隱含條件,隱在哪里

陳平

一、數(shù)學(xué)對(duì)象的前提、適用范圍和應(yīng)用背景中的隱含條件

解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們往往比較重視概念、定義、公式、定理等數(shù)學(xué)對(duì)象本身，卻容易忽略其前提、適用范圍和應(yīng)用背景等外圍因素．而這些外圍因素中的隱含條件，有時(shí)會(huì)對(duì)解題產(chǎn)生關(guān)鍵性的影響．

1．定義、概念等的前提條件

例1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）的距離與到直線m：x+y=1的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是

（A） 橢圓 （B） 雙曲線 （C） 拋物線 （D） 直線

錯(cuò)解： ∵點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與到定直線m的距離相等，∴ 點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 選C．

錯(cuò)因分析：“到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線”，這個(gè)定義的前提條件是“定點(diǎn)不在定直線上”. 錯(cuò)解忽視了這一隱含條件，導(dǎo)致錯(cuò)誤．

正解： ∵點(diǎn)A（1，0）在直線ｍ上，∴點(diǎn)P的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)A的直線ｍ的垂線. 選D．

2．公式、法則等的適用條件

例2 已知雙曲線x2-=1，過(guò)點(diǎn)B（1，1）能否作直線l，使點(diǎn)B是直線l被雙曲線所截得的弦的中點(diǎn)？

錯(cuò)解： 設(shè)直線l存在且與雙曲線交于點(diǎn)P1（x1，y2），P2（x2，y2），則有-=1，-=1，兩式相減得2（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0． 由題意得x1+x2＝2，y1+y2＝2， ∴ ＝2， 即直線l的斜率為2． ∴ 能作出符合條件的直線l，l的方程為y=2x-1．

錯(cuò)因分析： 例2運(yùn)用點(diǎn)差法處理直線與曲線的位置關(guān)系，但點(diǎn)差法的適用條件是直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，即聯(lián)立直線方程與曲線方程得到關(guān)于x的一元二次方程，其判別式Δ＞0． 在例2中，將y=2x-1代入x2-=1，可得2x2-4x+3=0，其判別式Δ<0. 故使用點(diǎn)差法時(shí)必須考慮判別式.

正解：由錯(cuò)解得直線l的方程為y=2x-1． 聯(lián)立y=2x-1與x2-=1，整理得2x2-4x+3=0，其判別式Δ=-8<0， ∴ 直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，即不存在符合條件的直線l．

3．實(shí)際的應(yīng)用背景

例3 某家具店銷(xiāo)售一種桌椅，每張桌子成本500元，利潤(rùn)80元；每把椅子成本200元，利潤(rùn)40元． 根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)貨時(shí)椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，但不能多于桌子數(shù)的1.5倍． 試問(wèn)用2萬(wàn)元的成本銷(xiāo)售這種桌椅，最多可得多少利潤(rùn)？

錯(cuò)解： 設(shè)購(gòu)進(jìn)桌子和椅子的數(shù)目分別為x，y，則有500x+200y≤20000，x≤y≤1.5x，x≥0，y≥0.（①），利潤(rùn)z=80x+40y （②）． 化簡(jiǎn)500x+200≤20000得y≤100-2.5x. 如圖1所示，分別作出直線 y=100-2.5x，y=1.5x，y=x的圖象，陰影部分即為不等式組①表示的區(qū)域. 其中， y=100-2.5x與y=1.5x交于點(diǎn)A（25，37.5），與ｙ＝ｘ交于點(diǎn)B，. 再作出②式所在直線l：y=-2x+，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（25，37.5） 時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)z取得最大值3500，即最多可得利潤(rùn)3500元．

錯(cuò)因分析： 根據(jù)實(shí)際意義，桌子和椅子的數(shù)目必須是正整數(shù)，而當(dāng)z取得最大值3500時(shí)，y=37.5不是整數(shù). 雖然從數(shù)學(xué)計(jì)算的角度來(lái)講并沒(méi)有錯(cuò)，但這違背了實(shí)際常識(shí)．

正解： 由錯(cuò)解可知z=80x+40y<3500，即2x+y<87.5， ∵ x，y∈N*， ∴ 2x+y≤87． 計(jì)算可得當(dāng)x=25，y=37或x=26，y=35時(shí)2x+y=87，此時(shí)z=3480，即最多可得利潤(rùn)3480元．

二、題設(shè)條件、數(shù)式結(jié)構(gòu)中的隱性要求

數(shù)學(xué)題的文字表述和數(shù)式表達(dá)往往不會(huì)直接或明顯地反映出某些條件，如果在分析題意時(shí)不深入挖掘這些隱含條件，就會(huì)造成錯(cuò)解、增解和漏解．

1．題設(shè)中的隱含條件

例4 已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表，求E．

錯(cuò)解： 由數(shù)學(xué)期望值公式可得E=-1×0.5+0×（1-2q）+1×q2=q2-0.5．

錯(cuò)因分析： 在例4中，除了題目明確給出的變量各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率表達(dá)式外，還隱含著一個(gè)條件：各個(gè)概率值應(yīng)在0到1之間且概率之和為1，因此q是一個(gè)確定值，E也是一個(gè)確定值．

正解： 由0.5+（1-2q）+q2=1，0≤1-2q≤1，0≤q2≤1解得q=1-， ∴ E=q2-0.5=1-．

2．變量、式子的取值限制

例5 求函數(shù)f（x）=log（x2-2x-3）的增區(qū)間．

錯(cuò)解： f（x）由y=logu和u=x2-2x-3復(fù)合而成，∵ y=logu是減函數(shù)，∴應(yīng)求出u=x2-2x-3的減區(qū)間．由u′=2x-2解得u=x2-2x-3的減區(qū)間為（-∞，1］， ∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增區(qū)間為（-∞，1］．

錯(cuò)因分析： 函數(shù)f（x）中存在對(duì)數(shù)式，隱含著“真數(shù)大于零”這個(gè)條件，若忽視了這個(gè)隱含條件，就會(huì)擴(kuò)大增區(qū)間的范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤．

正解： 由錯(cuò)解得u=x2-2x-3的減區(qū)間為（-∞，1］，又由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增區(qū)間為（-∞，-1）．

三、運(yùn)算求解、推理變形過(guò)程中的隱含條件

在運(yùn)算與推理的過(guò)程中，條件在不斷地變化．一些原有的隱含條件可能不再起作用，而新的隱含條件可能會(huì)產(chǎn)生. 忽視隱含條件的變化，也是解題失誤的重要原因．

1．解題中新出現(xiàn)的隱含條件

例6 求過(guò)P（2，2）且與A（1，3），B（3，5）兩點(diǎn)距離相等的直線方程．

錯(cuò)解： 設(shè)所求直線方程為y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0. 由 A，B兩點(diǎn)到直線的距離相等，可得=，化簡(jiǎn)得k+1=k-3，解得k=1． ∴所求的直線方程為x-y=0．

錯(cuò)因分析： 把直線方程設(shè)為y-2=k（x-2），隱含著“直線的斜率存在”這一條件．如此一來(lái)，斜率不存在的直線就被錯(cuò)誤地排除在外了．

正解： 由錯(cuò)解得x-y=0. 又當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的直線方程為 x=2， x=2與A，B的距離都等于1，也滿(mǎn)足要求． ∴ 所求的直線方程為x-y=0與x=2．

2．求解中消去的隱含條件

例7 已知3sin2α+2sin2β=2sinα，試求sin2α+sin2β的取值范圍．

錯(cuò)解： 由題意得sin2β=（2sinα-3sin2α）， ∴ sin2α+sin2β=sin2α+?（2sinα-3sin2α）=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinα≤1， ∴ -≤sin2α+sin2β≤．

錯(cuò)因分析： 解題過(guò)程中消去了變量sinβ，使整理所得的式子僅含一個(gè)變量sinα，但sinβ的取值范圍限制也因此被“消去”了．

正解： 由錯(cuò)解得sin2α+sin2β=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinβ≤1，由0≤sin2β=（2sinα-3sin2α）≤1解得0≤sinα≤， ∴ 0≤sin2α+sin2β≤．

總結(jié)：通過(guò)對(duì)以上例題的分析與講解，我們知道，重視隱含條件是提高解題正確性的重要保障，這一點(diǎn)要貫穿在分析和求解數(shù)學(xué)題的整個(gè)過(guò)程中．