關(guān)于四元數(shù)體上矩陣對角化的幾個定理

韋剛和

（鹽城生物工程高等學校機械工程系，江蘇鹽城 224051）

關(guān)于四元數(shù)體上矩陣對角化的幾個定理

韋剛和

（鹽城生物工程高等學校機械工程系，江蘇鹽城 224051）

近年來矩陣對角化理論研究得到了充分的發(fā)展，并且在分析方法、研究領(lǐng)域、研究的深度和廣度上都有了突破.但在四元數(shù)體上，由于四元數(shù)乘法的非交換性，人們對四元數(shù)體上矩陣對角化的研究甚少.對四元數(shù)體上矩陣對角化進行研究，得到了幾個重要結(jié)論.

四元數(shù)體；矩陣對角化；定理

1 引言與符號約定

矩陣對角化問題不僅可解決數(shù)學中的非線性規(guī)劃問題、數(shù)學計算問題等，而且在計算物理、量子力學中都有重要的應(yīng)用.矩陣對角化理論研究近年來得到充分的發(fā)展，并且在分析方法、研究領(lǐng)域、研究的深度和廣度上都有了突破[1-5].但在四元數(shù)體上，由于四元數(shù)乘法的非交換性，人們對四元數(shù)體上矩陣對角化的研究甚少.本文對四元數(shù)體上矩陣對角化進行了研究，得到了幾個重要結(jié)論.

文中，用R表示實數(shù)域，Q表示實四元數(shù)體，Qm×n表示m×n階四元數(shù)矩陣的全體，Qn×n表示實四元數(shù)體Q 上n階矩陣的集合，SCn（Q）表示自共軛四元數(shù)矩陣全體，Qn表示Q上n維右列空間，用A＊＝-A′表示A的共軛轉(zhuǎn)置.

2 基本概念

定義1設(shè)Q是一個實四元數(shù)體，A∈Qn×n，如果存在四元數(shù)0≠a∈Q與n維非零列四元數(shù)向量α，使得Aα=α·a，稱a是A的一個右特征值，α為A的對應(yīng)于右特征值a的右特征向量；如果存在四元數(shù)0≠b∈Q與n維非零列四元數(shù)向量β，使得Aβ=b·β，稱b是A的一個左特征值，β為A的對應(yīng)于左特征值b的左特征向量[6].

定義2設(shè)矩陣A∈Qn×n，如果A＊＝A，則稱矩陣A為四元數(shù)自共軛矩陣.

定義3設(shè)A∈Qn×n，如果A*A=AA*，則稱A為四元數(shù)正規(guī)矩陣.

定義4設(shè)矩陣A∈Qn×n，如果A＊A＝AA＊＝In，則稱矩陣A為四元數(shù)酉矩陣.

定義5設(shè)矩陣A,B∈Qn×n，如果存在酉矩陣U∈Un×n，使得B＝U-1AU，則稱矩陣A與矩陣B是酉相似.

3 兩個重要引理[7]

引理1設(shè)矩陣A∈SCn（Q），則存在酉矩陣U∈Un×n，使得

其中λ1，λ2…，λn∈R.

引理2設(shè)矩陣A=(aij)∈Qn×n，則矩陣A為正規(guī)矩陣的充分必要條件是矩陣A酉相似于對角陣，即存在酉矩陣U∈Un×n，使得

其中λ1,λ2,…,λn∈C，且為矩陣A的n個右特征值.

4 主要結(jié)果

定理1設(shè)矩陣A為n階自共軛四元數(shù)矩陣，矩陣B為n階正規(guī)四元數(shù)矩陣[8].則存在n階廣義酉矩陣U，使U*AU與U*BU都為對角矩陣的充要條件是AB=BA.

證明先證必要性：存在n階廣義酉矩陣U，使U*AU與U*BU都為對角矩陣，即存在酉矩陣U∈Un×n，使得

其中a1,a2,…,an為矩陣A的特征值，b1,b2,…,bn為矩陣B的n個右特征值.根據(jù)引理1和引理2知道，a1,a2,…,an為實數(shù)，b1,b2,…,bn為復數(shù).從而有

得AB=BA.

再證充分性：因為矩陣A為n階自共軛四元數(shù)矩陣，則存在酉矩陣U1∈Un×n，使得

為了方便起見，把相同的特征值進行合并，不妨設(shè)合并后的式子為

其中a1,a2,…,as(s≤n)為互不相同的實數(shù).這時我們記矩陣B0=BU1，則顯然矩陣B0是正規(guī)矩陣.由于AB=BA，易知A0B0=B0A0.令B0=(Bij)為與A0分法相同的分塊矩陣，由A0B0=B0A0，知：

由于B0是正規(guī)矩陣，則有Bii() i=1,2,…，s均為正規(guī)矩陣，由引理2知，存在四元數(shù)酉矩陣V1,V2,…,Vs，使得

均為復對角矩陣.

這時取

則對于矩陣B有

對于矩陣A有

從而，矩陣U*AU也為對角矩陣.

定理2設(shè)矩陣A,B均為n階自共軛四元數(shù)矩陣，則存在n階廣義酉矩陣U，使U*AU與U*BU都為對角矩陣的充要條件是AB=BA.

證明因為自共軛四元數(shù)矩陣必是正規(guī)矩陣，從而根據(jù)定理1，定理2得證.

定理3設(shè)矩陣A,B為Qn×n上的自共軛矩陣，且矩陣B正定，則有可逆矩陣P∈Qn×n，使得

證明由于矩陣B是四元數(shù)自共軛正定矩陣，則存在可逆矩陣P0∈Qn×n，使得

令P=P0U，則P可逆，且

[1]莊瓦金.體上矩陣理論導引[M].北京：科學出版社，2006.

[2]李文亮，四元數(shù)矩陣[M].長沙：國防科技大學出版社，2002：6.

[3]屠伯塤.正性除環(huán)上矩陣的正定自共軛分解[J].數(shù)學雜志，1989（3）：11-16.

[4]屠伯塤.四元數(shù)矩陣的UL分解[J].復旦大學學報（自然科學版），1989（2）：45-49.

[5]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的特征值與奇異值不等式[J].自然雜志，1989（4）：27-32.

[6]姜同松，陳麗.四元數(shù)體上矩陣的廣義對角化[J].應(yīng)用數(shù)學和力學，1999，20（11）：1203-1210.

[7]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的極分解及其GL偏序[J].數(shù)學進展，2005（2）：5-9.

[8]陳龍玄.四元數(shù)矩陣的Jordan標準形[J].應(yīng)用數(shù)學和力學，1996（6）：581-585.

Several Matrix Diagonalization Theorems on the Quaternion

WEI Gang-he
(Department of Mechanical Engineering,Yancheng Higher Vocational School of Biological Engineering,Yancheng 224051,China)

In the recent years,matrix diagonalization theoretical research has been fully developed,and has achieved a breakthrough in the analysis methods,research areas,the depth and breadth of research.But on the Quaternion body,the quaternion multiplication is non-exchangeable,and there has been little study of matrix diagonalization on the quaternion.In this paper,some study is made of the quaternion matrix diagonalization,and several important conclusions are reached.

the quaternion matrix;diagonalization;theorem

O151

A

1008-2794（2012）10-0037-04

2012-09-12

韋剛和（1974—），男，江蘇鹽城人，講師，碩士，研究方向：微積分.