易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

裔晶晶，金健

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

裔晶晶，金健

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

探討了易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.首先測量了常見易拉罐的尺寸，然后建立靜態(tài)優(yōu)化模型，分別求解出了將易拉罐形狀簡化為圓柱形和圓柱、圓臺(tái)結(jié)合形的最優(yōu)設(shè)計(jì).最后，在綜合考慮外形、手感、美觀等因素的基礎(chǔ)上，建立了非線性規(guī)劃模型，并借助MATLAB編程得出新型易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì).

最優(yōu)設(shè)計(jì)；靜態(tài)優(yōu)化模型；非線性規(guī)劃模型

生活中像可口可樂、青島啤酒這類飲料量約355毫升的易拉罐擁有相同的形狀和尺寸，考慮到其銷量可能大至幾億，甚至幾十億，那么我們認(rèn)為指定形狀后的最優(yōu)設(shè)計(jì)就是最省料的設(shè)計(jì).本文建立模型解決圓柱形及圓柱圓臺(tái)組合形易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，并在節(jié)省材料和人性化的基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)出一種新的易拉罐.

1 對(duì)實(shí)際易拉罐的測量與統(tǒng)計(jì)

取一個(gè)生活中常見的355毫升的易拉罐，采用15次測量求平均值的方法對(duì)真值進(jìn)行估計(jì)，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)取置信度為0.85，得到均值和置信區(qū)間如表1所示.

表1 所測易拉罐的尺寸大小/

2 圓柱形易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)——模型一

2.1 模型建立

此時(shí)易拉罐的形狀見圖1，易拉罐的體積是一定的.現(xiàn)將易拉罐分成側(cè)面、上底面和下底面三部分（下底面與側(cè)壁同厚、上頂面厚度記為βb），分別計(jì)算三部分的用料體積并得出總體積為（注意到：b??R ,b??h，由此可得到用料的近似值）：

又因?yàn)橐桌薜娜莘eV一定，即πR2h=V，所以建立以下條件極值優(yōu)化模型[1]：目標(biāo)函數(shù)：V(R,h)

約束條件：πR2h=V

2.2 模型求解

圖1 圓柱形易拉罐

3 圓臺(tái)與圓柱組合形易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)——模型二及模型三

3.1 模型二的建立

此時(shí)易拉罐的中心縱面圖見圖2，現(xiàn)將易拉罐分成圓柱部分的側(cè)面、圓臺(tái)部分的側(cè)面、上底面和下底面四部分，分別計(jì)算三部分的用料體積并得出總體積為（注意到：b??R ,b??h，由此可得到用料的近似值）：

圖2 圓臺(tái)形縱面圖

3.2 模型二求解

3.3 模型二的改進(jìn)及其求解——模型三

結(jié)合實(shí)際生活中常見的易拉罐，它們的頂部確實(shí)加上一個(gè)圓臺(tái)，然而通過這一問的解答，圓臺(tái)與圓柱相結(jié)合是達(dá)不到用材料最少的，我們便考慮到這樣的設(shè)計(jì)涉及到易拉罐的堅(jiān)固性、可使用性及美觀性.利用物理知識(shí)可以知道，圓柱上加上一定斜率的圓臺(tái)后能使罐頂達(dá)到一定的機(jī)械強(qiáng)度；可使用性指罐頂?shù)陌霃奖仨氝_(dá)到一定長才能使人易于扳開拉環(huán)；美觀程度可以用直徑與高的比與黃金比例間的差距來衡量.

利用MATLAB7.1最優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)求解[3]，求解時(shí)要對(duì)模型做進(jìn)一步的約束，結(jié)合模型一的結(jié)果，我們?nèi)。篟≥32，r≥24，R＞r，h≥107，l≥12.1，規(guī)定步長為0.01 mm，經(jīng)過搜索得到一個(gè)最優(yōu)解：R=33.55 mm,r=28.71 mm,h=107.00 mm,l=12.10 mm，此時(shí)上部是一個(gè)正圓臺(tái)，下部是一個(gè)正圓柱體，用料為4471.60 mm3.對(duì)比于實(shí)際數(shù)據(jù)和模型一的結(jié)果，顯然更加接近實(shí)際值，這說明我們對(duì)模型二的改進(jìn)是合理的.

4 基于若干設(shè)計(jì)原則的新易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)——模型四

4.1 模型的建立

在對(duì)兩種簡化后的易拉罐進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的分析后，我們綜合考慮了易拉罐的形狀、手感和觀感方面對(duì)易拉罐進(jìn)行重新設(shè)計(jì).

從形狀來看，罐內(nèi)裝有大量液體，在運(yùn)輸過程中會(huì)對(duì)罐體壁產(chǎn)生很大的沖力，為了使罐體受力均勻，故將罐體壁設(shè)計(jì)成旋轉(zhuǎn)體.同時(shí)為了降低罐底受到的較大壓力，將下底面設(shè)計(jì)成凸起的形狀.再結(jié)合球形用材少容積大的好處，我們將圓臺(tái)設(shè)計(jì)為半球，即上蓋變成了半球.

從手感方面考慮，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，這里我們以女性手掌尺寸為參考.當(dāng)大拇指和中指這兩個(gè)部位的距離達(dá)不到易拉罐橫切面周長的一半時(shí)，則手感不佳且不易握牢.因此，當(dāng)成年女性正常握持易拉罐時(shí)，其大拇指指尖到中指指尖間的圓弧長度應(yīng)不小于罐身半周長.

圖3 新易拉罐形狀圖

圖4 新易拉罐縱面圖

從觀感來看，將易拉罐底面直徑與高的比設(shè)置在黃金分割比的附近為佳，此處規(guī)定其值在0.56到0.70之間，同時(shí)我們還將橫截面設(shè)計(jì)成具有個(gè)性的雙曲線型.

考慮以上各種因素，新設(shè)計(jì)的易拉罐形狀見圖3、圖4.

為減小沖力，罐內(nèi)需留出少量空間，同時(shí)考慮底部有凸起的部分，因此將罐體容積設(shè)計(jì)成390毫升.

據(jù)調(diào)查，成年人的中指距握線為10厘米，拇指距握線8厘米[4]，所以規(guī)定周長最大為36厘米，最小為18厘米，即半徑最大為5.73厘米，最小為2.86厘米，因?yàn)楣摅w中間最細(xì)的部分為人手握住的部分，則有2.86≤r1≤5.73.在這樣的設(shè)計(jì)中所用的材料為：

另外考慮到觀感因素，設(shè)定r2大于r1的幅度不低于20%，則建立如下非線性規(guī)劃模型：

目標(biāo)函數(shù)：minV'(r1,r2,h)；

4.2 模型求解

取r1和r2的步長為0.01，通過公式（1）計(jì)算出h的值，判斷是否符合公式（2），如果符合，就計(jì)算出V'的值，最后在計(jì)算出的符合條件的V'中找到其最小值對(duì)應(yīng)的r1,r2,h，此即為我們新設(shè)計(jì)的易拉罐尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì).利用MATLAB7.1編程，經(jīng)過搜索得到一個(gè)最優(yōu)解為：r1=2.99 cm,r2=3.59 cm,h=9.11 cm.

本設(shè)計(jì)的最大優(yōu)點(diǎn)在于其富有個(gè)性的形狀與人性化的手感設(shè)計(jì).生活中，易拉罐飲料主要的消費(fèi)人群為追求時(shí)尚與個(gè)性的青少年人群.從外形來看，這款新型易拉罐已經(jīng)能吸引一大批青年消費(fèi)者，再加上人性化的手感設(shè)計(jì)，將擴(kuò)大該易拉罐的消費(fèi)人群并使其能獲得長久的市場占有率[5].如果制造商增強(qiáng)宣傳力度，這種易拉罐帶來的利潤將更加可觀，所以這種設(shè)計(jì)具有很好的實(shí)用價(jià)值.

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]龔三瓊，王海舟.高等數(shù)學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2009.

[3]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]賴維鐵.人機(jī)工程學(xué)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

[5]易正偉，嚴(yán)琳.消費(fèi)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

An Optimal Design for the Shape and Size of a Can

YI Jing-jing,JIN Jian
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

This paper discusses the optimal design for the shape and size of a beverage can.First,the authors of the paper measure the parameter of size of a common beverage can,set a static optimization model,and respectively figure out the best design of the beverage can when it is shaped to be the cylinder or the combination of frustum-of-a-cone and cylinder.Lastly,the authors take account of the factors such as outline,touch,artistic and so on,set a nonlinear programming model,and use the programs MATLAB to get the best design of a new can.

optimal model;static optimization model;nonlinear programming model

O172.1

A

1008-2794（2012）10-0051-04

2012-09-06

裔晶晶（1991—），女，江蘇高郵人，常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級(jí)學(xué)生.

金?。?964—），男，江蘇常熟人，研究方向：數(shù)學(xué)建模，E-mail:cumcm@cslg.cn．