二維數(shù)字圖像相關(guān)方法的拉伸實(shí)驗(yàn)誤差分析＊

王 楠，李恩普，湯忠斌，李發(fā)東

（1.西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 陜西省光信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710129；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，陜西 西安 710072）

引 言

數(shù)字圖像相關(guān)（digital image correlation，DIC）方法是一種非接觸、全場變形測量技術(shù)，因其具有設(shè)備簡單、對環(huán)境要求低、測量精度高等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛用于材料的力學(xué)性能測試中［1，2］。DIC方法分二維（2－D）和三維（3－D）兩種：3－D DIC需要兩臺攝像機(jī)，實(shí)驗(yàn)較為繁瑣；2－D DIC僅用一臺攝像機(jī)，且不需要相機(jī)標(biāo)定。盡管2－D DIC精度略低于3－D DIC［3］，但是通過修正系統(tǒng)誤差，仍可達(dá)到相當(dāng)高的精度，因此仍然具有相當(dāng)高的實(shí)用價值。

研究人員對2－D DIC的誤差做了大量的研究，且將誤差源分為硬件和軟件兩類［4］：（1）硬件方面主要包括散斑圖質(zhì)量［5］、鏡頭畸變［6］、離面位移［3］等；（2）軟件方面主要包括子區(qū)域大?。?］、相關(guān)函數(shù)［8］、亞像素插值［9］等。這些工作從原理上發(fā)展和完善了DIC方法，使其在實(shí)際應(yīng)用上又向前邁進(jìn)了一步。

力學(xué)實(shí)驗(yàn)中最常見是拉伸實(shí)驗(yàn)，將2－D DIC方法應(yīng)用于拉伸實(shí)驗(yàn)已有很多報道［1，2］，但卻沒有規(guī)范的實(shí)驗(yàn)方法，研究人員多是憑自身理解和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。DIC作為一種圖像測量方法，由硬件及實(shí)驗(yàn)方法引入的系統(tǒng)誤差和偶然誤差對測量精度和可靠性都有很大的影響，因此為提高實(shí)驗(yàn)的可靠性，對實(shí)驗(yàn)誤差分析具有重要意義。

文中主要分析了實(shí)驗(yàn)條件對2－D DIC影響，對多晶銅試樣進(jìn)行拉伸實(shí)驗(yàn)，以應(yīng)變片的測量結(jié)果為基準(zhǔn)，將2－D DIC的測量結(jié)果與之比較，驗(yàn)證2－D DIC的測量精度，針對出現(xiàn)的誤差，尋找誤差源，并進(jìn)行系統(tǒng)修正。

1 數(shù)字圖像相關(guān)原理

DIC方法是通過處理變形前后被測物體表面的圖像獲得位移和應(yīng)變場信息的測量方法。將變形前后的圖像分別稱為“參考圖像”和“變形后圖像”，利用灰度分布的相關(guān)性求形變量。首先在參考圖像中定義計算區(qū)域（region of interst，ROI），一般為矩形。計算區(qū)域進(jìn)一步被均分為虛擬網(wǎng)格，通過計算每個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移得到全場位移信息。2－D DIC方法的基本原理在于對變形前后兩幅圖像中的相同像素點(diǎn)進(jìn)行追蹤或匹配，如圖1所示，為計算P點(diǎn)的位移，在參考圖像的計算區(qū)域內(nèi)選擇一個以P（x0，y0）為中心的含（2 M＋1）×（2 M＋1）個像素的正方形參考子區(qū)，在變形后圖像中通過一定的搜索方法，按預(yù)先定義的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)計算，尋找與參考圖像子區(qū)的互相關(guān)系數(shù)最大或最?。ㄈQ于所選擇的相關(guān)函數(shù)）的以P′（x′0，y′0）為中心的目標(biāo)圖像子區(qū)，從而確定P（x0，y0）點(diǎn)在X、Y 方向的位移分量U、V。

為了衡量參考子區(qū)與目標(biāo)子區(qū)的相似程度，必須預(yù)先定義互相關(guān)函數(shù)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)文獻(xiàn)［4］的研究，選擇歸一化的最小平方距離函數(shù)（zero－normalized sum of squared differences，ZNSSD）：

式（1）中，f（xi，yi）為參考圖像中坐標(biāo)（xi，yi）點(diǎn)的灰度，g（x′i，y′i）為變形后圖像中坐標(biāo)（x′i，y′i）點(diǎn)的灰度，fm、gm分別為變形前后圖像子區(qū)的平均灰度。與其它相關(guān)函數(shù)相比，該函數(shù)具有抗干擾性強(qiáng)，對目標(biāo)圖像子區(qū)灰度的線性變換不敏感，相關(guān)系數(shù)峰值全場唯一且尖銳等特點(diǎn)，因而能更準(zhǔn)確地尋找到整個搜索區(qū)域的相關(guān)系數(shù)極值。

圖1 正方形參考子區(qū)變形前和變形后的示意圖Fig.1 Schematic of a reference square subset before and after deformation

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Schematic of the experimental set－up

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)裝置簡圖如圖2所示，采用Instron 5848試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行單軸拉伸加載。試驗(yàn)機(jī)載荷傳感器分辨力為0.00001N，最大載荷2kN，位移傳感器分辨力0.00001mm。圖像傳感器為一臺大恒DHHV1303UM CMOS攝像機(jī)，分辨力為1280×1024pixel，鏡頭為Computar MLM－3XMP變焦鏡頭。實(shí)驗(yàn)過程中利用磁性底座把攝像機(jī)固定在鋼鐵基座上，以保證攝像機(jī)穩(wěn)定且光軸與試樣表面垂直，拍攝時用冷光源照明試樣。

試樣材料是牌號為T2的紫銅，幾何尺寸如圖3所示。由于相關(guān)運(yùn)算的精度與散斑質(zhì)量關(guān)系密切，因此為了增加散斑圖的平均灰度梯度［5］，實(shí)驗(yàn)中的散斑圖是在白漆基底上噴涂直徑約為0.5μm的霧化黑色碳素墨水顆粒得到的，如圖4所示，白框?yàn)樗x計算區(qū)域。

圖3 試樣的幾何尺寸（厚度：0.5mm）Fig.3 Geometrical dimensions of the specimens（thickness：0.5mm）

圖4 散斑圖樣Fig.4 Speckle pattern

2.2 實(shí)驗(yàn)過程

現(xiàn)從軟件和硬件兩方面分析了實(shí)驗(yàn)條件及設(shè)備可能引入的誤差，確定最佳拍攝條件，并進(jìn)行了拉伸實(shí)驗(yàn)。

2.2.1 軟件計算誤差

DIC方法是先計算位移場，然后再通過位移場計算應(yīng)變場，先利用雙線性插值法對散斑圖像進(jìn)行灰度的插值，然后利用式（1）計算插值后散斑圖相關(guān)區(qū)域的相關(guān)系數(shù)，從而得到亞像素位移，再通過逐點(diǎn)局部最小二乘法［4］來計算位移的導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)變。

由于位移的誤差會導(dǎo)致應(yīng)變計算不準(zhǔn)，因此為確定軟件對實(shí)驗(yàn)圖像的位移計算精度，選取一幅實(shí)驗(yàn)圖像為參考圖像，對其施加0.01～1pixel的模擬位移，比較計算得到位移和虛擬位移之間的差別。

2.2.2 硬件誤差實(shí)驗(yàn)

在保證散斑圖質(zhì)量、光照的均勻、穩(wěn)定及實(shí)驗(yàn)臺隔振的情況下，2－D DIC的硬件誤差主要由以下幾方面引入，因此需逐個分析：

（1）拍攝條件的影響

影響圖像拍攝的主要因素有：光圈、焦距、物距、像距、快門速度（也叫曝光時間）等。而圖像的質(zhì)量直接影響DIC計算的結(jié)果，現(xiàn)通過剛體平移和零位移實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)拍攝狀況。

剛體平移由于不包含任何變形，所以DIC計算區(qū)域內(nèi)的位移值應(yīng)該是相同的，位移場應(yīng)為一平面；零位移實(shí)驗(yàn)是對靜止的試樣表面連續(xù)拍照，然后對圖像進(jìn)行DIC計算，所得位移場應(yīng)是全為零的平面分布?？紤]到軟件存在計算精度，因此若計算得到結(jié)果在軟件計算精度范圍內(nèi)波動，則說明攝像機(jī)的拍攝狀況比較理想。

（a）放大倍數(shù)影響

將鏡頭放大倍率調(diào)至0.3×和1.0×，各做一組零位移和剛體平移實(shí)驗(yàn)。剛體平移是樣品在試驗(yàn)機(jī)上沿豎直方向平移，以0.03mm為步長，平移0.3mm，依次采集10幅散斑圖像。

（b）快門速度的影響

快門速度需配合光源設(shè)置，設(shè)置不當(dāng)也會影響成像，實(shí)驗(yàn)所用的攝像機(jī)快門速度可在1μs～1s范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，但為了配合白光冷光源，快門速度必須設(shè)為10ms的整數(shù)倍。實(shí)驗(yàn)中，把鏡頭放大倍率設(shè)置在1.0×，在不同快門速度下拍攝零位移圖像。

（2）離面位移實(shí)驗(yàn)

要成功地應(yīng)用2－D DIC實(shí)驗(yàn)，要求試樣表面應(yīng)足夠平，且與攝像機(jī)光軸盡可能垂直。然而實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)榧虞d裝置的缺陷，以及材料的泊松效應(yīng)［3，4］，故試樣表面會偏離理想平面，離面位移很難避免。為降低離面位移的影響，主要有兩個辦法：一是采用遠(yuǎn)心鏡頭，二是盡可能地將攝像機(jī)放置在遠(yuǎn)離試樣表面的地方，近似形成一個遠(yuǎn)心成像系統(tǒng)［3，4］。由于實(shí)驗(yàn)中使用的鏡頭屬于微距鏡頭，物距較短，不得不考慮離面位移的影響，因此通過數(shù)值計算，討論了實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的離面位移與測量應(yīng)變的關(guān)系。

2.2.3 拉伸實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證DIC系統(tǒng)應(yīng)變測量的精度，將多晶銅大試樣單軸拉伸變形的DIC與應(yīng)變片測量的結(jié)果進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)中，試驗(yàn)機(jī)每拉伸100～200μm記錄一次載荷和應(yīng)變儀讀數(shù)，同時采集圖像，直至試樣拉斷實(shí)驗(yàn)停止，每次實(shí)驗(yàn)記錄40～50幅圖像。

總共進(jìn)行了7組實(shí)驗(yàn)，編號為A1～A7，為了對比和驗(yàn)證誤差源分析的正確性，各組實(shí)驗(yàn)的拍攝條件不盡相同，其中，A5～A7實(shí)驗(yàn)條件相同，相應(yīng)的攝像機(jī)參數(shù)如表1所示：

表1 A1～A7實(shí)驗(yàn)中攝像機(jī)參數(shù)Tab.1 Camera parameters of A1～A7

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 軟件計算誤差

施加0.01～1pixel虛擬位移后的散斑圖DIC計算結(jié)果如表2所示。可以看到，劃線處的兩個相對誤差值差別較大，因而斷定實(shí)驗(yàn)所用散斑圖的DIC軟件計算精度大約在0.04～0.05pixel之間，完全可以滿足DIC實(shí)驗(yàn)要求。

表2 不同虛擬位移與DIC計算結(jié)果的比較Tab.2 Comparison of DIC results with virtual displacement

3.2 硬件誤差

通過軟件計算可知，DIC軟件的位移識別精度滿足實(shí)驗(yàn)要求，那么誤差主要是由外部實(shí)驗(yàn)條件所引入的。

（1）拍攝條件的影響

（a）放大倍數(shù)影響

鏡頭0.3×放大倍率時的零位移實(shí)驗(yàn)X、Y方向的位移場U和V分別如圖5（a）和5（b）所示，可以看到兩個位移場均非理想中零附近的平面，而是呈波浪形分布，在1.0×放大倍率時所得結(jié)果與之類似。

由于剛體平移不包含任何變形，因此計算區(qū)域內(nèi)的位移值應(yīng)該是相同的。然而如圖6所示，在鏡頭0.3×放大倍率時，平移量為0.15mm時的位移場V形狀為一斜面，且其余平移位置的計算結(jié)果與之類似。以Vmax－Vmin來衡量整個計算區(qū)域位移偏差的程度，從圖7中可以看到，在位移量比較大的情況下，偏差有增大的趨勢，而且相比于0.3×放大倍率，1.0×放大倍率時增大得更快，說明鏡頭放大倍率越大，對測量結(jié)果的影響越大。

圖5 0.3×放大倍率，零位移實(shí)驗(yàn)Fig.5 0.3× magnification，null displacement experiment

圖6 0.3×放大率，剛體平移y＝0.15mm時的位移場VFig.6 Displacement field along the loading direction（0.3×magnification，y＝0.15mm）

圖7 剛體平移實(shí)驗(yàn)位移場Vmax－Vmin比較Fig.7 Comparison of Vmax－Vminin rigid body motion displacement field

零位移和剛體平移計算結(jié)果均說明攝像機(jī)拍攝狀況不理想，導(dǎo)致采集到的圖像不能準(zhǔn)確反映試樣表面變化，從而引入了大的實(shí)驗(yàn)誤差。

（b）快門速度的影響

先前實(shí)驗(yàn)的快門速度均為默認(rèn)的60ms。通過實(shí)驗(yàn)比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)快門設(shè)為400～600ms時，計算出的位移場數(shù)值最為均勻。如圖8所示，快門速度600ms時的零位移實(shí)驗(yàn)的位移場U和V整體呈水平面分布，這一分布特征與理論相符。圖9對比了不同快門速度下零位移實(shí)驗(yàn)的Vmax－Vmin值，可以看到快門速度設(shè)為400～600ms以后，位移場偏差已經(jīng)完全都在0.1pixel以內(nèi)，因此可以斷定，在此條件下，實(shí)驗(yàn)誤差最小。

圖8 快門為600ms時的零位移實(shí)驗(yàn)位移場Fig.8 Displacement field of null displacement experiment（shutter speed：600ms）

（2）離面位移

2D－DIC實(shí)驗(yàn)通常是憑經(jīng)驗(yàn)判斷試樣表面與攝像機(jī)光軸是否垂直，因此偏差總是存在的。實(shí)驗(yàn)中使用的微距鏡頭因物距很短，對離面位移非常敏感，故必須具體分析其對測量結(jié)果的影響。

實(shí)驗(yàn)中的離面運(yùn)動通常是離面平移和離面轉(zhuǎn)動的疊加。假定試樣表面與豎直方向夾角為θ，拉伸位移沿著試樣表面向上，且在拉伸過程中角θ不變，仿照文獻(xiàn)［3］建立離面位移模型，如圖10所示。

圖9 不同快門速度條件下，零位移實(shí)驗(yàn)Vmax－VminFig.9 Value of Vmax－Vminin null displacement experiment under different shutter speed

圖10 試樣表面和攝像機(jī)光軸不垂直對位移和應(yīng)變測量的影響Fig.10 Effect of misalignment of the optical camera axis relative to the object plane

若試樣表面和攝像機(jī)光軸之間是垂直的，試樣表面沿著Y方向運(yùn)動，有：

當(dāng)試樣表面向攝像機(jī)方向傾斜θ角時，試樣表面沿著Y′方向運(yùn)動，根據(jù)三角形幾何關(guān)系，Y方向位移為：

取泰勒展式的一階分量，得到：

令Y′方向位移為vY′（Y′）＝Y(jié)′2－Y′1，Y′1＝Y(jié)′代表試樣上任意的位置，則有：

綜上可得：

此式即在試樣表面任意一個位置Y′，DIC計算得到的應(yīng)變εy與試樣表面的實(shí)際應(yīng)變εY′之間的關(guān)系，可以看到，應(yīng)變與像距L無關(guān)。當(dāng)Y′＝0時，可簡化為：

對于實(shí)驗(yàn)所用拍攝系統(tǒng)，利用式（8），可算得試樣表面與攝像機(jī)的夾角θ，如圖11所示，它由兩部分組成，首先試驗(yàn)機(jī)上下夾具不對中，存在一定的傾角θ1；其次由于鏡頭自重使攝像機(jī)下傾，及攝像機(jī)基座不水平產(chǎn)生的傾角θ2。若要克服這個夾角θ，可以把攝像機(jī)安裝在一個五維調(diào)整基座上進(jìn)行調(diào)整，直到成像平面與試樣表面平行。

圖11 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的離面位移Fig.11 Out－of－plane displacement

3.3 拉伸實(shí)驗(yàn)

圖12所示為應(yīng)變片測量和DIC分析所得A2試樣的應(yīng)力應(yīng)變曲線比較。可以看到應(yīng)變片和DIC分析所得結(jié)果之間存在明顯差別，而且其余六組實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同。

圖12 A2試樣的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.12 Stress－strain curve of A2

圖13 A2試樣DIC應(yīng)變的相對誤差隨應(yīng)變的變化趨勢Fig.13 Variation tendencies of strain relative error of A2obtained by DIC method

為了比較DIC與應(yīng)變片測量應(yīng)變的差別，現(xiàn)以相對誤差εi來衡量應(yīng)變誤差

式（9）中，i代表應(yīng)變測量數(shù)據(jù)點(diǎn)序號。以橫坐標(biāo)為應(yīng)變片測量的應(yīng)變，縱坐標(biāo)為DIC應(yīng)變計算的相對誤差，計算發(fā)現(xiàn)五組實(shí)驗(yàn)DIC應(yīng)變測量的相對誤差變化趨勢相同，當(dāng)εy＜0.02%時呈散亂分布，而當(dāng)εy＞0.2%以后分布逐漸趨于穩(wěn)定，圖13所示為A2的計算結(jié)果。

分析εy＜0.2%時相對誤差的散亂分布，主要是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)開始階段試樣表面粗糙不平造成的，隨著實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，試樣逐漸被拉緊，其表面開始變得平整，這樣的變化在一定程度上改變了試樣與攝像機(jī)之間的距離［10］，從而引入離面位移，導(dǎo)致測量的不準(zhǔn)確。當(dāng)εy＞0.2%時，試樣僅存在面內(nèi)位移，因而七組實(shí)驗(yàn)的相對誤差都逐漸趨于穩(wěn)定。

為了橫向比較每組實(shí)驗(yàn)間的相對誤差的大小，取平均相對誤差

式（10）中，N為每組實(shí)驗(yàn)測量應(yīng)變數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目，以ε平均為基準(zhǔn)比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表3所示：

表3 A1～A7DIC應(yīng)變相對誤差比較Tab.3 Strain average relative error of A1～A7under DIC method

對比發(fā)現(xiàn)，相對于其它組實(shí)驗(yàn)，當(dāng)快門速度設(shè)為600ms后，A3和A4的誤差大幅減小，這與前面分析吻合，然而和應(yīng)變片測量結(jié)果相比，DIC測量誤差仍然較大，可以斷定，這些誤差主要是由攝像機(jī)的噪聲和實(shí)驗(yàn)中的離面位移引起的。離面位移的影響前文已做理論推導(dǎo)，但要具體計算，則需要精確的角度測量才能完成，由于受實(shí)驗(yàn)條件限制，要到以后才完成。

3.4 誤差修正

通過前面的論述，可以看到每組實(shí)驗(yàn)中DIC方法和應(yīng)變片測量得到的應(yīng)變的相對誤差大致是穩(wěn)定的，只是不同組實(shí)驗(yàn)的相對誤差不同而已。如果實(shí)驗(yàn)的條件不變的話，其測量的誤差也是恒定的，因此就可以對誤差進(jìn)行修正。

結(jié)合式（6）、式（7），令ε平均＝εi，則有

取k＝1／（1＋ε平均）作為誤差修正系數(shù)，其值與拍攝條件有關(guān)，因此，對應(yīng)每種拍攝條件，需要事先標(biāo)定一個修正系數(shù)k，才能對此條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確修正。計算得A1～A7試樣的誤差修正系數(shù)如表4所示。

表4 A1～A7各組實(shí)驗(yàn)的誤差修正系數(shù)Tab.4 Error correction coefficient of A1～A7

可以看到，A5～A7三組實(shí)驗(yàn)因?qū)嶒?yàn)條件相同，系數(shù)幾乎相同，從而可以認(rèn)定在固定了拍攝條件后就有固定修正系數(shù)。其他幾組系數(shù)的稀疏變化則是由于拍攝條件變化引起的。

根據(jù)式（11），現(xiàn)對A5～A7進(jìn)行誤差修正，表4中三個k值均可作為該條件下修正系數(shù)，取三者平均值對結(jié)果進(jìn)行修正，如圖14，可以看到經(jīng)過修正的DIC曲線和應(yīng)變片測量結(jié)果非常吻合，可見通過此法可以得到滿意實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖14 A5～A7試樣經(jīng)過DIC應(yīng)變修正后的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.14 Modified stress－strain curve of A5～A7

4 結(jié) 論

DIC方法是一種很具吸引力的位移和應(yīng)變場測量技術(shù)，可應(yīng)用于不同領(lǐng)域中。然而，由于實(shí)驗(yàn)方法的不當(dāng)，通常會引入一些誤差。文中對2－D DIC的實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行了研究，分析了多種拍攝條件下產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及誤差，并提出了相應(yīng)的消除和抑制誤差的措施，同時對DIC方法中因離面位移引起的誤差進(jìn)行了理論分析，得出了實(shí)際應(yīng)變計算公式。最后利用2－D DIC方法測量了多晶銅試樣的單軸拉伸應(yīng)變，將結(jié)果與應(yīng)變片測量結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)文中所用測量系統(tǒng)的精度，針對出現(xiàn)的誤差，認(rèn)為其主要來源于攝像機(jī)噪聲及測試系統(tǒng)的離面位移，鑒于這兩種誤差源比較難以消除，探索了一種利用修正系數(shù)k對誤差修正的方法，通過該方法對系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正并得到滿意的測量結(jié)果。

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