

［1］Chen X F，Nagaraj S.Entropy based spectrum sensing in cognitive radio［C］∥The 7th Annual Wireless Telecommunications Symposium，Ponoma，CA，U-nited States，2008：57-61.

［2］Cabric D，Mishra S M，Brodersen R W.Implementation issues in spectrum sensing for cognitive radios［C］∥Proc Asilomar Conf on Signals，Systems，and Computers，Pacific Grove，CA，United States，2004：772-776.

［3］Jarmo L，Visa K，Anu H，et al.Spectrum sensing in cognitive radios based on multiple cyclic frequencies［C］∥Proceedings of the 2nd International Conference on Cognitive Radio Oriented Wireless Networks and Communications，CrownCom，Orlando，United States，2007：37-43.

［4］Renzo M D，Imbriglio L，Graziosi F，et al.Cooperative Spectrum Sensing for Cognitive Radios：Performance Analysis for Realistic System Setups and Channel Conditions［M］∥Mobile Lightweight Wireless Systems，Berlin，Springer，2009：125-134.

［5］Lunden J，Koivunen V，Huttunen A，et al.Collaborative cyclostationary spectrum sensing for cognitive radio systems［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2009，57（11）：4182-4195.

［6］Hu Z，Guo N，Qiu R.Wideband waveform optimization with energy detector receiver in cognitive radio［C］∥IEEE SoutheastCon 2010 Conference：Energizing Our Future，Charlotte-Concord，NC，United States，2010：198-203.

［7］Tian Z，Giannakis G B.Compressed sensing for wideband cognitive radios［C］∥IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，Honolulu，HI，United States，2007：1357-1360.

［8］Polo Y L，Wang Y，Pandharipande A，et al.Compressive wide-band spectrum sensing［C］∥IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing，Taipei，Taiwan，2009：2337-2340.

［9］Ma X Y，Chrysostomos L N.Joint estimation of time delay and frequency delay in impulsive noise using fractional lower order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44（11）：2669-2687.

［10］呂鐵軍，郭雙兵，肖先賜.調(diào)制信號(hào)的分形特征研究［J］.中國科學(xué)：E輯，2001，31（6）：508-513.

LüTie-jun，Guo Shuang-bing，Xiao Xian-ci.Research of fractal features of the modulated signal［J］. Science in China（Series E），2001，31（6）：508-513.